多项式的系数

§9有理系数多项式

.引入

1)在复数域上只有一次多项式才是不可约的。

2)在实数域上不可约多项式只有一次的和某些二次的。

对于有理数域

1)每个次数》1的有理系数多项式都能唯一地分解成不可约的有理

系数多项式的乘积

2)要具体地作出它的分解式是一个很复杂的问题,

3)要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个容易解决的问

题。

4)可以归结为整(数)系数多项式的因式分解问题，并进而解决求有

理系数多项式的有理根的问题。

5)在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式。

问题：如何判断Q上多项式的不可约性呢？

有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题.

设f（X）=anXn+an4x2+川+a0,

则i)可选取适当整数C,使cf(x)为整系数多项式.

li)若cf(x)的各项系数有公因子，提出来，得cf(x)=dg(x),

即f(x)=dg(x),其中g(x)是整系数多项式，且各项系数没有异于±1的

C

公因子.

222

女口f(X)=—x4-2x2-—x=_(5x4_15x2_3x)

3515

二.本原多项式

1.定义：设g(x)=bnXn+bn丄xn」+川+bx+b萨Obi^Z,i=0,1,2川

n.

若bn,bnj|(bl,b0没有异于±1的公因子，即bn,bnj|(bi,b0是互素的，则

称g(x)为本原多项式.

2.有关性质

1)Vf(x^Q[x],Wr亡Q，使

f(X)=rg(x),

其中g(x)为本原多项式(除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的).

2)定理10(Gauss引理)两个本原多项式的积仍是本原多项式.

证：设f(X)=anXn+anjLx2+川十a。,g(x)=bmXm+川+bo

是两个本原多项式.而

h(x)=f(x)g(x)=dn知+dn4m4xW+川+do,

又f(x)是本原多项式，所以P不能整除f(x)的每一个系数，令ai为

ao,ai川an中第一个不能被p整除的数，即p|ai,川pla」pg.

同理，g(x)本原，令bj为bJllbm中第一个不能被P整除的数，即

P|bo,P|bi」||p|bj_L,ptbj.

又dip=aibj+4冉4+川，这里P|di卅ptaibj,卩向卅6」||，矛盾.

二.整系数多项式的因式分解

定理11若一非零的整系数多项式可分解成两个次数较低的有

反证法，若h(x)不是本原的，则存在素数

P,P|dr,r=0,1，川n+m.

理系数多项式，则它一定可分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.

证：设整系数多项式f(x)有分解式

f(x)=g(x)h(x)，

其中g(x),h(x)亡Q[x]，且c(g(x)),£(h(x))<£(f(X)).

令f(x)=afi(x),g(x)=rgi(x),h(x)=sh(x)

这里，fi(x),gi(x),hi(x)皆为本原多项式，a-Z,r,s-Q,

于是afi(x)=rsgi(x)hi(x)

f(x)=g(x)h(x),h(x)-Q[x],

则h(x)必为整系数多项式.

证：令f(x)=afi(x),h(x)=chi(x),a€Z,c忘Q,fi(x),hi(x)本原

=afi(x)=g(x)chi(x)=cg(x)hi(x)=c=±a=c亡Z,

二h(x)=chi(x)为整系数.

定理12设f(x)=anXn+a2XnrH|+aix+a0是一个整系数多项式，而

-是它的一个有理根，其中r,s是互素的，则必有s|an,r|ao.

s

证：T-是f(x)的有理根，「•在有理数域上，

s

r

(X-—)|f(x)

s

从而(sx-r)|f(X),,

=由定理10,gi(x)hi(x)本原，从而有

rs=±a即

rs€Z,/f(X)=(rsgi(x))hi(x)•得证.

推论：1)f(x),g(x)是整系数多项式,

2)g(x)是本原的，

3)

…annbiCm,a^—b0

c

0.

又r,s互素，二SX—r本原.由上推论，有

f(x)=(sx-r)(bn_1Xn」+川+b1x+b0),bi-Z,i=0,1，川，n—1..

所以，s|an,r|ao

(注意：定理12是判断整系数多项式有理根的一个必要条件,

而非充分条件.)

例1求方程2x"-X3+2x-3=0的有理根，

解：可能有理根为±1,岀,±1,±|，用综合除法可知，只有1为根.

例2证明f(x)=x3-5x+1在Q上不可约.

证：若f(x)可约，它至少有一个一次因子，也即有一个有理根,但f(x)的有

理根只可能是±1，而f(1)=Y,f(—1)=5，所以f(x)不可约.

定理13艾森斯坦因Einstein判别法

设f(X)=anXn+an」x2ri|+a1x+a0,a^Z,i=0,1,|)|,n,若有一个素数P,使得

1)Plan

2)p|an4,an/,川，a。

2

3)p|ao.

则f(x)在有理数域上是不可约的.

证：若f(x)在Q上可约，由定理11.f(x)可分解为两个次数较

低的整系数多项式的积

f(x)^(bx1+b4X|4+||i+bo)(CmXm+Cm斗Xmr|||+Co),bg亡Z,l,m

n

比较两端系数，得

a^sbijL，a萨—rb.

Pla。,Pibo或p|C0,

又P2|ao,/.P不能同时整除bo,Co.不妨设p|bo但P-lCo.

另一方面，P"n-Pibl,pfCm.

k

假设bo,bi||(b中第一个不能被P整除的数为bk，比较两端x的系

数，得a^bkC0+bkjc,+川+boCk

式中ak,bkJ|(bo皆能被P整除，二PibkCo,=P|bk或p|Co.矛盾.

(注意：Einstein判别法是判断不可约的充分条件非必要条

件，所以有些多项式需作线性变换.)

例3证明：xn+2在Q上不可约.

证：(令P=2即可).

(可见存在任意次数的不可约有理系数多项式)

证明：f(X)=x2+1在Q上不可约.

作变换x=y+i，贝Jf(x)=y2+2y+2，取p=2,由Einstein

y2+2y+2在Q上不可约，所以f(x)在Q上不可约.

23P

判断f(xT+x+佥+訥咔在Q上是否可约.

P!P!

解:令g(x)=P!f(x)=p!+p!x+irxF+RxfP

则g(x)为整系数多项式.

:pzpl右,為宀p!,但p2w,

g(x)在Q上不可约，从而f(x)在Q上不可约.

说明：许多Q上的不可约多项式都可经过适当线性代换或化整系数多项式

后用等森斯坦因判别法判定它是否不可约，但是，也存在Q

#证:

判别法知

上不可约多项式f(x),无论作怎样的代换X=ay+b,(a,b€Q,aHO)都不能

使f(ay+b)=g(y)满足爱森斯坦因判别法的条件，即找不到相应的素数

女口，f（X）=X3+x+1.

但可用反证法：若f(x)可约，则必有一次因式，从而f(x)有有理根，但

f(x)的有理根只能是±1，而f03@(1/£H(••)fX不可约.

总结：不可约多项式的3种判断法:

1.艾森斯坦因Einstein判别法

2.做变换后再用上法

3.试根法

小结：i)有理系数多项式与复系数、实系数多项式分解的区别,

ii)整系数多项式的分解法，有理系数多项式的分解法,

iii)不可约多项式的判定。