管中窥豹可见一斑

统计之美管中窥豹与⼀叶知秋

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杂家名著《淮南⼦》中说过：“以⼩明⼤，见⼀叶落，⽽知岁之将暮，睹瓶中之冰，⽽知天下之寒”。所谓“以⼩明⼤”就是

通过⼩的部分来了解⼤的全体，看见⼀⽚叶⼦落了，可以推断其他地⽅也在落叶，说明秋天到了，于是有了成语“⼀叶

知秋”。看到瓶⾥的⽔结冰了，可以推断周围都在结冰，可见天⽓变冷了。这种通过少量的观测来推断全体的⽅式在古

时候称为以⼩明⼤，在今天称为抽样。但是要注意的是，不能被少量的观测带沟⾥去，《世说新语》中讲了⼀个王献之

⼩时候太聪明被⼈⿊成“管中窥豹、时见⼀斑”的故事，这是说光看局部的东西不了解全局是不⾏的。不过后来这句话变

成了“管中窥豹、可见⼀斑”，其含义⼜与⼀叶知秋类似了。

究竟⼀叶是否能知秋，⼀斑是否能知豹，主要取决于看到的树叶和斑纹，如果有⾜够的代表性，那当然是可以推断全体

的，如果只是某些偶然或巧合，那当然是不够的。⽽且很显然，如果我们能看到更多的落叶、更多的斑纹，⾃然更有把

握认为秋天真的来了或者看到的确实是⼀只豹⼦。

⽆论是秋天还是豹⼦，都是我们想研究的问题。如果描述得更清楚⼀些，我们其实是想判断“秋天是否来了”“这个动物是

否是豹⼦”。之前我们讨论过，数据分析最关键的事情是把现实的问题数据化，所以对于这些问题需要构造⼀些量化的

指标，⽐如“树叶都落了就说明秋天来了”、“所有斑纹都符合豹⼦的图像特征就说明看到的是豹⼦”，这些不⼀定对，但能

⽤来帮助判断，⾄少能够帮助我们把问题变成数据问题，因为我们可以通过观察落叶、观察豹纹来采集数据。秋天和豹

⼦不是数据，但是“所有树叶”“所有斑纹”是可以数据化的，“1⽚落叶”“1个豹斑”是可以被观测到且能变成数据的。

我们把被研究的对象的全体称为总体，组成总体的元素称为个体。在这个例⼦中，个体可以是每⽚树叶的某些特征，实

际上就是可以量化的指标，⽐如“是否落了”，或者颜⾊、⾯积等其他指标。通常我们只关⼼其中⼀个或⼏个指标，⽐如

上⾯例⼦中的“是否落了”。每时每刻都可能有叶⼦落下，但我们不知道任意时刻具体哪⽚叶⼦会落下，因此可以认为“任

意树叶是否落了”是⼀个随机变量，甚⾄有可能服从⼆项分布，⽽且有理由认为秋天的时候落叶的概率P⽐较⼤，⽽春天

的时候P⽐较⼩，这个随机变量就是我们要研究的总体。这样我们就把总体和随机变量联系起来了，在统计学中，总体

就是⼀个具有确定分布的随机变量X，我们需要研究其分布函数F(X)。如果总体中的个体总数是有限的，我们称之为有

限总体，如果个体总数⽆限则称为⽆限总体，如果有限总体的个体数很⼤，也可以将其当成⽆限总体，这样理解起来会

限总体，如果个体总数⽆限则称为⽆限总体，如果有限总体的个体数很⼤，也可以将其当成⽆限总体，这样理解起来会

⽐较⽅便。

⽽总体的分布函数F(X)通常是未知的，所以我们希望能想办法进⾏推断。通常的⽅式是从总体中抽取部分个体进⾏试

验，从⽽得到数据，再利⽤这些数据来推断F(X)。⽐如在这个⼀叶知秋的例⼦中，想观测所有树叶基本是不可能的，但

是我们可以观测⼀定数量的叶⼦，从⽽推断整个世界（或者当前⽣活的区域）的落叶情况。从总体中抽取n个个体进⾏

观察或试验的过程称为抽样，得到的n个随机变量彼此独⽴并且与X具有相同的分布，我们称之为样本，该样本的容量为

n。样本是⼀组随机变量，每个随机变量都可以通过观察或者试验取值，得到的数据就称为样本值。

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