x~n

0/14

第六章样本及抽样分布

1.[一]在总体N（52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值

X

落在50.8

到53.8之间的概率。

解：

8293.0)

7

8

()

7

12

(

}

6

3.6

8.1

6

3.6

52

6

3.6

2.1

{}8.538.50{),

36

3.6

,52(~

2













X

PXPNX

2.[二]在总体N（12，4）中随机抽一容量为5的样本X

1

，X

2

，X

3

，X

4

，X

5

.

（1）求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。

（2）求概率P{max(X

1

，X

2

，X

3

，X

4

，X

5

)>15}.

（3）求概率P{min(X

1

，X

2

，X

3

，X

4

，X

5

)>10}.

解：（1）





































































2

5

5

4

12

2

5

4

1

5

4

12

}112{|

X

P

X

PXP

=2628.0)]

2

5

(1[2

（2）P{max(X

1

，X

2

，X

3

，X

4

，X

5

)>15}=1－P{max(X

1

，X

2

，X

3

，X

4

，X

5

)≤15}

=.2923.0)]

2

1215

([1}15{15

5

1







i

i

XP

（3）P{min(X

1

，X

2

，X

3

，X

4

，X

5

)<10}=1－P{min(X

1

，X

2

，X

3

，X

4

，X

5

)≥10}

=.5785.0)]1([1)]

2

1210

(1[1}10{155

5

1







i

i

XP

4.[四]设X

1

，X

2

…，X

10

为N（0，0.32）的一个样本，求}.44.1{

10

1

2

i

i

XP

1/14

解：

)5(1.0}16

3.0

{}44.1{),10(~3.0

10

1

2

2

10

1

222

10

1

2查表







i

i

i

i

i

i

X

PXPχ

X

7．设X

1

，X

2

，…，X

n

是来自泊松分布π(λ)的一个样本，

X

，S2分别为样本均值

和样本方差，求E(

X

),D(

X

),E(S2).

解：由X~π(λ)知E(X)=λ，)(XD

∴E(

X

)=E(X)=λ,D(

X

)=.)()(,

)(

2λXDSE

n

λ

n

XD



[六]设总体X~b(1,p)，X

1

，X

2

，…，X

n

是来自X的样本。

（1）求),,,(

21n

XXX的分布律；

（2）求



n

i

i

X

1

的分布律；

（3）求E(

X

),D(

X

),E(S2).

解：（1）（X

1

，…，X

n

）的分布律为











n

k

ii

n

k

kkn

kkPPiXPinXiXiXP

1

1

1

2211

)1(}{},,,{

独立



=

.,,1,10,)1(11nkiPP

k

ini

n

i

k

n

k

k







或

（2）



n

i

i

pnbX

1

),(~

(由第三章习题26[二十七]知)

（3）E(

X

)=E(X)=P，

)1()()(

)(

)(

2PPXDSE

n

P

n

XD

XD





[八]设总体X~N（μ，σ2），X

1

，…，X

10

是来自X的样本。

（1）写出X

1

，…，X

10

的联合概率密度（2）写出

X

的概率密度。

解：（1）(X

1

，…，X

10

)的联合概率密度为

2

2

2

)(

10

1

10

1

1012

1

)(),(











i

x

ii

i

exfxxf

2

1

2

2

)(

2)2(















n

i

i

x

n

n

e

（2）由第六章定理一知

2/14

X

～10),,(

2

n

n

σ

μN

即

X

的概率密度为

2

2

2

)(

2

1

)(σ

μzn

X

e

n

σ

π

zf









第七章参数估计

1．[一]随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）

74.00174.00574.00374.00174.00073.99874.00674.002

求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S2。

解：μ，σ2的矩估计是6

1

22106)(

1

ˆ

,002.74

ˆ



n

i

i

xX

n

X

621086.6S

。

2．[二]设X

1

，X

1

，…，X

n

为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布

律中的未知参数的矩估计量。

（1）













其它,0

,

)(

)1(cxxcθ

xf

θθ

其中c>0为已知，θ>1，θ为未知参数。

（2）

















.,0

10,

)(

1

其它

xxθ

xf

θ

其中θ>0，θ为未知参数。

（5）ppmxppxXPxmxm

x

,10,,,2,1,0,)1()(为未知参数。

解：（1）

X

θ

cθ

θ

cθ

c

θ

cθ

dxxcθdxxxfXEθ

θ

c

θθ

















1

,

11

)()(1令

，

得

cX

X

θ





（2）

,

1

)()(

1

0



θ

θ

dxxθdxxxfXEθ2)

1

(,

1

X

X

θX

θ

θ







得令

3/14

（5）E(X)=mp令mp=

X

，解得

m

X

p

ˆ

3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。

解：（1）似然函数1

21

1

)()()(



θ

n

θnn

n

i

i

xxxcθxfθL

0lnln

)(ln

,ln)1(ln)ln()(ln

11





n

i

i

n

i

i

xcn

n

θ

θd

θLd

xθcθnθnθL









n

i

i

cnx

n

θ

1

lnln

ˆ

（解唯一故为极大似然估计量）

（2）

















n

i

i

θ

n

nn

i

i

xθθ

n

θLxxxθxfθL

1

1

21

2

1

ln)1()ln(

2

)(ln,)()()(











n

i

i

n

i

i

xnθx

θ

θ

n

θd

θLd

1

2

1

)ln(

ˆ

,0ln

2

11

2

)(ln

。(解唯一)故为极大似然估

计量。

（5）











































n

i

n

i

ii

xmnx

n

n

i

i

pp

x

m

x

m

xXPpL11)1(}{)(

1

1



，

),1ln()(lnln)(ln

111

pxmnpxpL

n

i

i

n

i

i

n

i

m

x

i





0

1

)(ln

11











p

xmn

p

x

dp

pLd

n

i

i

n

i

i

解得

m

X

mn

x

p

n

i

i





2，（解唯一）故为极大似然估计量。

4．[四(2)]设X

1

，X

1

，…，X

n

是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ

的极大似然估计量及矩估计量。

解：（1）矩估计X~π(λ)，E(X)=λ，故

λ

ˆ

=

X

为矩估计量。

4/14

（2）极大似然估计λn

n

x

n

i

i

e

xxx

λ

λxPλL

n

i

i









!!!

);()(

21

1

1



，

λnxλxλL

n

i

i

n

i

i



11

!lnln)(ln

Xλn

λ

x

λd

λLd

n

i

i





ˆ

,0

)(ln

1解得为极大似然估计量。

（其中

),1,0,

!

}{);(

i

λ

i

x

ii

xe

x

λ

xXPλxpi

5．[六]一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样

品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察

相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为n=10，P的二项分布。P是该地区一块

石子是石灰石的概率。求p的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下

样品中属石灰石的石子数

观察到石灰石的样品个数

310

解：λ的极大似然估计值为

λ

ˆ

=

X

=0.499

[四(1)]设总体X具有分布律

X123

P

k

θ22θ(1－θ)(1－θ)2

其中θ(0<θ<1)为未知参数。已知取得了样本值x

1

=1，x

2

=2，x

3

=1，试求θ的矩估计

值和最大似然估计值。

解：（1）求θ的矩估计值

θθθθθ

θθθθXE

23)]1()][1(3[

)1(3)1(221)(22





XθXE23)(令

则得到θ的矩估计值为

6

5

2

3

121

3

2

3

ˆ













X

θ

（2）求θ的最大似然估计值

5/14

似然函数}1{}2{}1{}{)(

321

3

1





XPXPXPxXPθL

i

ii

)1(2

)1(2

5

22

θθ

θθθθ





lnL(θ)=ln2+5lnθ+ln(1－θ)

求导0

1

1

6

5

)(ln







θθd

θLd

得到唯一解为

6

5

ˆ

θ

8．[九(1)]设总体X~N（μ，σ2），X

1

，X

1

，…，X

n

是来自X的一个样本。试确定

常数c使2

1

1

2

1

)(σXXc

n

i

ii

为





的无偏估计。

解：由于





















1

1

2

1

2

1

1

1

2

1

1

1

2

1

]))(()(])([])([

n

i

iiii

n

i

ii

n

i

ii

XXEXXDcXXEcXXcE

=











1

1

1

1

2222

111

)12()02(])()()([

n

i

n

i

iii

σncσcEXEXXDXDc

当的无偏估计为时2

1

1

2

1

)(,

)1(2

1













n

i

ii

XXc

n

c。

[十]设X

1

，X

2

，X

3

，X

4

是来自均值为θ的指数分布总体的样本，其中θ未知，

设有估计量

)(

3

1

)(

6

1

43211

XXXXT

5)432(

43212

XXXXT

4

)(

4321

3

XXXX

T





（1）指出T

1

，T

2

，T

3

哪几个是θ的无偏估计量；

（2）在上述θ的无偏估计中指出哪一个较为有效。

解：（1）由于X

i

服从均值为θ的指数分布，所以

6/14

E(X

i

)=θ,D(X

i

)=θ2,i=1,2,3,4

由数学期望的性质2°，3°有

θXEXEXEXETE)]()([

3

1

)]()([

6

1

)(

43211

θXEXEXEXETE2)](4)(3)(2)([

5

1

)(

43212



θXEXEXEXETE)]()()()([

4

1

)(

43213

即T

1

，T

2

是θ的无偏估计量

（2）由方差的性质2°，3°并注意到X

1

，X

2

，X

3

，X

4

独立，知

2

4321118

5

)]()([

9

1

)]()([

36

1

)(θXDXDXDXDTD

2

432124

1

)]()()()([

16

1

)(θXDXDXDXDTD

D(T

1

)>D(T

2

)

所以T

2

较为有效。

14.[十四]设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.05.75.8

6.57.06.35.66.15.0。设干燥时间总体服从正态分布N~（μ，σ2），求μ的置信

度为0.95的置信区间。（1）若由以往经验知σ=0.6（小时）（2）若σ为未知。

解：（1）μ的置信度为0.95的置信区间为（

2

α

z

n

σ

X

），

计算得

)392.6,608.5()96.1

9

6.0

0.6(,6.0,96.1,0.6

025.0

即为查表σzX

（2）μ的置信度为0.95的置信区间为（

)1(

2

nt

n

S

X

α

），计算得

0.6X

，查

表t

0.025

(8)=2.3060.

)442.6,558.5()3060.2

3

33.0

0.6(.33.064.2

8

1

)(

8

19

1

22



故为

i

i

xxS

16.[十六]随机地取某种炮弹9发做试验，得炮弹口速度的样本标准差为

s=11(m/s)。设炮口速度服从正态分布。求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为0.95

的置信区间。

解：σ的置信度为0.95的置信区间为

7/14

)1.21,4.7()

18.2

118

,

535.17

118

()

)1(

)1(

,

)1(

)1(

(

2

2

1

2

2

2

2

















n

Sn

n

Sn





其中α=0.05,n=9

查表知180.2)8(,535.17)8(2

975.0

2

025.0

χχ

19.[十九]研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。设两者都服从正态分布，并且

已知燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s，取样本容量为n

1

=n

2

=20.得燃烧率的样本均值

分别为./24,/18

21

scmxscmx设两样本独立，求两燃烧率总体均值差μ

1

－μ

2

的置信

度为0.99的置信区间。

解：μ

1

－μ

2

的置信度为0.99的置信区间为

).96.5,04.6()2

20

05.0

58.22418()(

2

2

2

2

1

2

1

2

21



nn

zXX





其中α=0.01，z

0.005

=2.58,n

1

=n

2

=20,24,18,05.0

2

1

22

2

2

1

XXσσ

20.[二十]设两位化验员A，B独立地对某中聚合物含氯两用同样的方法各做10次

测定，其测定值的样本方差依次为2222,.6065.0,5419.0

BABA

σσSS设分别为A，B所测

定的测定值总体的方差，设总体均为正态的。设两样本独立，求方差比22

BA

σσ的置信

度为0.95的置信区间。

解：22

BA

σσ的置信度为0.95的置信区间

)

)1,1(

,

)1,1(

(

21

2

1

2

2

21

2

2

2





nnFS

S

nnFS

S

αB

A

αB

A

)

6065.0

03.45419.0

,

03.46065.0

5419.0

(





=(0.222,3.601).

其中n

1

=n

2

=10，α=0.05，F

0.025

(9,9)=4.03,

03.4

1

)9,9(

1

)9,9(

025.0

975.0



F

F

。

第八章假设检验

8/14

1.[一]某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）3.253.273.243.263.24。

设测定值总体服从正态分布，问在α=0.01下能否接受假设：这批矿砂的含镍量的均值

为3.25.

解：设测定值总体X～N（μ，σ2），μ，σ2均未知

步骤：（1）提出假设检验H

0

：μ=3.25;H

1

：μ≠3.25

（2）选取检验统计量为

)1(~

25.3





nt

n

S

X

t

（3）H

0

的拒绝域为|t|≥

).1(

2

nt

α

（4）n=5,α=0.01，由计算知01304.0)(

1

1

,252.3

5

1

2





i

i

XX

n

Sx

查表t

0.005

(4)=4.6041,)1(343.0

5

01304.0

25.3252.3

||

2





ntt

α

（5）故在α=0.01下，接受假设H

0

2．[二]如果一个矩形的宽度ω与长度l的比618.0)15(

2

1

lω，这样的矩

形称为黄金矩形。这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。现代建筑构件（如窗架）、

工艺品（如图片镜框）、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩型。下

面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形的宽度与长度的比值。设这一工厂生产的矩形

的宽度与长短的比值总体服从正态分布，其均值为μ，试检验假设（取α=0.05）

H

0

：μ=0.618H

1

：μ≠0.618

0.6930.7490.6540.6700.6620.6720.6150.6060.6900.6280.668

0.6110.6060.6090.6010.5530.5700.8440.5760.933.

解：步骤：（1）H

0

：μ=0.618；H

1

：μ≠0.618

（2）选取检验统计量为

)1(~

618.0





nt

n

S

X

t

（3）H

0

的拒绝域为|t|≥

).1(

2

nt

α

（4）n=20α=0.05，计算知

9/14

0925.0)(

1

1

,6605.0

1

1

2

1









n

i

i

n

i

i

xx

n

Sx

n

x，

)1(055.2

20

0925.0

618.06605.0

||,0930.2)1(

22





nttnt

αα

（5）故在α=0.05下，接受H

0

，认为这批矩形的宽度和长度的比值为0.618

3.[三]要求一种元件使用寿命不得低于1000小时，今从一批这种元件中随机抽取

25件，测得其寿命的平均值为950小时，已知这种元件寿命服从标准差为σ=100小时

的正态分布。试在显著水平α=0.05下确定这批元件是否合格？设总体均值为μ。即需

检验假设H

0

：μ≥1000，H

1

：μ<1000。

解：步骤：（1）:

0

Hμ≥1000；H

1

：μ<1000；（σ=100已知）

（2）H

0

的拒绝域为

α

z

n

σ

x



1000

（3）n=25，α=0.05，

950x

，

计算知

645.15.2

25

100

1000

05.0





z

x

（4）故在α=0.05下，拒绝H

0

，即认为这批元件不合格。

12.[十一]一个小学校长在报纸上看到这样的报导：“这一城市的初中学生平均每

周看8小时电视”。她认为她所领导的学校，学生看电视的时间明显小于该数字。为此

她向100个学生作了调查，得知平均每周看电视的时间

5.6x

小时，样本标准差为s=2

小时。问是否可以认为这位校长的看法是对的？取α=0.05。（注：这是大样本检验问题。

由中心极限定理和斯鲁茨基定理知道不管总体服从什么分布，只要方差存在，当n充分

大时

ns

μx

近似地服从正态分布。）

解：（1）提出假设H

0

：μ≤8；H

1

：μ>8

（2）当n充分大时，

ns

μx

近似地服从N（0，1）分布

（3）H

0

的拒绝域近似为

ns

μx

≥z

α

10/14

（4）n=100，α=0.05，

5.6x

，S=2，由计算知

645.15.7

100

2

85.6

||

05.0





zt

（5）故在α=0.05下，拒绝H

0

，即认为校长的看法是不对的。

14.[十三]某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005(欧姆)。今在生产的一批

导线中取样品9根，测得s=0.007(欧姆)，设总体为正态分布。问在水平α=0.05能否认

为这批导线的标准差显著地偏大？

解：（1）提出H

0

：σ≤0.005；H

1

：σ>0.005

（2）H

0

的拒绝域为)1(

005.0

)1(2

2

2





nχ

Sn

α

（3）n=9，α=0.05，S=0.007，由计算知

)1(68.15

005.0

007.08

005.0

)1(2

2

2

2

2









nχ

Sn

α

查表507.15)8(2

05.0

χ

（4）故在α=0.05下，拒绝H

0

，认为这批导线的标准差显著地偏大。

15.[十四]在题2中记总体的标准差为σ。试检验假设（取α=0.05）

H

0

：σ2=0.112，H

1

：σ2≠0.112。

解：步骤（1）H

0

：σ2=0.112；H

1

：σ2≠0.112

（2）选取检验统计量为

)1(~

11.0

)1(

2

2

2

2



nχ

Sn

χ

（3）H

0

的拒绝域为)1()1(2

2

1

2

2

2

2



nχχnχχ

α

α

或

（4）n=20，α=0.05，由计算知S2=0.09252，

437.13

11.0

)1(

2

2



Sn

查表知907.8)19(,852.32)19(2

975.0

2

025.0



（5）故在α=0.05，接受H

0

，认为总体的标准差σ为0.11.

16.[十五]测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出s=0.037%，设测定值总

体为正态分布，σ2为总体方差。试在水平α=0.05下检验假设H

0

：σ≥0.04%；H

1

：σ<0.04%。

解：（1）H

0

：σ2≥(0.04%)2；H

1

：σ2<(0.04%)2

11/14

（2）H

0

的拒绝域为

)1(

%)04.0(

)1(2

1

2

2







nχ

Sn

α

（3）n=10，α=0.05，S=0.037%，查表知

325.3)9(2

95.0

χ

由计算知).9(701.7

%)04.0(

)037.09

%)04.0(

)1(2

95.0

2

2

2

2

χ

Sn









（4）故在α=0.05下，接受H

0

，认为σ大于0.04%

17.[十六]在第6[五]题中分别记两个总体的方差为2

2

2

1

σσ和。试检验假设（取α=

0.05）H

0

：2

2

2

1

和以说在第6[五]题中我们假设2

2

2

1

σσ是合理的。

解：（1）H

0

：2

2

2

11

2

2

2

1

:,σσHσσ

（2）选取检验统计量为)1,1(~

21

2

2

2

1nnF

S

S

F

（3）H

0

的拒绝域为)1,1()1,1(

21

2

1

21

2





nnFFnnFF

αα

或

（4）n

1

=8，n

2

=10，α=0.05，查表知F

0.025

(7,9)=4.20

298.0

00084.0

00025.0

,207.0

82.4

1

)7,9(

1

)9,7(

2

2

2

1

025.0

975.0



S

S

F

F

F

F

0.975

(7,9)

0.025

(7,9)

（5）故在α=0.05下，接受H

0

，认为2

2

2

1

σσ

18.[十七]在第8题[七]中分别记两个总体的方差为2

2

2

1

σσ和。试检验假设（取α=

0.05）H

0

：2

2

2

11

2

2

2

1

:,σσHσσ以说明在第8[七]题中我们假设2

2

2

1

σσ是合理的。

解：（1）H

0

：2

2

2

11

2

2

2

1

:,σσHσσ

（2）选取检验统计量

2

2

2

1

S

S

F

（3）n

1

=n

2

=12，α=0.05，查表知

F

0.025

(11,11)=3.34，

299.0

34.3

1

)11,11(

1

)11,11(

025.0

975.0



F

F

由计算知

34.3932.0299.0,1,932.0

2

2

2

1

2

2

2

1



S

S

SS

（4）故在α=0.05下，接受H

0

，认为2

2

2

1

σσ

12/14

24.[二十三]检查了一本书的100页，记录各页中印刷错误的个数，其结果为

错误个数f

i

0123456≥7

含f

i

个错误的页数

36401920210

问能否认为一页的印刷错误个数服从泊松分布（取α=0.05）。

解：（1）H

0

：总体X~π(λ)；H

1

：X不服从泊松布；（λ未知）

（2）当H

0

成立时，λ的最大似然估计为.1

ˆ

xλ

（3）H

0

的拒绝域为)1(

ˆ

ˆ

2

2

2γkχn

pn

f

χ

α

i

i

（4）n=100

3679.0

!0

}0{

ˆ1

0



e

XPP

3679.0

!1

1

}1{

ˆ11

1



e

XPP

18397.0

!2

1

}2{

ˆ12

2



e

XPP

06132.0

!3

1

}3{

ˆ13

3



e

XPP

01533.0

!4

1

}4{

ˆ14

4



e

XPP

003066.0

!5

1

}5{

ˆ15

5



e

XPP

000511.0

!6

1

}6{

ˆ16

6



e

XPP

000083.0

ˆ

1}7{

ˆ

6

0

7



i

i

PXPP

对于j>3，5

ˆ



j

Pn

将其合并得

023.8

ˆ

7

3



j

j

Pn

合并后，K=4，Y=1

查表知

991.5)114(2

05.0

χ

由计算知444.1100

023.8

5

397.18

19

79.36

40

79.36

362222

2χ

（5）故在α=0.05下，接受H

0

，认为一页的印刷错误个数服从泊松分布。

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