圆的解析式

编制：高中数学QQ群648051755高等数学QQ群613094286

圆的定义与方程

定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆

方程

标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)

圆心(a，b)

半径为r

一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

充要条件：D2＋E2－4F>0

圆心坐标：(－

D

2

，－

E

2

)

半径r＝

1

2

D2＋E2－4F

【知识拓展】

1．确定圆的方程的方法和步骤

确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为

(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；

(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；

(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．

2．点与圆的位置关系

点和圆的位置关系有三种．

圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x

0

，y

0

)

(1)点在圆上：(x

0

－a)2＋(y

0

－b)2＝r2；

(2)点在圆外：(x

0

－a)2＋(y

0

－b)2>r2；

(3)点在圆内：(x

0

－a)2＋(y

0

－b)2

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√)

(2)已知点A(x

1

，y

1

)，B(x

2

，y

2

)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x

1

)(x－x

2

)＋(y－y

1

)(y－y

2

)＝0.(√)

(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(√)

(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．(×)

(5)若点M(x

0

，y

0

)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x2

0

＋y2

0

＋Dx

0

＋Ey

0

＋F＞0.(√)

1．(教材改编)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()

A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0

C．x－y＋1＝0D．x－y＋3＝0

答案C

解析圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入检验选项C满足．

2．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m，0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()

A．7B．6C．5D．4

答案B

解析根据题意，画出示意图，如图所示，

则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m.

因为∠APB＝90°，连接OP，

易知|OP|＝

1

2

|AB|＝m.

编制：高中数学QQ群648051755高等数学QQ群613094286

要求m的最大值，

即求圆C上的点P到原点O的最大距离．

因为|OC|＝32＋42＝5，

所以|OP|

max

＝|OC|＋r＝6，

即m的最大值为6.

3．(2015·北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()

A．(x－1)2＋(y－1)2＝1

B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1

C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

D．(x－1)2＋(y－1)2＝2

答案D

解析圆的半径r＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.

4．(教材改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为______________．

答案(x－2)2＋y2＝10

解析设圆心坐标为C(a,0)，

∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，

∴|CA|＝|CB|，

即a＋12＋1＝a－12＋9，

解得a＝2，

∴圆心为C(2,0)，

半径|CA|＝2＋12＋1＝10，

∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.

5．(2016·浙江)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．

答案(－2，－4)5

解析由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，

解得a＝2或a＝－1.

当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．

当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，

化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，

表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.

题型一求圆的方程

例1(1)(2016·天津)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为

45

5

，则圆C的方程为

________________．

(2)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆

x2

16

＋

y2

4

＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．

答案(1)(x－2)2＋y2＝9(2)









x－

3

2

2＋y2＝

25

4

解析(1)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a>0，

所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝

2a

5

＝

45

5

，

解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝4＋5＝3，

所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.

(2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点，

(4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为

y＋1＝－2(x－2)，

令y＝0，解得x＝

3

2

，圆心为









3

2

，0

，半径为

5

2

.

思维升华(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．

(2)待定系数法

编制：高中数学QQ群648051755高等数学QQ群613094286

①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．

(2016·湖北八校联考)已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成两段弧，弧长之比为1∶2，则圆C的标准方程为

________________．

答案x2＋(y±

3

3

)2＝

4

3

解析∵圆C关于y轴对称，∴可设C(0，b)，

设圆C的半径为r，则圆C的标准方程为x2＋(y－b)2＝r2，

依题意，得









12＋－b2＝r2，

|b|＝

1

2

r，

解得





r2＝

4

3

，

b＝±

3

3

，

于是圆C的标准方程为x2＋(y±

3

3

)2＝

4

3

.

题型二与圆有关的最值问题

例2已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上．求x＋y的最大值和最小值．

解设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，

∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距．

由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，

即

|2＋－3－t|

2

＝1，

解得t＝2－1或t＝－2－1.

∴x＋y的最大值为2－1，最小值为－2－1.

引申探究

1．在本例的条件下，求

y

x

的最大值和最小值．

解

y

x

可视为点(x，y)与原点连线的斜率，

y

x

的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜

率．

设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即

|2k＋3|

k2＋1

＝1，解得k＝－2＋

23

3

或k＝－2－

23

3

.∴

y

x

的最大值为

－2＋

23

3

，最小值为－2－

23

3

.

2．在本例的条件下，求x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值和最小值．

解x2＋y2＋2x－4y＋5＝x＋12＋y－22，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距

离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，

∴x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1.

思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略

(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．

(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u＝

y－b

x－a

型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；

②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离平

方的最值问题．

已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：

(1)

y

x

的最大值和最小值；

(2)y－x的最小值；

(3)x2＋y2的最大值和最小值．

解(1)如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．

编制：高中数学QQ群648051755高等数学QQ群613094286

设

y

x

＝k，即y＝kx，则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值．

由

|2k－0|

k2＋1

＝3，解得k2＝3，

∴k

max

＝3，k

min

＝－3.

(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，

当且仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，在y轴上的截距b取最小值，

由点到直线的距离公式，得

|2－0＋b|

2

＝3，

即b＝－2±6，

故(y－x)

min

＝－2－6.

(3)x2＋y2是圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC，

与圆交于B点，并延长交圆于C′，则

(x2＋y2)

max

＝|OC′|2＝(2＋3)2＝7＋43，

(x2＋y2)

min

＝|OB|2＝(2－3)2＝7－43.

题型三与圆有关的轨迹问题

例3(2017·潍坊调研)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

解(1)设AP的中点为M(x，y)，

由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．

因为P点在圆x2＋y2＝4上，

所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，

故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.

(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，

|PN|＝|BN|.

设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，

所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，

所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法

(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到

要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．

(2016·天津模拟)设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．

解如图所示，设P(x，y)，N(x

0

，y

0

)，则线段OP的中点坐标为









x

2

，

y

2

，线段MN的中点坐标为







x

0

－3

2

，

y

0

＋4

2

.由于平行四边形的对角线互相平分，

故

x

2

＝

x

0

－3

2

，

y

2

＝

y

0

＋4

2

.从而









x

0

＝x＋3，

y

0

＝y－4.

又N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.

因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，

但应除去两点









－

9

5

，

12

5

和









－

21

5

，

28

5

(点P在直线OM上的情况)．

21．利用几何性质巧设方程求半径

典例在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程．

思想方法指导本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法．

(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．

编制：高中数学QQ群648051755高等数学QQ群613094286

(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法

的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题．

规范解答

解一般解法(代数法)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F

＝0(D2＋E2－4F>0)，

则有





1＋E＋F＝0，

3＋222＋D3＋22＋F＝0，

3－222＋D3－22＋F＝0，

解得









D＝－6，

E＝－2，

F＝1，

故圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0.

巧妙解法(几何法)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．

故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(22)2＋t2，解得t＝1.

则圆C的半径为32＋t－12＝3，

所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.

1．(2016·南昌检测)圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()

A．x2＋y2＋10y＝0B．x2＋y2－10y＝0

C．x2＋y2＋10x＝0D．x2＋y2－10x＝0

答案B

解析根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则32＋(r－1)2＝r2，

解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0.

2．(2016·昆明一模)方程|x|－1＝1－y－12所表示的曲线是()

A．一个圆B．两个圆

C．半个圆D．两个半圆

答案D

解析由题意得









|x|－12＋y－12＝1，

|x|－1≥0，

即









x－12＋y－12＝1，

x≥1，

或









x＋12＋y－12＝1，

x≤－1.

故原方程表示两个半圆．

3．若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则

1

a

＋

2

b

的最小值为()

A．1B．5C．42D．3＋22

答案D

解析由题意知圆心C(2,1)在直线ax＋2by－2＝0上，

∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，

∴

1

a

＋

2

b

＝(

1

a

＋

2

b

)(a＋b)＝3＋

b

a

＋

2a

b

≥3＋2

b

a

×

2a

b

＝3＋22，

当且仅当

b

a

＝

2a

b

，即b＝2－2，a＝2－1时，等号成立．

∴

1

a

＋

2

b

的最小值为3＋22.

4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是()

A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1

B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4

C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4

D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

答案A

解析设圆上任一点坐标为(x

0

，y

0

)，

x2

0

＋y2

0

＝4，连线中点坐标为(x，y)，

则









2x＝x

0

＋4

2y＝y

0

－2

⇒









x

0

＝2x－4，

y

0

＝2y＋2，

编制：高中数学QQ群648051755高等数学QQ群613094286

代入x2

0

＋y2

0

＝4中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.

5．(2016·绵阳诊断)圆C的圆心在y轴正半轴上，且与x轴相切，被双曲线x2－

y2

3

＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C的方程为()

A．x2＋(y－1)2＝1B．x2＋(y－3)2＝3

C．x2＋(y＋1)2＝1D．x2＋(y＋3)2＝3

答案A

解析依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此

其方程是x2＋(y－1)2＝1.

6．(2016·九江模拟)已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线(A，B是切点)，C是圆心，那么四

边形PACB的面积的最小值是()

A.2B．22C.3D．23

答案C

解析圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，

则C(1,1)，

当|PC|最小时，四边形PACB的面积最小，

|PC|

min

＝

|3－4＋11|

32＋42

＝2，此时|PA|＝|PB|＝3.

所以四边形PACB的面积S＝2×

1

2

×3×1＝3，故选C.

7．(2016·南昌模拟)若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________．

答案(x－2)2＋(y＋

3

2

)2＝

25

4

解析因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m)．

又因为圆与直线y＝1相切，所以22＋m2＝|1－m|，

解之得m＝－

3

2

.

所以圆C的方程为(x－2)2＋(y＋

3

2

)2＝

25

4

.

8．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为______________．

答案x＋y－2＝0

解析当圆心与点P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．圆心O与点P连线的斜率k＝1，

所求直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.

9．已知D是由不等式组









x－2y≥0，

x＋3y≥0

所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝4在区域D内的弧长为________．

答案

π

2

解析作出可行域D及圆x2＋y2＝4，如图所示，

图中阴影部分所在圆心角θ＝α－β所对的弧长即为所求．

易知图中两直线的斜率分别为

1

2

、－

1

3

，

得tanα＝

1

2

，tanβ＝－

1

3

，

tanθ＝tan(α－β)＝

1

2

＋

1

3

1－

1

2

×

1

3

＝1，

得θ＝

π

4

，得弧长l＝θ·R＝

π

4

×2＝

π

2

(R为圆的半径)．

10．(2016·岳阳模拟)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，3)，C(3,0)，动点D满足|CD

→

|＝1，则|OA

→

＋OB

→

＋OD

→

|的最大值是________．

答案7＋1

解析设D(x，y)，由CD

→

＝(x－3，y)及|CD

→

|＝1知(x－3)2＋y2＝1，

即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆，又OA

→

＋OB

→

＋OD

→

＝(－1,0)＋(0，3)＋(x，y)＝(x－1，y＋3)，

编制：高中数学QQ群648051755高等数学QQ群613094286

∴|OA

→

＋OB

→

＋OD

→

|＝x－12＋y＋32.

问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1上的点与点P(1，－3)间距离的最大值．

∵圆心C(3,0)与点P(1，－3)之间的距离为3－12＋0＋32＝7，

故x－12＋y＋32的最大值为7＋1.

11．已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段的长为43，半径小于5.

(1)求直线PQ与圆C的方程；

(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．

解(1)由题意知直线PQ的方程为x＋y－2＝0.

设圆心C(a，b)，半径为r，

由于线段PQ的垂直平分线的方程是y－

1

2

＝x－

3

2

，

即y＝x－1，所以b＝a－1.①

由圆C在y轴上截得的线段的长为43，

知r2＝12＋a2，

可得(a＋1)2＋(b－3)2＝12＋a2，②

由①②得a＝1，b＝0或a＝5，b＝4.

当a＝1，b＝0时，r2＝13，满足题意，

当a＝5，b＝4时，r2＝37，不满足题意．

故圆C的方程为(x－1)2＋y2＝13.

(2)设直线l的方程为y＝－x＋m(m≠2)，

A(x

1

，m－x

1

)，B(x

2

，m－x

2

)．

由题意可知OA⊥OB，即OA

→

·OB

→

＝0，

∴x

1

x

2

＋(m－x

1

)(m－x

2

)＝0，

化简得2x

1

x

2

－m(x

1

＋x

2

)＋m2＝0.③

由









y＝－x＋m，

x－12＋y2＝13

得

2x2－2(m＋1)x＋m2－12＝0，

∴x

1

＋x

2

＝m＋1，x

1

x

2

＝

m2－12

2

，

代入③，得m2－12－m·(1＋m)＋m2＝0，

∴m＝4或m＝－3，经检验都满足题意，

∴直线l的方程为x＋y－4＝0或x＋y＋3＝0.

12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23.

(1)求圆心P的轨迹方程；

(2)若P点到直线y＝x的距离为

2

2

，求圆P的方程．

解(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.

则y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.

∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1.

∴P点的轨迹方程为y2－x2＝1.

(2)设P点的坐标为(x

0

，y

0

)，

则

|x

0

－y

0

|

2

＝

2

2

，即|x

0

－y

0

|＝1.

∴y

0

－x

0

＝±1，即y

0

＝x

0

±1.

①当y

0

＝x

0

＋1时，由y2

0

－x2

0

＝1，得(x

0

＋1)2－x2

0

＝1.

∴









x

0

＝0，

y

0

＝1，

∴r2＝3.

∴圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3.

②当y

0

＝x

0

－1时，由y2

0

－x2

0

＝1，得(x

0

－1)2－x2

0

＝1.

∴









x

0

＝0，

y

0

＝－1，

∴r2＝3.

编制：高中数学QQ群648051755高等数学QQ群613094286

∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3.

综上所述，圆P的方程为x2＋(y±1)2＝3.

*13.已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．

(1)求|MQ|的最大值和最小值；

(2)若M(m，n)，求

n－3

m＋2

的最大值和最小值．

解(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，

可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，

所以圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝22.

又|QC|＝2＋22＋7－32＝42.

所以|MQ|

max

＝42＋22＝62，

|MQ|

min

＝42－22＝22.

(2)可知

n－3

m＋2

表示直线MQ的斜率，

设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，

即kx－y＋2k＋3＝0，则

n－3

m＋2

＝k.

由直线MQ与圆C有交点，

所以

|2k－7＋2k＋3|

1＋k2

≤22，

可得2－3≤k≤2＋3，

所以

n－3

m＋2

的最大值为2＋3，最小值为2－3.