已知在三角形abc中

2022年11月12日发(作者：好书读) 1、已知：如图五，在△ABC中，AB＝AC，点D是

边BC延长线上一点，点E是边AC上一点，如果0

∠EBC＝∠D，BC＝4，cos∠ABC＝．

（1）求证：＝；

（2）如果S1、S2分别表示△BCE、△ABD的面积，求：S1S2的值；

（3）当∠AEB=∠ACD时，求△ACD的面积．（071上海部分学校）







2、已知：如图六，在矩形ABCD中．AB＝3．AD＝

4．将一个直角的顶点P放置于对角线AC上，一条直

角边经过点B，另一条直角边与BC和DC的延长线分

别交于点E、Q

（1）如果CE＝CQ，求AP的长；

（2）比例式＝是否可能成立？如果可能，求出AP的长，并证明你的结论；如果不可能，请说明理由．（07。1徐汇区）





3、已知：如图八，在直角坐标平面中，点O为坐标

原点．直线y＝x＋8分别与x、y轴交于点P、Q，

△ABC的AB边在x轴上，BC⊥x轴，BC与线段PQ

交于点M，AB＝BC＝6，点P是AB的中点．

（1）求BM的长；

（2）如图九，将△ABC以点P为旋转中心进行旋

转，当△ABC的某一条边同时与x、y轴都有交点（设

与x轴的交点为点E，与y轴的交点为点F）时，△OEF

是否可能会与△OPQ相似？如果△OEF会与△OPQ相

似，那么请求出OE的长；如果△OEF不会与△OPQ

相似，那么请说明理由．（07。1闸北）





4、已知：如图一，点D是等腰直角三角形ABC的斜边AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D作DE⊥AB交边AC于点F，连结BE．∠E＝30°，AB＝4. 设DE的长度为x,四边形DBCF的面积为y．

（1）求y与x之间的函数关系式，并指出它的定

义域；

（2）连结BF，①当△BDF与△DBE相似时，求

出x的值；②是否存在x的值，使得△BCF与△DBE

相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

（071普陀区）

5、已知：如图九，在梯形ABCD中，AD∥BC，AP⊥BC，垂足为点P，AB＝CD＝2，BC＝5，∠B＝60°,

（1）求AD的长；

（2）若把三角尺60°的顶点与点P重合，使三角尺绕点P旋转，该60°角的两边PE与PF（看作射线）分别与边AD交于点E（点E不与点A、点D重合），与射线DC交于点F(点F不与点C重合)，如设AE为x，CF为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）在第（2）小题的条件下，三角尺绕点P旋转

过程中，△PED与△PDF这两个三角形中，哪一个三角

形可能成为等腰三角形？如有可能，请指出是哪一个三

角形，并求出AE的长；如不能，请说明理由．

（071青浦）





6．如图十，点A的坐标为（0，5），点B在第一

象限，△AOB为等边三角形，点C在x轴正半轴上．

（1）以AC为边，在第一象限作等边△ACE（保

留作图痕迹，不

写作法和证明）；

（2）设AC与OB的交点为点D，CE与AB的延

长线交于点F，求证：△ADB∽△AFC；

（3）连结BE，试猜想∠ABE的度数，并证明你的猜想；

（4）若点E的坐标为（s，t），当点C在x正半轴运动时，求s、t的关系式．

（071南汇）





7．已知：如图八，△ABC是等边三角形，AB＝

4，点D是AC边上一动点（不与点A、C重合），EF

垂直平分BD，分别交AB、BC于点E、F，设CD＝x，

AE＝y．

（1）求∠EDF的度数；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出x定义域；

（3）过点D作DH⊥AB，垂足为点H，当EH＝1时，求线段CD的长．（071卢湾）





8、已知：如图一，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，在BC边上取两点E、F（点E在点F的左边），以EF为边作等边△PEF，使顶点P在AD上，PE、PF分别交AC于点G、H，

（1）求△PEF的边长；

（2）求证：＝；

（3）若△PEF的边EF在线段BC上移动．试猜想：

PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论．（071虹口）



9、如图七，在直角坐标系中有一个半径

为r的圆A，圆心A在x轴的正半轴上，从坐标原点O

向圆A做切线，切点是点B．

（1）如果OB＝3，OA与半径r的差是3，求

圆A的半径r，点A的坐标及∠AOB的正弦值；

（2）设∠AOB＝α，在图中确定一个与2α大小相等的角（可以添加辅助线），并说明理由；

（3）在（2）的基础上，试探究sin2α与2sinα是否相等？如果相等，请说明理由；如果不相等，请你找出它们之间正确的关系式．（071长宁）









10、（本题满分14分，第（1）题3分，第（2）题6分，第（3）题5分）

已知：如图七，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC

＝6，AC＝8．点P是边AB的中点，以P为顶点，作

∠MPN＝∠A，∠MPN的两边分别与边AC交于点M、

N．

（1）当△MPN是直角三角形时，求CM的长度；

（2）当∠MPN绕点P转动时，下列式子：（甲）CM·AN，（乙）CN·AM的值是否保持不变？若保持不变，试求出这个不变的值，并证明你的结论；

（3）连接BM，是否存在这样的点M，使得△BMP与△ANP相似？若存在，请求出这时CM的长；若不存在，请说明理由．（071宝山）













11、如图七，在四边形ABCD中，BD垂直平分

AC，垂足为点O，∠ABD＝60°，AB边长为24厘米，

ctg∠ADB＝．质点P以4厘米∕秒的速度，从点

A出发沿线路A→B→D作匀速运动，质点Q以5厘米

∕秒的速度，从点D同时出发，沿线路D→C→B→A

作匀速运动．

（1）求BD和CD的长，并确定四边形ABCD的形状；

（2）求经过多少秒钟，运动中的质点P、

Q构成的线段与四边形ABCD的边平行？（不包括起始位置和两点均终止的情况）；

（3）如果已知质点P、Q经过12秒后分别到达M、N两点，然后同时沿原路返回，质点P的速度不变，质点Q的速度改变为a厘米∕秒，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与△AMN相似，求a的值．（061闸北）





12、已知：如图八，在△ABC中，AB＝AC, ∠BAC

＝90°，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，BD＝

DC，BE＝AF，EF交AD于点G．

（1）求证：DE＝DF；

（2）求证：△DEG∽△DCF；

（3）如果AB＝3BE，BE＝2，求出所有与△BDE相似的三角形的面积．（051闸北）





13、抛物线y＝x2＋x＋6与x轴有两个交点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线y＝kx＋b经过点A、C．点D（0，m）（其中m≤6）在y轴上，经过点B、D的直线与直线y＝kx＋b交于点M，

（1）求k和b的值；

（2）如果以点M、C、D为顶点的三角形与以点M、A、B为顶点的三角形相似，求点D、M的坐标；

（3）在第（2）小题的条件下，求△MCD与△MAB的面积比．（041闸北）









14、在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，

圆A的半径为1，如图五所示．若点O在BC边上运动

（与点B、C不重合），设BO＝x，△AOC的面积为y，

（1）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义

域；

（2）以点O为圆心，BO长为半径作圆O，求当圆O与圆A相切时，△AOC的面积．

（2004年上海市中考试题）





15、在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝

3 ．点O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半

圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E．作EP

⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F．

（1）如图一，求证：△ADE∽△AEP；

（2）设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析

式，并写出它的定义域；

（3）当BF＝1时，求线段AP的长．











16、如图4，直线y＝x＋2分别交x、y轴于点

A、C，点P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x

轴，点B为垂足，S△ABP＝9 ．

（1）求点P的坐标；

（2）设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，

且点R在直线PB的右侧．作RT⊥x轴，点T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标



．

（2002年上海市中考试题）

17、操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它

的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．

探究：设A、P两点间的距离为x．

（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；

（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）

（2002年上海市中考试题）





















18、如图一，在正方形ABCD中，AB＝1，AC是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过点E作AC所在圆的切线，交边DC于点F，点G为切点；

（1）当∠DEF＝45°时，求证点G为线段EF的中点；

（2）设AE＝x ，FG＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，如图（2），当时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由． （2003年上海市中考试题）











19、如图7，已知抛物线y＝2x2－4x＋m与x轴交于不

同的两点A、B，其顶点是点C，点D是抛物线的对称轴与

x轴的交点．

（1）求实数m的取值范围；

（2）求顶点C的坐标和线段AB的长度（用含有m的

式子表示）；

（3）若直线y＝x＋1分别交x轴、y轴于点E、F，

问ΔBDC与ΔEOF是否有可能全等？如果可能，请证明；

如果不可能，请说明理由． （2001年上海市中考试题）









20、已知：二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A（－3，6），并与x轴交于点B（－1，0）和点C，顶点为点P．

（1）求:这个二次函数的解析式；（2）设点D为线段OC上的一点，满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标．

（2000市上海市中考试题）