1的无穷次方

无穷级数一章中幂级数的和函数的求法

首先先肯定的说我们在中学遇到的数列就两种1、等差数列2、等

比数列这个你是知道的。。。当时解决N项数列和的公式你一定是记

得的！

1、等差数列

Sn=n(a1+an)/2或Sn=[2na1+n(n-1)d]/2注：an=a1+(n-1)d

转换过程：

Sn=n(a1+an)/2=n{a1+[a1+(n-1)d]}/2=n[2a1+(n-1)d]/2=[2na1+n(n

-1)d]/2

2、等比数列

Sn=n*a1(q=1)

Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)(q≠1)

(n为比值，a为项数）

你知道这两个就证明幂级数你学是一点问题都没有了（高数上

你高懂的情况下）

那现在问题是你不知道为什么要逐项求导和逐项积分了！

听好了，以前初等数学就是用一些初等变换去对式子变形——比

如把原式变成两个等比或者等差数列，然后用等比等差数列求和公式

求出原式的N项和。

现在高等数学就不好搞了，就不能用一些初等变换（比如分母有

理化，比如分子加一减一等等）的方式去分成几项有规律的数列了，

那么，我们现在怎么办？要回到高中我们就只有求神了。但是，当我

们现在学了高等数学后，我们就可以通过求导或者积分的方式把他变

成我们所了解的等比和等差数列了，那多爽，是吧！通过求导就回到

高中！

不要去想什么逐项求导和逐项积分乱七八糟的，其实就是对通项

求导或者积分。

先说求导：目的就是把我们不论用初等数学怎么变化都不能变成

等比数列的式子变成等比数列！

注意观察：例如：S（X）=∑（2~无穷）{[（-1）^n][x^(n-1)]/n-1}

这个式子你用高中的方法去分成几项等比数列嘛，你一定会很悲剧

的。通过观察：求一次导x^(n-1)的导数不就是（n-1）[x^(n-2)],

分子的n-1不是可以和分母的n-1约掉啊！（注意了哈：逐项求导

说的十分猥琐，其实就是对∑（2~无穷）{[（-1）^n][x^(n-1)]/n-1}

求导）求导你要这样想n是常数，X是变量，对X求导（其实N就

是常数，我怕你搞错了，我现在没有办法知道你的基础，所以当高中

生在教）。求导以后的数列变成∑（2~无穷）{[（-1）^n][x^(n-2)]，

求了导之后你展开：把N=2带进去等于1把N等于3带进去等于

（-X）把N等于4带进去等于（X^2）把5带进去等于

（-x^3）.......发现没有，求导之后的通项居然是个q=(-x)a1=1

的等比数列！那我们的目的达到了！这个等比数列的求和公式

Sn=a1(1-q^n)/(1-q)得：1/(1+x)|x|<1才收敛哈！不然考试不写

|x|<1要扣粉的哈！求导之后的通项的和我们求到了1/(1+x)|x|<1

那是不是我们要积分一次才是原来的题目啊！求导和积分是逆运算的

嘛！S（X）=S（0）+1/(1+T)求积分（从0到X）=ln(1+x)|x|<1

其实求导的目的就是把式子变成我们可以处理的等比数列，再

求和，最后把和积分回来就对了，说的这样深邃！

再说为什么要积分：目的还是把式子变成我们可以处理的等比数

列！什么逐项积分！说的太猥琐了，其实就是对通项积分，把式子能

展开成等比数列就对了！NND不说猥琐点难道就体现不出编教材的人

的水平吗？

看着啊，我现在就按照同济教材的立体为例子：给你玩一下：∑

（1~无穷)n(x^n-1)

解：S（x)=∑（1~无穷)n(x^n-1)的和函数

仔细观察：(x^n-1)积分是不是分母出现了n,正好和分子的n越掉。

直接对)∑（1~无穷)n(x^n-1)积分哈~~~不要考虑什么逐项积分，

从此你就当没有听过逐项积分这种说法。积分后就变成∑（x^n），

原式是没有办法处理的，但是有了这个式子之后，展开把N=（1、2、

3、4。。。。）带入就发现是个很标准的q=x的等比数列了。这个等比数

列求和为：x/(1-x)。x/(1-x)是积分后的和哈，那要求原来的和简

单嘛，求一次导就对了：1/[1-x)^2]

总结：原式我不能处理怎么办，求导或者积分后变成等比数列，

我求和，求完了积分或者求导回去就对了！

注意：不光是处理成等比数列！那是在高中！现在给你增加几

个数列！说白了，你只要通过求导或者积分后变成这些数列都是可以

求和的，记得再变回去！

e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+...

ln(1+x)=x-x^2/3+x^3/3-...(-1)^(k-1)*x^k/k+...(|x|<1)

sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+...

(-∞

cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-...(-1)k*x^(2k)/(2k)!+...

(-∞

arcsinx=x+1/2*x^3/3+1*3/(2*4)*x^5/5+...(|x|<1)

arccosx=π-(x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+...)(|x|<1)

arctanx=x-x^3/3+x^5/5-...(x≤1)

sinhx=x+x3/3!+x5/5!+...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+...

(-∞

coshx=1+x2/2!+x4/4!+...(-1)k*x2k/(2k)!+...(-∞

arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5-...(|x|<1)

arctanhx=x+x^3/3+x^5/5+...(|x|<1)

求导或者积分后你要展开观察是什么数列，只要是等号右边的东西，

你就直接得到他的和是等号左边了，再记得变回去！

什么逐项求导和逐项积分，太恶心了！以后等你搞傅里级数的

时候还有一些书上写的多深邃，其实简单的初中生都能搞的明白的东

西。。。。书上写的巨恶心，其实就是三角变换一次，一次不行就两

次。。。。。

lim(n->无穷)[a1(1-q^n)/(1-q)=lim(n->无穷)

{[a1/(1-q)]-a1(q^n)/(1-q)}因为当|q|<1时lim(n->无

穷)(q^n)=0所以lim(n->无穷)[a1(1-q^n)/(1-q)=a1/(1-q)