标准偏差公式

标准差（StandardDeviation），也称均方差（meansquareerror），是各

数据偏离平均数的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用S（σ）

表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平

均数相同的，标准差未必相同。

标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式如下两式：



1n

xx

S

n

1i

2

i











或1n

n

x

x

S

2

n

1i

i

n

1i

2

i

























即：

如是总体，标准差公式根号内除以n

如是样本，标准差公式根号内除以（n-1)

因为我们大量接触的是样本，所以普遍使用根号内除以（n-1)

公式意义

所有数减去其平均值的平方和，所得结果除以该组数之个数（或个数减

一)，再把所得值开根号，所得之数就是这组数据的标准差。

标准差越高,表示实验数据越离散,也就是说越不精确；反之,标准差越低,

代表实验的数据越精确

简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的

标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表

这些数值较接近平均值。

例如，两组数的集合{0,5,9,14}和{5,6,8,9}其平均值都是7，但第

二个集合具有较小的标准差。

标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量

时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合

预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差

太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容

易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否

正确。

标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大，

代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越

细，代表回报较为稳定，风险亦较小。

例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、

85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均

数都是70，但A组的标准差为17.07分，B组的标准差为2.37分（此数据时在R

统计软件中运行获得），说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大

得多。

求证下列公式：

由题意可知，求证下列式子即可：

假设x

i

=x_+a

i

，既有x

i

-x_=a

i

，

即求证下列式子即可：

因为：

所以：

所以：

所以：









































































































n

1i

2

2

n

1i

22

2

n

1i

2

n

1i

i

2

2

n

1i

2

i

n

1i

i

n

1i

2

n

1i

2

n

1i

n

1i

i

2

ii

2

n

1i

2

n

1i

i

n

1i

2

i

2

n

1i

i

n

1i

2

i

i

i

i

a

xna0xn

xn

n

1

aax2xn

0x

n

1

aax2x

ax

n

1

aax2x

n

ax

ax

n

x

x

）（

）（）（）（

）（

设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]^2}存在，则称E{[X-E(X)]^2}为X的方差，记为D(X)或DX。

即D(X)=E{[X-E(X)]^2}称为方差，而σ(X)=D(X)^0.5（与X有相同的量纲）称为标准差（或均方差）。

即用来衡量一组数据的离散程度的统计量。

方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。若X的取值比较集中，则方差D(X)较

小；若X的取值比较分散，则方差D(X)较大。因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个

量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。

方差的计算

由定义知，方差是随机变量X的函数g(X)=[X-E(X)]^2的数学期望。即：

由方差的定义可以得到以下常用计算公式：D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2证明：

D(X)=E[X-E(X)]^2=E{X^2-2XE(X)+[E(X)]^2}=E(X^2)-2[E(X)]^2+[E(X)]^2

=E(X^2)-[E(X)]^2方差其实就是标准差的平方。

方差的几个重要性质

（1）设c是常数，则D(c)=0。（2）设X是随机变量，c是常数，则有D(cX)=(c^2)D(X)。（3）

设X与Y是两个随机变量，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}特别的，当

X，Y是两个相互独立的随机变量，上式中右边第三项为0（常见协方差），则

D(X+Y)=D(X)+D(Y)。此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况.（4）D(X)=0的

充分必要条件是X以概率为1取常数值c，即P{X=c}=1，其中E(X)=c。

常见随机变量的期望和方差

设随机变量X。X服从(0—1)分布，则E(X)=pD(X)=p(1-p)X服从泊松分布，即X~π(λ),

则E(X)=λ，D(X)=λX服从均匀分布，即X~U(a，b),则E(X)=(a+b)/2,D(X)=(b-a)^2/12X服

从指数分布，即X~e(λ),E(X)=λ^(-1)，D(X)=λ^(-2)X服从二项分布，即X~B(n,p)，则E(x)=np,

D(X)=np(1-p)X服从正态分布，即X~N(μ,σ^2),则E(x)=μ,D(X)=σ^2X服从标准正态分布，

即X~N(0,1),则E(x)=0,D(X)=1