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第六节二阶常系数齐次线性微分方程

教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐

次线性微分方程的解法

教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法

教学过程：

一、二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程方程

ypyqy0

称为二阶常系数齐次线性微分方程其中p、q均为常数

如果y

1

、y

2

是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解那么yC

1

y

1

C

2

y

2

就是它的

通解

我们看看能否适当选取r使yerx满足二阶常系数齐次线性微分方程为此将yerx代入

方程

ypyqy0

得

(r2prq)erx0

由此可见只要r满足代数方程r2prq0函数yerx就是微分方程的解

特征方程方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程特征方程的两个根r

1

、r

2

可用公式

2

42

2,1

qpp

r





求出

特征方程的根与通解的关系

(1)特征方程有两个不相等的实根r

1

、r

2

时函数xrey1

1

、xrey2

2

是方程的两个线性无关

的解

这是因为

函数xrey1

1

、xrey2

2

是方程的解又xrr

xr

xr

e

e

e

y

y

)(

2

1

21

2

1不是常数

因此方程的通解为

xrxreCeCy21

21



(2)特征方程有两个相等的实根r

1

r

2

时函数xrey1

1

、xrxey1

2

是二阶常系数齐次线性微分

方程的两个线性无关的解

这是因为xrey1

1

是方程的解又

xrxrxrxrxrxrqxeexrpexrrxeqxepxe111111)1()2()()()(

1

2

11









0)()2(

1

2

11

11qprrxeprexrxr

所以

xrxey1

2

也是方程的解且x

e

xe

y

y

xr

xr



1

1

1

2

不是常数

因此方程的通解为

xrxrxeCeCy11

21



(3)特征方程有一对共轭复根r

1,2

i时函数ye(

i)

x、ye(

i)

x是微分方程的两个线性无

关的复数形式的解函数yexcosx、yexsinx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解

函数y

1

e(

i)

x和y

2

e(

i)

x都是方程的解而由欧拉公式得

y

1

e(

i)

xex(cosxisinx)

y

2

e(

i)

xex(cosxisinx)

y

1

y

2

2excosx)(

2

1

cos

21

yyxex

y

1

y

2

2iexsinx)(

2

1

sin

21

yy

i

xex

故excosx、y

2

exsinx也是方程解

可以验证y

1

excosx、y

2

exsinx是方程的线性无关解

因此方程的通解为

yex(C

1

cosxC

2

sinx)

求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的通解的步骤为

第一步写出微分方程的特征方程

r2prq0

第二步求出特征方程的两个根r

1

、r

2



第三步根据特征方程的两个根的不同情况写出微分方程的通解

例1求微分方程y2y3y0的通解

解所给微分方程的特征方程为

r22r30即(r1)(r3)0

其根r

1

1r

2

3是两个不相等的实根因此所求通解为

yC

1

e

xC

2

e3

x

例2求方程y2yy0满足初始条件y|

x0

4、y|

x0

2的特解