等腰三角形周长公式

1

第18讲等腰三角形的边角分类问题

一、方法剖析与提炼

例1：等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是----------------------------------------------------------（）

A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°

【解答】

【解析】根据等腰三角形两个底角相等即可求解。

【解法】根据条件80°是底角还是顶角进行分类讨论

【解释】

（1）本题有关角的分类，要分哪几类情况讨论？

题目中的80°是等腰三角形的顶角还是底角，不确定，所以要分类讨论。

(2）分类的依据是什么？

分类的依据：等腰三角形80°角的内角不是底角就是顶角。

（3）怎样进行分类讨论？

把80°分成是顶角，底角，根据等腰三角形两个底角相等分别进行计算。

（4）最后，进行归纳总结：答案Ｃ

例

2

：等腰三角形的两边长分别为

4cm

和

8cm

，则它的周长为

-----------------------------------------------

（）

A

．

16cmB

．

17cmC

．

20cmD

．

16cm

或

20cm

【解析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断。

【解法】根据边的条件分类讨论

【解释】

（1）本题有关边的分类，要分哪几类情况讨论?

已知条件中并没有指明4和8谁是腰长谁是底边的长，不确定，所以要分类讨论。

（2）分类的依据是什么？

分类的依据：等腰三角形的边不是腰就是底边

（3）怎样进行分类讨论？

当4是腰，8是底边；当4是底边，8是腰。根据等腰三角形两腰相等，特别要考虑三角形任意两边之

和大于第三边进行计算。

（4）最后归纳整理：

一种情况不存在，周长答案是C:20cm.

求周长只要求第三边，那么这

里4cm和8cm谁是腰呢？不确

定哦

这里的等腰三角形的一个

角是80°是底角还是顶角

不确定哦

2

例3：若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。

【解答】

【解析】已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此有两种情况。

【解法】分类讨论方程思想

【说明】

（1）有关中线的分类，要分哪几类情况讨论？

已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，不确定，所以要分类讨论。

（2）分类的依据是什么？

分类的依据：腰上的中线分周长两部分，9cm，12cm指向不明确。

（3）怎样进行分类讨论？

当腰和腰的一半和是9cm，则底边和腰的一半就是12cm。

当腰和腰的一半和是12cm，则底边和腰的一半就是9cm。

通过计算，特别注意：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。

（4）最后归纳整理：

当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是5cm。

例4：在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________。

【解答】

【解析】一腰的中垂线与另一腰的交点位置不确定，因为这个等腰三角形有可能是锐角三角形，也有可能

是钝角三角形。

【解法】顶角时锐角、钝角进行分类讨论画图计算

【说明】

（1）有关腰的中垂线讨论，要分哪几种情况讨论？

本题虽然AB=AC确定了边，关键是AB的中垂线与AC所在直线相交，画图可知，有可能在三角形内

部与AC相交，也有可能外部与AC相交。不确定，所以分类讨论。与直线AC相交，其中直线也是审

题的一个关键要素。

（2）分类的依据是什么？

分类的依据：等腰三角形顶角分锐角、直角、钝角。造成三条高分内部、边上、外部。

这里的一腰上的中线分周长两部分，没有指明哪

一部分是9cm，哪一部分是12cm，不确定哦。

AB的中垂线与AC所在直线相交，注意

与AC所在直线相交哦

3

（3）怎样进行分类讨论？

当顶角为锐角时，AB的中垂线与AC所在直线相交在内部

当顶角为钝角时，AB的中垂线与AC所在直线相交在外部

（4）最后归纳整理：

等腰三角形的底角为70°或20°

例5：为美化环境，计划在某小区内用30m2的草皮铺设一块一边长为10m的等腰三角形绿地，请你求出这

个等腰三角形绿地的另两边长。

【解答】

【解析】边长为10m是腰还是底边不确定，要分类讨论。然后根据面积，求出10m对应的高。当10m为底

边时，高即为三线合一一定在三角形内部，如果10m为腰，对应的高有可能在三角形内部，也有可能

在三角形外部。

【解法】分类讨论三角形面积公式勾股定理

【解释】

（1）本题有关高的分类，要分哪几类情况讨论？

已知条件边长为10m是腰还是底边，不确定，所以要分类讨论。其次涉及面积，等腰三角形的高，当

是底边上的高一定在内部，而腰上的高有可能在内部，也有可能在外部，也是不确定的，所以要分类。

（2）分类的依据是什么？

分类的依据：边为10m不是腰就是底边，高不在内部就在外部。

（3）怎样进行分类讨论？

有两类要分，一先按边分，在按高分。

当10m为底时，对应高6是三线合一不可能在外部，只能在内部，如第一种情况；

当10m为腰时，对应高为6分内部和外部如第二、三两种情况

一先按高分，在按边分。

当高6在内部时，分两小类：10m为底时如第一种情况；10m为腰时如第二种情况。

当高6在外部时，分两小类：10m为底时，对应高不可能在外部。10m只能是腰，如第三种情况。

（4）最后归纳整理：

当10为底时，另两边为61、61；当10为腰时，另两边为10、

102

或10、

106

１０ｍ为底边时６为高一定

在内部，１０ｍ为腰时，腰

上的高为６可能在内部，也

有可能在外部，画出三种图

形分别计算

4

一、能力训练与拓展

1．若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为。

2．已知等腰三角形的一个内角为70°则其他两个角为-----------------------------------------------------------（）

A．55°55°B．70°40°C．60°40D．55°55°或70°40°

3．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是-----------（）

A．12B．9C．13D．12或9

4．如图，线段OD的一个端点O在直线MN上，且∠MOD＝150°，以OD为一边画等腰三角形，并且使另

一个顶点在直线ＭＮ上，这样的等腰三角形能画-----------------------------------------------------------（）

A．3个B．4个C．5个D．无数个

5．已知等腰∠ABC中，AD∠BC于点D，且AD=

1

2

BC，则∠ABC底角的度数为---------------------（）

A．45°或15°B．75°C．45°或75°或15°D．45°

6．在平面直角坐标系中，点A（2，2），B（32，32），动点C在轴上，若以A、B、C三

点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为--------------------------------------------------------------（）

A．2B．3C．4D．5

7．以Rt∠ABC的一边画等腰三角形，使它的第三个顶点在直角三角形的边上，这样的三角形能够画几个？

8．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6）．点B（6，6），点C（6，0），点D是射线OA（O，

A除外）上的动点，点E是O点关于直线CD的对称点，延长DE交直线AB于点F，连结CF．

（1）某探究小组发现：当点D在线段OA上时，有∠EF=BF；∠∠DCF=45°，请选择其中一个证明．

（2）当AD=2时，求点F的坐标．

（3）探究小组又发现：如图2．当点D在线段OA上时，射线CD、CF与射线OB分别交于点M，N，线

段OM，MN，BN之间除了存在OM+MN+NB=6√22外，还存在着另外的等式关系，你能找到并写出这

个等式吗？当点D不在线段OA上时，这两个等式是否仍然成立？请说明理由．

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