证明平行四边形

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平行四边形的证明题

一．解答题（共30小题）

1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．

（1）求证：BE=DF；

（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF

的形状（不必说明理由）．

2．如图所示，▱AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交

于B，D．

求证：四边形ABCD是平行四边形．

3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分

别为E，F．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．

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4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接

EF、AD．求证：EF=AD．

5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且

OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．

6．如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．

求证：四边形MFNE是平行四边形．

7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，

EC，CF，FA．

求证：四边形AECF是平行四边形．

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8．在▱ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接

BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．

9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．

10．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自

点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速

度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，

几秒后其中一个四边形为平行四边形？

11．如图：已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，

求证：AE与DF互相平分．

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12．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平

行四边形．求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．

13．如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD

的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上．

求证：EF和GH互相平分．

14．如图：▱ABCD中，MN∥AC，试说明MQ=NP．

15．已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经

过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求

证：四边形EHFG是平行四边形．

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16．如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H

分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．

（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；

（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是

否成立？（不用说明理由）

17．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作

BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF．

（1）求证：AF=CE；

（2）如果AC=EF，且∠ACB=135°，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，

并证明你的结论．

18．如图平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，点E、F分别在CD、BC的延长

线上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足为点F，DF=2

（1）求证：D是EC中点；

（2）求FC的长．

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19．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，

DC=EF．

（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；

（2）若BF=EF，求证：AE=AD．

20．如图，四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．

（1）请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么；

（2）若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性

质？

21．如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．

（1）当AB≠AC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；

（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接

写出构成图形的类型和相应的条件．

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22．如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作三个等边三角形即△ABD、

△BCE、△ACF，那么，四边形AFED是否为平行四边形？如果是，请证明之，

如果不是，请说明理由．

23．在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE

∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．若点P在BC边上

（如图1），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB．

请直接应用上述信息解决下列问题：

当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，

请写出你的猜想，不需要证明

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24．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，

M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延

长到点E，使ME=PM，连接DE．

探究：

（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；

（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；

（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；

如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；

（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）

（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写

出与线段DE有关的结论（直接写答案）．

25．在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成

四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；

（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直

线有无数组；

（2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；

（3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？

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26．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，

BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q

从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q

同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．

（1）求CD的长；

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；

（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为

20cm2？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

27．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O（0，0）、A（2，0）、B（1，1），

则第四个顶点C的坐标是多少？

28．已知平行四边形ABCD的周长为36cm，过D作AB，BC边上的高DE、DF，

且cm，，求平行四边形ABCD的面积．

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29．如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形，

A、B、C的坐标分别是A（﹣3，），B（﹣2，3），C（2，3），点D在

第一象限．

（1）求D点的坐标；

（2）将平行四边形ABCD先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长

度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？

（3）求平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积？

30．如图所示．▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E．求

证：BE=CF．

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1、解答：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB，∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，

∴∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌△CDF（A．A．S．），∴BE=DF；

（2）四边形MENF是平行四边形．

证明：有（1）可知：BE=DF，∵四边形ABCD为平行四边行，

∴AD∥BC，∴∠MDB=MBD，

∵DM=BN，∴△DNF≌△BNE，∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，∴∠MFE=∠NEF，

∴MF∥NE，∴四边形MENF是平行四边形．

2、解答：证明：∵四边形AECF是平行四边形

∴OE=OF，OA=OC，AE∥CF，∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO，

∴△FDO≌△EBO，∴OD=OB，∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形．

3、解答：证明：（1）∵BF=DE，∴BF﹣EF=DE﹣EF，即BE=DE，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，

∵AB=CD，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；

（2）∵△ABE≌△CDF，∴∠ABE=∠CDF，∴AB∥CD，

∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．

4、解答：证明：∵DE，DF是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DF∥AC，

∴四边形AEDF是平行四边形，

又∵∠BAC=90°，∴平行四边形AEDF是矩形，∴EF=AD．

5、解答：解：猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：平行且相等．

证明：∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO，

∵OA=OC，∴△ADO≌△ECO，∴AD=CE，∴四边形ADCE是平行四边形，∴CDAE．

6、解答：证明：由平行四边形可知，AD=CB，∠DAE=∠FCB，

又∵AE=CF，∴△DAE≌△BCF，∴DE=BF，∠AED=∠CFB

又∵M、N分别是DE、BF的中点，∴ME=NF

又由AB∥DC，得∠AED=∠EDC∴∠EDC=∠BFC，∴ME∥NF∴四边形MFNE为平行四

边形．

7、解答：证明：连接AC交BD于点O，

∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．

∵BE=DF，∴OE=OF．∴四边形AECF为平行四边形．

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8、解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD．

又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，∴DE=BF，AE=CF．∠DAE=∠BCF=60°．

∵∠DCF=∠BCD﹣∠BCF，∠BAE=∠DAB﹣∠DAE，

∴∠DCF=∠BAE．∴△DCF≌△BAE（SAS）．∴DF=BE．∴四边形BEDF是平行四边形．

9、解答：证明：∵E是AC的中点，∴EC=AC，

又∵DB=AC，∴DB=EC．

又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．

10、解答：解：设P，Q同时出发t秒后四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，根据

已知得到AP=t，PD=24﹣t，CQ=2t，BQ=30﹣2t．

（1）若四边形PDCQ是平行四边形，则PD=CQ，∴24﹣t=2t∴t=8∴8秒后四边形PDCQ是

平行四边形；

（2）若四边形APQB是平行四边形，则AP=BQ，∴t=30﹣2t∴t=10∴10秒后四边形APQB

是平行四边形

11、解答：证明：∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，根据中位线定理知：

DE∥AC，DE=AF，

EF∥AB，EF=AD，

∴四边形ADEF为平行四边形．故AE与DF互相平分．

12、解答：证明：∵▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，∴OB=OD，

又∵四边形AODE是平行四边形，∴AE∥OD且AE=OD，∴AE∥OB且AE=OB，

∴四边形ABOE是平行四边形，同理可证，四边形DCOE也是平行四边形．

13、解答：证明：连接EG、GF、FH、HE，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的

中点．

在△ABC中，EG=BC；在△DBC中，HF=BC，

∴EG=HF．

同理EH=GF．

∴四边形EGFH为平行四边形．∴EF与GH互相平分．

14、解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AM∥QC，AP∥NC．

又∵MN∥AC，∴四边形AMQC为平行四边形，四边形APNC为平行四边形．

∴AC=MQAC=NP．∴MQ=NP．

15、解答：证明：如答图所示，

∵点O为平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，∴OA=OC，OB=OD．

∵G，H分别为OA，OC的中点，∴OG=OA，OH=OC，∴OG=OH．

又∵AB∥CD，∴∠1=∠2．

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在△OEB和△OFD中，

∠1=∠2，OB=OD，∠3=∠4，

∴△OEB≌△OFD，

∴OE=OF．∴四边形EHFG为平行四边形．

16、解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

17、∴AB=CD，AB∥CD，∴∠GBE=∠HDF．

又∵AG=CH，∴BG=DH．

又∵BE=DF，∴△GBE≌△HDF．∴GE=HF，∠GEB=∠HFD，∴∠GEF=∠HFE，

∴GE∥HF，∴四边形GEHF是平行四边形．

（2）解：仍成立．（证法同上）

17、解答：（1）证明：∵AF∥EC，∴∠DFA=∠DEC，∠DAF=∠DCE，

∵D是AC的中点，∴DA=DC，∴△DAF≌△DCE，∴AF=CE；

（2）解：四边形AFCE是正方形．理由如下：

∵AF∥EC，AF=CE，∴四边形AFCE是平行四边形，

又∵AC=EF，∴平行四边形AFCE是矩形，∴∠FCE=∠CFA=90°，

而∠ACB=135°，∴∠FCA=135°﹣90°=45°，∴∠FAC=45°，∴FC=FA，

∴矩形AFCE是正方形．

18、解答：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，

又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE，∴CD=DE，

即D是EC的中点；

（2）解：连接EF，∵EF⊥BF，∴△EFC是直角三角形，

又∵D是EC的中点，∴DF=CD=DE=2，

在平行四边形ABCD中，AB∥CD，

∵∠ABC=60°，∴∠ECF=∠ABC=60°，∴△CDF是等边三角形，∴FC=DF=2．

故答案为：2．

19、解答：证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，

∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB，∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行），

∵DC=EF，∴四边形EFCD是平行四边形；

（2）连接BE

∵BF=EF，∠EFB=60°，∴△EFB是等边三角形，∴EB=EF，∠EBF=60°

∵DC=EF，∴EB=DC，

∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC，∴∠EBF=∠ACB，

∴△AEB≌△ADC，∴AE=AD．

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20、解答：解：（1）如图，四边形EFGH是平行四边形．

连接AC，

∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC，EF=AC

同理HG∥AC，∴EF∥HG，EF=HG∴EFGH是平行四边形；

（2）四边形ABCD的对角线垂直且相等．

∵假若四边形EFGH为正方形，∴它的每一组邻边互相垂直且相等，

∴根据中位线定理得到四边形ABCD的对角线应该互相垂直且相等．

21、解答：（1）证明：∵△ABE、△BCF为等边三角形，

∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°．

∴∠CBA=∠FBE．∴△ABC≌△EBF．∴EF=AC．

又∵△ADC为等边三角形，∴CD=AD=AC．∴EF=AD．

同理可得AE=DF．∴四边形AEFD是平行四边形．

（2）解：构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段．

当图形为菱形时，∠BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）

当图形为线段时，∠BAC=60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）．

22、解答：解：四边形AFED是平行四边形．

证明如下：

在△BED与△BCA中，BE=BC，BD=BA（均为同一等边三角形的边）

∠DBE=∠ABC=60°﹣∠EBA

∴△BED≌△BCA（SAS）∴DE=AC

又∵AC=AF∴DE=AF

在△CBA与△CEF中，CB=CE，CA=CF

∠ACB=∠FCE=60°+∠ACE

∴△CBA≌△CEF（SAS）∴BA=EF

又∵BA=DA，∴DA=EF

故四边形AFED为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．

23、解答：解：图2结论：PD+PE+PF=AB．

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证明：过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，

由题意得PE+PF=AM．

∵四边形BDPM是平行四边形，∴MB=PD．∴PD+PE+PF=MB+AM=AB，

即PD+PE+PF=AB．

图3结论：PE+PF﹣PD=AB．

24、解答：解：（1）DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC．

（2）如图4，如图5．

（3）方法一：

如图6，

连接BE，

∵PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB，∴△PMA≌△EMB．

∵PA=BE，∠MPA=∠MEB，∴PA∥BE．

∵平行四边形PADC，∴PA∥DC，PA=DC．∴BE∥DC，BE=DC，

∴四边形DEBC是平行四边形．∴DE∥BC，DE=BC．

∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴DE⊥AC．

方法二：

如图7，连接BE，PB，AE，

∵PM=ME，AM=MB，∴四边形PAEB是平行四边形．∴PA∥BE，PA=BE，

余下部分同方法一：

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方法三：

如图8，连接PD，交AC于N，连接MN，

∵平行四边形PADC，∴AN=NC，PN=ND．

∵AM=BM，AN=NC，∴MN∥BC，MN=BC．

又∵PN=ND，PM=ME，∴MN∥DE，MN=DE．∴DE∥BC，DE=BC．

∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．∴DE⊥AC．

（4）如图9，DE∥BC，DE=BC．

25、解答：解：（1）无数；

（2）作图的时候要首先找到对角线的交点，只要过对角线的交点，任画一条直线即可．如

图有：AE=BE=DF=CF，AM=CN．

（3）这两条直线过平行四边形的对称中心（或对角线的交点）．

26、解答：解：（1）过点A作AM⊥CD于M，

根据勾股定理，AD=10，AM=BC=8，∴DM==6，∴CD=16；

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（2）当四边形PBQD为平行四边形时，

点P在AB上，点Q在DC上，如图，

由题知：BP=10﹣3t，DQ=2t∴10﹣3t=2t，解得t=2

此时，BP=DQ=4，CQ=12∴

∴四边形PBQD的周长=2（BP+BQ）=；

（3）①当点P在线段AB上时，即时，如图

∴．

②当点P在线段BC上时，即时，如图

BP=3t﹣10，CQ=16﹣2t∴

化简得：3t

2

﹣34t+100=0，△=﹣44＜0，所以方程无实数解．

③当点P在线段CD上时，

若点P在Q的右侧，即6≤t≤，

则有PQ=34﹣5t

，＜6，舍去

若点P在Q的左侧，即，

则有PQ=5t﹣34，，t=7.8．

综合得，满足条件的t存在，其值分别为，t

2

=7.8．

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27、解答：解：当BC∥OA，BC=OA时，C和B的纵坐标相等，

若选择AB为对角线，则C

1

（3，1）；

若选择OB为对角线，则C

2

（﹣1，1）；

当AB∥OC，AB=OC时，

选择OA为对角线，则C

3

（1，﹣1）．

故第四个顶点坐标是：C

1

（3，1），C

2

（﹣1，1），C

3

（1，﹣1）．

28、解答：解：设AB=x，则BC=18﹣x，

由AB•DE=BC•DF

F得：，

解之x=10，

所以平行四边形ABCD的面积为．

29、解答：解：（1）由B、C的坐标可知，AD=BC=4，则可得点D的横坐标为1，点D的

纵坐标与点A的纵坐标相等，为，可得点D的坐标为（1，）．

（2）依题意得A

1

、B

1

、C

1

、D

1

的坐标分别为A（﹣3+，0），B（﹣2+，2）C（2+，

2），D（1+，0）．

（3）如图，

平行四边形ABCD与四边形A

1

B

1

C

1

D

1

重叠部分的面积为平行四边形DEFG的面积，

由题意可得GD=AD﹣AG=4﹣，

平行四边形DEFG的高为2﹣=，

∴重叠部分的面积为（4﹣）•=4﹣2．

30、解答：证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAF=∠F，

又AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF，∴∠BAF=∠F，∴AB=BF，

又AF平分∠BAD，DE⊥AF，∴∠AOD=∠ADO，

又∠BOE=∠AOD=∠EDC，∠ADO=∠E，

∴∠EDC=∠E，∴CE=CD，又AB=CD，∴BE=CF．