向量三点共线定理

平面向量中“三点共线定理”

妙用

2

平面向量中“三点共线定理”妙用

对平面内任意的两个向量babba









//),0(,的充要条件是：存在唯一的实数，使ba







由该定理可以得到平面内三点共线定理：

三点共线定理：在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点

的O，存在唯一的一对实数x,y使得：OPxOAyOB且

1xy

。

特别地有：当点P在线段AB上时，0,0xy

当点P在线段AB之外时，0xy

笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点

共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得

十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点

共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。

例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a

n

}的前n项和为S

n

，若

1200

OBaOAaOC，且A、B、C三点共线，（设直线不过点O），则S200

=（）

A．100B．101C．200D．201

解：由平面三点共线的向量式定理可知：a

1

+a

200

=1,∴1200

200

200()

100

2

aa

S





,故选A。

点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经

典的高考题。

例2已知

P

是

ABC

的边

BC

上的任一点，且满足RyxACyABxAP.,，则

yx

41



的最小值是

解：点P落在

ABC

的边BC上B，P,C三点共线

APxAByAC1xy 且x>0,y>0

14141444

()1()()145

yxyx

xy

xyxyxyxyxy



x>0,y>0

4

0,0

yx

xy

由基本不等式可知：

44

24

yxyx

xyxy

，取等号时

3

4yx

xy

224yx2yx0,0xy2yx1xy

12

,

33

xy，符合

所以

yx

41



的最小值为9

点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起，

较综合考查了学生基本功.

例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC中，

1

3

ANNC，点P是BC上的一点，若

2

11

APmABAC，则实数m的

值为（）

A．

9

11

B.

5

11

C.

3

11

D.

2

11

解：,,BPN三点共线，又

228

4

111111

APmABACmABANmABAN

8

1

11

m

3

11

m，故选C

例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直

线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n

的值为．

解：因为O是BC的中点，故连接AO，如图4，由向量加法的平行

四边形法则可知：

1

()

2

AOABAC

mABAM＝，ACnAN

1

()

2

AOmAMnAN

22

mn

AOAMAN

又,,MON三点共线，

由平面内三点共线定理可得：1

22

mn

2mn

例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G是

△OAB的重心，P、Q分别是边OA、OB上

图3

图4

图2

4

5

1

(1)

4

AGab……………………………②

由①②两式可得：

2

1

3

1

1

4

x

x

























6

7

3

7

x























31

77

AGab

点评：本题的解法中由两组三点共线（F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上），

利用平面内三点共线定理构造方程组求解，避免了用的向量的加法和平面向理基本

定理解答本题的运算复杂，达到了简化解题过程的效果。

例6的变式一：如图7所示，在三角形ABC中,AM﹕AB=1﹕3,AN

﹕AC=1﹕4,BN与CM相交于点P，且aAB



，bAC



，试用a



、

b



表示AP

解：,,NPB三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y

使得,1APxAByANxy,

AN﹕AC=1﹕4,

bACAN



4

1

4

1



1

444

yyx

APxABACxabxab





……①

又,,CPM三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数,



使得

,1APAMAC∵AM﹕AB=1﹕3∴

aABAM



3

1

3

1

，，

1

33

APabab







……………………………②

由①②两式可得：

1

3

1

4

x

x



























3

11

2

11

x























8

1,

11

xyy

32

1111

APab

例6的变式二：如图8所示：直线l过ABCD的两条对角

线AC与BD的交点O，与AD边交于点N,与AB的延长线交

于点M。又知AB＝mAM，AD＝nAN，则m＋n=

P

AB

C

M

N

图7

图8

6

解：因为点O两条对角线AC与BD的交点，所以点O为AC的中点

1

()

2

AOABADAB＝mAM，AD＝nAN

1

()

222

mn

AOmAMnANAMAN

又,,MON三点共线，

由平面内三点共线的向量式定理可得：1

22

mn

2mn

定理的推广：

推广1：如图9所示：已知平面内一条直线AB,两个不同的点O与P.

点O,P位于直线AB异侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y

使得：OPxOAyOB且1xy。

推广2：如图10所示：已知平面内一条直线AB,两个不同的点O与P.

点O,P位于直线AB同侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y使得：

OPxOAyOB且1xy。

例7已知点P为

ABC

所在平面内一点，且

1

3

APABtAC(

tR

),

若点P落在

ABC

的内部，如图11,则实数t的取值范围是（）

A．

3

(0,)

4

B.

13

(,)

24

C.(0,1)D.

2

(0,)

3

解：点P落在

ABC

的内部A,P两点在直线BC的同一侧，

由推论2知：

1

1

3

t

2

3

t，所以选D

例8（06年湖南高考题文科）如图12：OM∥AB，点P由射线

OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.

且

OByOAxOP

，则实数对（x,y）可以是（）

A．)

4

3

,

4

1

(B.)

3

2

,

3

2

(C.)

4

3

,

4

1

(D.

)

5

7

,

5

1

(

解：由题目的条件知：点O与点P在直线AB的同侧，所以1xy，

所以A,D两选项不符合。对于选项B、C,都有1xy,

A

B

O

M

图12

图9

图

图

7

但当

2

3

x时，

①如果点P在直线AB上，则由平面内三点共线的向量式定理可知：

5

3

y

②如果点P在直线OM上，OM∥AB可知：

||OPAB

，由平面向理共线定理可知：存在

唯一的实数t,使得()OPtABtOBOAtOAtOB，

OByOAxOP,txty

22

,

33

ty

又因为点P在两平行直线AB、OM之间，所以

25

33

y，故B选不符合。

对选项C同理可知：当

1

4

x时，

15

44

y，故

3

4

y符合，所以选C

例9（06年湖南高考题理科）如图13,OM∥AB,点P在由射线

OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运

动,且OPxOAyOB,当

1

2

x时,

y

的取值范围

是.

解：当

1

2

x时，

①如果点P在直线AB上，则由平面内三点共线的向量式定理可知：

3

2

y

②如果点P在直线OM上，OM∥AB可知：OPAB，由平面向理共线定理可知：存在

唯一的实数t,使得()OPtABtOBOAtOAtOB，

OByOAxOP,txty

11

,

22

ty，又因为点P在两平行直线AB、OM之间，所以

13

22

y，所以实数y

的取值范围是：

13

(,)

22

练习：

，点P在边AB上，3ABAP，设

,OAaOBb，则OP

（）

12

.

33

Aab

21

.

33

Bab

图

P

B

A

O

b

a

8

.C

12

33

ab.D

21

33

ab

1、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点

A(3,1),B(-1,3),若点C(x,y)满足OC=αOA+βOB，其中

α,β∈R且α+β=1，则x,y所满足的关系式为（）

A．3x+2y-11=0B．(x-1)2+(y-2)2=5

C．2x-y=0D．x+2y-5=0

2、已知

P

是ABC的边

BC

上的任一点，且满足RyxACyABxAP.,，则

yx

41



的最小值是

3、在平行四边形ABCD中，O是对角线AC与BD

的交点，E是BC边的中点，连接DE交AC于点F。

已知,ABaADb,则OF（）

9

A．11

36

abB．1

()

4

abC．1

()

6

ab

D．11

64

ab

4、(2014届东江中学高三年级理科第三次段考）在平行四边形

ABCD

中，

E

、

F

分别是

BC

、

CD

的中点，

DE

交

AF

于

H

，

记

AB

→

、

BC

→

分别为

a

、

b

，则

AH

→

＝

()

A．

2

5

a－

4

5

bB．

2

5

a＋

4

5

bC．－

2

5

a＋

4

5

b

D．－

2

5

a－

4

5

b

5、（2008年广东卷）在平行四边形ABCD中，AC与BD交

于点OE，是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点

F．若ACa，BDb，则AF（）

A．11

42

abB．21

33

abC．11

24

ab

10

D．12

33

ab

6、在平行四边形

ABCD

中，11

,

34

AEABAFAD,C

E与BF

相交于点

G,

记ABa，ADb，则AG＝

()

A．21

77

abB．23

77

abC．31

77

ab

D．42

77

ab

7、在△ABO中，已知11

,,

42

OCOAODOB，且AD与BC

相交于点M，设,,OAaOBb则_________OM（结果用ab与

表示）

8、如图所示：A,B,C是圆O上的三个点，CO的

延长线与线段AB交于圆内一点D，若OCxOAyOB

11

则有：（）

.01.1.1.10AxyBxyAxyAxy

变式：如图所示：A,B,C是圆O上的三个点，CO

的延长线与线段AB的延长线交于圆外一点F，若

OCxOAyOB

则有：（）

.01.1.1.10AxyBxyAxyAxy