行列式运算法则

计算技巧及方法总结

一、一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做

1、二阶行列式

21122211

2221

1211aaaa

aa

aa



2、三阶行列式

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

=

.

33222312332211

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

例1计算三阶行列式

601

504

321



解

601

504

321

601)1(52043)1(03051624

4810.58

但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的

性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。

计算上三角形行列式

nn

nn

n

n

aaa

a

aa

aaa











2211

222

11211

00

0



下三角形行列式

nnnn

aaa

aa

a









21

2221

11

0

00

.

2211nn

aaa

对角行列式

nn

nnnn

aaa

aaa

aa

a











2211

21

2221

11

0

00



二、用行列式的性质计算

1、记住性质，这是计算行列式的前提

将行列式D的行与列互换后得到的行列式,称为D的转置行列式,记为TD

或'D,即假设

,

21

22221

11211

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

D











则

nnnn

n

n

T

aaa

aaa

aaa

D









21

22212

12111



.

性质1行列式与它的转置行列式相等,即

.TDD

注由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列

也同样具有.

性质2交换行列式的两行(列),行列式变号.

推论假设行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零.

性质3用数

k

乘行列式的某一行(列),等于用数

k

乘此行列式,即

.

21

21

11211

21

21

11211

1

kD

aaa

aaa

aaa

k

aaa

kakaka

aaa

D

nnnn

inii

n

nnnn

inii

n























第i行(列)乘以

k

,记为k

i

(或kC

i

).

推论1行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.

推论2行列式中假设有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.

性质4假设行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,例如,

nnnn

ininiiii

n

aaa

cbcbcb

aaa

D











21

2211

11211



.

则

21

21

21

11211

21

21

11211

DD

aaa

ccc

aaa

aaa

bbb

aaa

D

nnnn

inii

n

nnnn

inii

n























.

性质5将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数

k

后加到另一行(列)对应位置的元

素上,行列式不变.

注:以数

k

乘第

j

行加到第i行上,记作

ji

krr;以数

k

乘第

j

列加到第i列上，记作

ji

kcc.

2、利用“三角化”计算行列式

计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算.例如化为上三角形

行列式的步骤是:

如果第一列第一个元素为0,先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0;

然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;

再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使

它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.

例2假设

210

101

321

D,则.

213

102

011

DDT





例3〔1〕

012

121

110

012

110

121









〔第一、二行互换〕.

〔2〕

102

110

211

012

110

121







〔第二、三列互换〕

〔3〕0

725

011

011

〔第一、二两行相等〕

〔4〕

0

337

224

112







〔第二、三列相等〕

例4〔1〕

0

2222

510

211







因为第三行是第一行的

2

倍.

〔2〕

0

7541

4100

5382

0141





因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍.

例5假设

121

013

201



D,则D2

121

013

201

)2(

121

013

402













又D4

121

013

201

4

124

0112

204











.

例6设,1

333231

232221

131211



aaa

aaa

aaa

求.

53

53

1026

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa







解利用行列式性质，有

333231

232221

131211

53

53

1026

aaa

aaa

aaa









333231

232221

131211

53

53

52

2

aaa

aaa

aaa







5)3(2

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

15)3(2.30

例7〔1〕.

11

01

11

31

11

0311

11

32







〔2〕

1)2(12

7230

5)2(11

1212

7230

5211















122

720

521

112

730

511







.

例8因为,12

31

04

0321

2213







而15)40()29(

02

21

31

23









.

因此

02

21

31

23

0321

2213











.

注:一般来说下式是不成立的

2221

1211

2221

1211

22222121

12121111

bb

bb

aa

aa

baba

baba







.

例9〔1〕

132

010

131

132

141

131

12







rr,上式表示第一行乘以-1后加第二行上去,其值不

变.

〔2〕

332

041

031

132

141

131

13

cc



,上式表示第一列乘以1后加到第三列上去,其值不变.

例10计算行列式

215

032

1263

D.

解先将第一行的公因子3提出来：

,

215

032

421

3

215

032

1263



再计算

.162354

100

430

201

54

110

470

221

54

210

870

421

27

1890

870

421

3

215

032

421

3



D

例11计算

.

3351

1102

4315

2113









D

解21

cc

D



3315

1120

4351

2131









14

12

5rr

rr





72160

1120

6480

2131











32

rr

72160

6480

1120

2131









24

23

8

4

rr

rr





151000

10800

1120

2131









344

5

rr

.40

25000

10800

1120

2131

＝







例12计算

.

3111

1311

1131

1113

D

解注意到行列式的各列4个数之和都是6.故把第2，3，4行同时加到第1行，可提

出公因子6，再由各行减去第一行化为上三角形行列式.

D4321

rrrr

3111

1311

1131

1111

6

3111

1311

1131

6666



14

13

12

rr

rr

rr







.48

2000

0200

0020

1111

6

注：仿照上述方法可得到更一般的结果:

.)]()1([1nbabna

abbb

bbab

bbba









例13计算

.

1111

00

00

00

33

22

11

aa

aa

aa







解根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将第2列加至第3列，再将第3

列加至第4列，目的是使

4

D中的零元素增多.

4

D12

cc

1121

00

00

000

33

22

1

aa

aa

a





23

cc

1321

00

000

000

33

2

1

aa

a

a



34

cc

.4

4321

000

000

000

321

3

2

1

aaa

a

a

a



例14计算

.

3610363

234232

dcbacbabaa

dcbacbabaa

dcbacbabaa

dcba

D









解从第4行开始，后一行减前一行：

D

rr

rr

rr







3

34

12

.

3630

2320

0

cbabaa

cbabaa

cbabaa

dcba





34

23

rr

rr





.

20

20

0

baaa

baaa

cbabaa

dcba







34

rr

..

000

200

0

4a

a

baa

cbabaa

dcba







三、行列式按行(列)展开〔降阶法〕

1、行列式按一行(列)展开

定义1在n阶行列式D中,去掉元素

ij

a所在的第i行和第

j

列后,余下的

1n

阶行列式,

称为D中元素

ij

a的余子式,记为

ij

M,再记

ij

ji

ij

MA)1(

称

ij

A为元素

ij

a的代数余子式.

引理〔常用〕一个n阶行列式D,假设其中第i行所有元素除

ij

a外都为零，则该行列

式等于

ij

a与它的代数余子式的乘积，即

ijij

AaD

定理1行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即

),,,2,1(

2211

niAaAaAaD

ininiiii



或).,,2,1(

2211

njAaAaAaD

njnjjjjj



推论行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,

即

,,0

2211

jiAaAaAa

jninjiji



或.,0

2211

jiAaAaAa

njnijiji



2、用降价法计算行列式〔常用〕

直接应用按行(列)展开法则计算行列式,运算量较大,尤其是高阶行列式.因此,计算

行列式时，一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素,再按

此行(列)展开,化为低一阶的行列式,如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.

3、拉普拉斯定理〔一般少用〕

定义2在n阶行列式D中,任意选定

k

行

k

列

)1(nk

,位于这些行和列交叉处的2k

个元素,按原来顺序构成一个

k

阶行列式M,称为D的一个

k

阶子式,划去这

k

行

k

列,余下

的元素按原来的顺序构成kn阶行列式,在其前面冠以符号kk

jjii

11)1(,称为M的代数

余子式,其中

k

ii,,

1

为

k

阶子式M在D中的行标,

k

jjj,,,

21

为M在D中的列标.

注：行列式D的

k

阶子式与其代数余子式之间有类似行列式按行〔列〕展开的性质.

定理2(拉普拉斯定理)在n阶行列式D中,任意取定

k

行(列)

)11(nk

,由这

k

行(列)

组成的所有

k

阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D.

例15求以下行列式的值:

〔1〕

214

121

312





〔2〕

120

250

723

解(1)

21

31

4

21

31

)1(

21

12

2

214

121

312











.272856)61(4)32()14(2

(2).3)45(3

12

25

3

120

250

723



例16计算行列式

.

5021

0113

2101

4321





D

解

5021

0113

2101

4321





D31

34

2

2

rr

rr





5207

0113

2101

4107





109

211

206

527

211

417

)1()1(21

23

2

23















rr

rr

.24186

19

26

)1(122





例17计算行列式

.

05320

04140

01320

25271

02135







D

解

5320

4140

1320

2135

2)1(

05320

04140

01320

25271

02135

52















D

532

414

132

52



12

13

)2(rr

rr



660

270

132

10





.1080)1242(20

66

27

)2(10





例18求证21)1(

11

21

311

2211

13211

4321









nnx

xxx

xxx

nxx

nx

n

n















.

证D32

21

1

43

rr

rr

rr

rr

nn













1

1

1

1

1

1

1

11

10000

11000

11100

11110

11110















xxx

x

x

x

x









11000

11100

11110

11111

11111

)1(1

x

x

x

x

n























32

21

1

43

rr

rr

rr

rr

nn













.)1(

11000

0000

00100

0010

0001

0000

)1(211









nnnx

x

x

x

xx

xx

x















例19设

,

3142

3131

5011

1253









D

D中元素

ij

a的余子式和代数余子式依次记作

ij

M和

ij

A,

求

14131211

AAAA及

41312111

MMMM.

解注意到

14131211

AAAA等于用1,1,1,1代替D的第1行所得的行列式,即

3142

3131

5011

1111

14131211







AAAA34

13

rr

rr





0011

2022

5011

1111







011

222

511







12

cc

.4

20

52

001

202

511









又按定义知,

3141

3131

5011

1251

42111







AAAAMMMM

34

rr

311

501

121

)1(

0010

3131

5011

1251









31

2rr

.0

311

501

501







例20用拉普拉斯定理求行列式

2100

3210

0321

0032

的值.

解按第一行和第二行展开

2100

3210

0321

0032



21

32

)1(

21

32

2121

20

31

)1(

31

02

3121

20

30

)1(

32

03

3221

0121.11