n维向量空间

希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！

授课：XXX

第二节n维向量空间

定义1：n个实数组成的有序数组称为n维向量,一般用,,

等希腊字母

表示。称

n

aaa,,,

21



为n维行向量,称T

n

n

bbb

b

b

b

,,,

21

2

1



































为n维列向

量。称

ii

ba,分别为向量,

的第i个分量。

特别对矩阵A





























mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa









21

22221

11211

中每一行

inii

aaa,,,

21

),,2,1(mi

称为

矩阵A的行向量；每一列T

njjj

aaa,,,

21

),,2,1(nj

称为矩阵A的列向量。

定义2：所有分量都是零的向量称为零向量，零向量记作0＝000。

定义3：由n维向量

n

aaa,,,

21



各分量的相反数组成的向量，称为



的

负向量，记作：

n

aaa,,,

21



。

定义4：若n维向量

n

aaa,,,

21



与

n

bbb,,,

21



的所有对应分量相

等，即),,2,1(niba

ii

，则称这两个向量相等，记作

。

定义5：设n维向量

n

aaa,,,

21



,

n

bbb,,,

21



，与对应分量的

和所构成的n维向量，称为向量与的和，记作

。



nn

bababa,,,

2211





nn

bababa,,,

2211



定义6：设n维向量

n

aaa,,,

21



的各分量都乘以数k后所组成的n维

向量，称为数k与向量



的乘积，记作：

k



＝

n

kakaka,,,

21

。

向量的运算性质：

（1）（2）)()(

希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！

授课：XXX

（3）0

（4）

0)(

（5）kkk（6）lklk

（7）

)()(lklk

（8）1

定义7：在n维向量的集合中，如果其中任意二个向量的和以及一个向量与

数的积都在这个集合中，则称这集合为n维向量空间。

例1：设)(5)(2)(3

321

，其中)3,1,5,2(

1

，)10,5,1,10(

2

,

)1,1,1,4(

3



,求



。

解：

)4,3,2,1()523(

6

1

321



例2：设n维向量

n

aaa,,,

21



与数K满足

0K

，则K＝0或

0。

证明：由

0K

K)0,,0,0(,,,

21



n

KaKaKa

0

i

K

（

),,2,1ni

则K＝0或

0

例3：线性方程组





















mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa









2211

22222121

11212111

（1）

记A





























mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa









21

22221

11211

，































m

b

b

b



2

1

，































n

x

x

x

X



2

1

则线性方程组(1)可写成：AX

,或记：

j

T

mjjj

aaa,,,

21

),,2,1(nj

则线性方程组(1)又可写成：





























n

n

x

x

x



2

1

21

,,,，即：



nn

xxx

2211

（2）

其中

j



是矩阵A的列向量。

若线性方程组(1)有解的话，常数列可写成(2)式。称解T

n

xxxX,,,

21

为线

希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！

授课：XXX

性方程组(1)的一个解向量。

希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！

授课：XXX

定义8：对于向量组

s

,,,

21

和向量，如果存在s个数

s

KKK

21

,，使

得

ss

KKK

2211

成立，则称向量是向量组

s

,,,

21

的线性组合，或称向量可以由向量组

s

,,,

21

的线性表示。

在例3中，如果线性方程组(1)有解，则常数列可由系数矩阵A的列向量

组

n

,,,

21

线性表示。反之，若要判断向量可否由向量组

s

,,,

21

的线

性表示，就可转化为判断一个非齐次线性方程组AX

有否解的问题。其中































m

b

b

b



2

1

，

),,2,1(2

1

sj

a

a

a

mj

j

j

j



































，































s

x

x

x

X



2

1

，A＝

s

,,,

21

。

定理1：向量可由向量组

s

,,,

21

线性表示的充分必要条件是非齐次线

性方程组AX=β有解，其中A＝

s

,,,

21

。即：

(1)当AX无解，则



不能用向量组

s

,,,

21

线性表示；

(2)当AX有唯一解，则能用向量组

s

,,,

21

线性表示，表示式唯

一；

(3)当AX有无穷多组解时，则能用向量组

s

,,,

21

线性表示，但

表示式不唯一。

例4：已知T)2,0,1(,T)1,1,1(

1



,T)1,2,1(

2



,T)1,0,0(

3



，问可否能

用向量组

321

,,

线性表示？如能，求出表示式。

解：



332211

xxx

























2111

0021

1011

)()(

321

AA















































1100

1010

2001

1120

1010

1011

有3)()(ArAr，则能用向量组

321

,,

线性表示，且表示式唯一，且线性

希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！

授课：XXX

表示式为：

321

2

例5：已知

)4,3,1,2(

,)1,3,2,1(

1

,)11,12,5,5(

2

,)3,6,3,1(

3



，问

可否能用向量组

321

,,

线性表示？

解：



332211

xxx



































43111

36123

1352

2151

)()(

321

TTTTTAA

































2260

99270

55150

2151































0000

0000

1130

2151

由于32)()(ArAr，则能用向量组

321

,,

线性表示，但表示式不唯一。

又由于线性方程组











13

25

32

321

xx

xxx

的一般解为















32

31

3

1

3

1

3

2

3

1

xx

xx

，所以其线性表示

式为：

3323133

1

3

1

3

2

3

1

xxx





























练习1：5,2,4,0

，1,3,2,1

1

，2,1,3,2

2

，2,2,1,3

3



，问可

否能用向量组

321

,,

线性表示？

解：



332211

xxx

































5221

2213

4132

0321

)(TAA





































5500

2750

4510

0321

希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！

授课：XXX





































5500

181800

4510

0321



































0000

1100

4510

0321

































0000

1100

1010

1001

则线性表示式为：

321



练习2：1,4,3,2，4,3,2,1

1

，5,2,1,2

2

，4,5,1,2

3



，

问可否能用向量组

321

,,

线性表示？

解：



332211

xxx





































1454

4523

3112

2221

)()(

321

TTTTTAA





































7630

9410

1550

2221



































7630

1550

9410

2221





































20600

442500

9410

2221



































1000

442500

9410

2221

有3)(4)(ArAr，则不能用向量组

321

,,

线性表示。

例6：设)8,4,2,1(),1,2,1,1(),5,3,1,1(),3,2,0,1(

4321

aa

,

)5,3,1,1(b，问

ba,

为何值时，有

(1)



能用向量组

4321

,,,

线性表示，且表示式唯一；

(2)



能用向量组

4321

,,,

线性表示，但表示式不唯一；

(3)



不能用向量组

4321

,,,

线性表示。

解:



44332211

xxxx

法一：

8153

4232

2110

1111









a

a

A

5220

210

2110

1111







a

a

1000

0100

2110

1111









a

a

21a

希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！

授课：XXX

所以0A即

1a

时有唯一解，从而



能用向量组

4321

,,,

线性表示，且

表示式唯一。

当

1a

时



































57153

34132

12110

11111

b

A





































24220

12110

12110

11111

b

































00000

0000

12110

11111

b

所以当1a，0b时，42)()(ArAr，



能用向量组

4321

,,,

线性表

示，但表示式不唯一。当

1a

，

0b

时，2)(3)(ArAr，



不能用向量

组

4321

,,,

线性表示。

法二：TTTTTTAA

4321

)(





































58153

34232

12110

11111

a

ba





































25220

1210

12110

11111

a

ba





































01000

0100

12110

11111

a

ba

(1)当1a时，4)()(ArAr时，所以



能用向量组

4321

,,,

线性表

示，且表示式唯一，

4321

0

11

1

1

2



















a

b

a

ba

a

b

；

(2)当1a，0b时，42)()(ArAr，



能用向量组

4321

,,,

线

性表示，但表示式不唯一。

(3)当1a，0b时，2)(3)(ArAr，



不能用向量组

4321

,,,

线

性表示。

练习3：设)1,1,1(),1,1,1(),1,1,1(

321

,),,0(2，问为

何值时，有

(1)



能用向量组

321

,,

线性表示，且表示式唯一；

(2)



能用向量组

321

,,

线性表示，但表示式不唯一；

(3)



不能用向量组

321

,,

线性表示。

希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！

授课：XXX

解:



332211

xxx

当03

111

111

111

2















A

时，即

3，且

0时能用向

量组

321

,,

线性表示，且表示式唯一。

当

3时，





























9211

3121

0112

A





























9211

0112

3121





























6330

6330

3121



























0000

2110

3121

，知



能用向量组

321

,,

线性表

示，但表示式不唯一。

当

0时，























1111

1111

0111

A























0000

1000

0111

，知



不能用向量组

321

,,

线性表示。

推论1：零向量是任何一组向量的线性组合。

第三节线性相关与线性无关

上节结论：零向量是任一向量组的线性组合，即齐次方程组AX=0一定有解。

也就是齐次方程组0

2211



nn

xxx有解，但其解有两种情况：只有零解

和有非零解。

定义1：若向量组

s

,,,

21

存在一组不全为零的

s

KKK,,,

21

使得

0

2211



ss

KKK（1）

成立，则称向量组

s

,,,

21

线性相关；否则称向量组

s

,,,

21

线性无关。

也就是说，如果仅当

s

KKK,,,

21

都等于零时，才能使(1)式成立，则称向量组

s

,,,

21

线性无关。

例1：含有零向量的任何一组向量一定线性相关。

解：设向量组：0,,,,

21s

，则对任意的数0K，有

00000

21

K

s

，所以向量组0,,,,

21s

线性相关。

希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！

授课：XXX

例2：单个向量



线性无关的充要条件是

0。

证明：设0,,,

21



n

aaa

如果0,,,

21



n

KaKaKaK

，则必有

0K

。反之也然。

例3：证明：n维单位向量组)1,,0,0(,),0,,0,1,0(),0,,0,1(

21



n



线性无关。

证明：设有

n

KKK,,,

21

，使

0

2211



nn

KKK

得：)0,,0,0(),,,(

21



n

KKK

所以0

21



n

KKK

从定义和上述几个例子中可以看出，向量组

s

,,,

21

线性相关（或无关）

等价于齐次线性方程组0

2211



ss

xxx有非零解（或只有零解）。

例4：判断向量组)10,5,3,2(),4,2,1,1(,)2,1,0,1(

321



是否

线性相关。

解：设有

321

,,xxx，使0

332211

xxx

A

112112101

013013013

125013000

2410026000























因为32)(Ar，所以齐次线性方程组有非零解，即向量组

321

,,

线性相关，

且其相关关系式为：

123

30

例5：判断向量组6,3,1,3,2,1,2,1,1

321



是否线性相关。

解：设有

321

,,xxx，使0

332211

xxx

即：































































0

0

0

632

321

111

3

2

1

x

x

x

因为上述齐次线性方程组的方程个数与未知量个数相等，且其系数行列式为：

希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！

授课：XXX

02

410

210

111

632

321

111



所以方程组只有零解，从而向量组

321

,,

线性无关。

练习1：判断向量组4,2,1,1

1

，2,1,3,0

2

，14,7,0,3

3



是否线性相关。

解：设有

321

,,xxx，使0

332211

xxx

则TTTA

321

,,

































1424

712

031

301































220

110

330

301































000

000

110

301

所以方程组有非零解，从而向量组

321

,,

线性相关。

练习2：判断向量组1,2,4,1

1

，2,1,1,3

2

，3,1,2,1

3



是否线性相关。

解：设有

321

,,xxx，使0

332211

xxx

则TTTA

321

,,





































321

112

214

131





































250

150

410

131



































000

100

410

131

所以方程组只有零解，从而向量组

321

,,

线性无关。

例6：已知向量组

321

,,

线性无关，证明向量组

133221

3,2,也

线性无关。

证明：设有

321

,,xxx，使

0)3()2()(

133322211

xxx

整理得：0)2()()3(

332221131

xxxxxx

因为向量组

321

,,

线性无关，所以

希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！

授课：XXX

















02

0

03

32

21

31

xx

xx

xx

（1）

因为其系数行列式



120

011

301

07

120

310

301



，故(1)只有零解。

从而向量组

133221

3,2,线性无关。

总结：判断向量组

s

,,,

21

线性相关（或无关）就是判断齐次线性方程

组0

2211



ss

xxx有非零解（或只有零解），即：

(1)sr

s

)(

21

，则

s

,,,

21

线性无关；

(2)sr

s

)(

21

，则

s

,,,

21

线性相关。

特别有：

(1)n个n维向量

n

,,,

21

线性相关的充分必要条件是0

21



n

；

(2)n个n维向量

n

,,,

21

线性无关的充分必要条件是0

21



n

。

下面给出线性相关和线性无关的一些重要性质：

定理1：n+1个n维向量组必线性相关。

证：设),,,(

112111n

aaa

,,),,,,(

222212



n

aaa),,,(

112111nnnnn

aaa





为

n+1个n维向量组，记

)1(

121

1222212

1112111







































nn

nnnnnn

nn

nn

aaaa

aaaa

aaaa

A









因为1)1,()(nnnnMaxAr，所以

121

,,,

n

线性相关。

定理2：如果一个向量组中的部分向量（称为部分向量组）线性相关，则整

个向量组也线性相关。

证明：不失一般性设向量组

s

,,,

21

中的部分组

i

,,,

21

)(si线性相关，

则存在不全零的数

i

KKK,,

21

，有0

2211



ii

KKK

若取0

21



sii

KKK

希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！

授课：XXX

则有0

112211



ssiiii

KKKKK

而其中

s

KKK,,,

21

不全为零，所以整个向量组

s

,,,

21

线性相关。

推论：如果一个向量组线性无关，则它的任意一个部分组也线性无关。

定理3：设r维向量组),,,(

21iriii

aaa

(

si,,2,1

)线性无关，则在每

个向量上再添加n-r个分量所得到的n维向量组),,,,,(

,121iniririii

aaaaa







),,2,1(si

也线性无关。

证明：设有数

s

KKK,,,

21

使得

0

2211













ss

KKK

由此可得一个齐次方程组：



































0

0

0

0

0

2211

1212111

2211

2222112

1221111

ssnnn

ssrrr

ssrrr

ss

ss

KaKaKa

KaKaKa

KaKaKa

KaKaKa

KaKaKa















（1）

因为

s

,,,

21

线性无关，所以(1)中的前r个方程构成的的方程组仅有零

解，即得：0

21



s

KKK，于是方程组也仅有零解（1）。

因此向量组

s



,,,

21

也线性无关。

推论：若n维向量组),,,,,(

,121iniririii

aaaaa







),,2,1(si

线性相关，

则每个向量都减少n-r个分量所得的r维向量组),,(

21iriii

aaa

),,2,1(si

也线性相关。

总结：

(1)线性相关的向量组，每个向量减少相同的维数，或增加向量的个数，得

到的向量组还是线性相关。

(2)线性无关的向量组，每个向量增加相同的维数，或减少向量的个数，得

到的向量组还是线性无关。

希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！

授课：XXX

定理4：向量组

s

,,,

21

(s>1)线性相关的充分必要条件是其中至少有一

个向量是其余s-1个向量的线性组合。

证明：(必要性)如果向量组

s

,,,

21

线性相关，则存在不全为零的数

s

KKK,,,

21

使得：

0

2211



ss

KKK

不妨设0

s

K，则由上式可得

1

1

2

2

1

1





s

s

s

ss

sK

K

K

K

K

K



即向量

s



可以由其余s-1个向量线性表示。

(充分性)不妨设向量

s



可以由其余s-1个向量线性表示，即存在

121

,,,

s

CCC使

得：

112211



sss

CCC

移项得：0

112211



sss

CCC

其中向量

s



的系数为-1不等于零，所以向量组

s

,,,

21

线性相关。

推论：向量组

s

,,,

21

(s>1)线性无关的充分必要条件是向量组的每个向

量都不能用其余向量线性表示。

定理5：若向量组

s

,,,

21

线性无关，但向量组

,,,,

21s

线性相关，

则向量可由向量组

s

,,,

21

线性表示，并且表示式唯一。

证：由于

,,,,

21s

线性相关，所以存在不全为零的数KKKK

s

,,,,

21

使得：

0

2211

KKKK

ss

（1）

又因向量组

s

,,,

21

线性无关，得K必不为零。

因为假若K＝0时，(1)式成为：

0

2211



ss

KKK

并且

s

KKK,,,

21

不全为零，从而向量组

s

,,,

21

线性相关，与已知矛盾，因

此

希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！

授课：XXX

K必不为零。

于是由(1)式移项就得：

s

s

K

K

K

K

K

K



2

2

1

1（2）

再证明唯一性,假设还可以由向量组

s

,,,

21

表示为：

ss

CCC

2211

（3）

(3)-(2)得：

0)()()(

2

2

21

1

1



s

s

sK

K

C

K

K

C

K

K

C

又因向量组

s

,,,

21

线性无关，必有0

K

K

Ci

i

),,2,1(si

即：

K

K

Ci

i

，

),,2,1(si

也就说向量可由向量组

s

,,,

21

线性表示的表达式唯一。

例7：设向量组

s

,,,

21

线性无关，向量

1

可由向量组

s

,,,

21

线性表示，

而向量

2

不能用向量组

s

,,,

21

线性表示，证明向量组

2121

,,,,

s



线性无关。

证明：由已知可设

ss

KKK

22111

，（1）

假若存在不全为零的数CCCC

s

,,,,

21

,使得

0)(

212211

CCCC

ss

（2）

把(1)代入(2)式并整理得：

0)()()(

2222111

CCKCCKCCKC

sss

（3）

又因向量

2

不能用向量组

s

,,,

21

线性表示，可得0C，

则(3)式成为：0

2211



ss

CCC

而向量组

s

,,,

21

线性无关，又得0

21



s

CCC，

所以向量组

2121

,,,,

s

线性无关。

例8：已知向量组

321

,,

线性无关，且

211

,

212

3,

希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！

授课：XXX

313

2，证明

321

,,

线性无关。

解：设有

321

,,KKK使得0

332211

KKK

即：oKKK)2()3()(

313312211



整理后得：oKKKKKK

332211321

)3()2(

因为向量组

321

,,

线性无关，所以有：

















03

0

02

32

1

321

KK

K

KKK

（1）

易见方程组(1)只有零解，因此

321

,,

线性无关。

练习：判断下列结论是否正确：

（1）若向量组,,,,

21r



m

,线性相关，则向量组

r

,,,

21

线性相关。

（2）若向量组

s

,,,

21

线性相关，则其中每一个向量都可表示为其它向量的

线性组合。

（3）若向量可以被向量组

s

,,,

21

线性表示，则表示式唯一。

（4）若对向量组

s

,,,

21

存在s个全为零的数

s

kkk,,,

21

，使得

0

221



ss

kkk，则向量组

s

,,,

21

线性无关。

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）