一阶微分形式不变性

第２６卷第５期

ＶｏＬ ２６ ＮＯ．５

广东教育学院学报

Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ

２００６年１０月

Ｏｃｔ．２ＯＯ６

一阶全微分形式不变性在多元微分学中的应用

陈华锋，李 治，李 燕

（华中农业大学数学与信息科学系，湖北武汉４３００７０）

摘要：利用一阶全微分形式不变性求解偏导数，可以简化较复杂的复合函数求偏导的解题过

程，介绍一阶全微分形式不变性在求解复合函数、隐函数的偏导数中的应用．

关键词：一阶全微分形式不变性；复合函数；隐函数；偏导数

中图分类号－Ｏ １７２文献标识码：Ａ文章编号：１００７－－８７５４（２００６）０５－－００４４－－０４

引言

从数学的发展历史看，导数是伴随着微分的诞生而顺理成章地产生的．也就是说人们先是有了微分的概

念，随后才发现，对于处理微分问题来说，导数是一个有力的工具．于是在传统的微积分课程中，大多数都以

导数作为微积分的主线．笔者在多年的微积分学的教学过程中，感觉到这种做法不利于学生今后理解微分在

微积分乃至整个数学学科中的重要作用．因此在讲授微积分课程时，笔者建议要重点突出微分的地位，在导

数与微分两者关系上，调整原教材的顺序，采取先定义微分再引出导数的顺序．笔者认为，这不仅符合数学的

发展历史（从而符合人类的认识规律），也使学生先人为主，对微分的重要性有较深刻的印象．而在导出计算

法则时，则求微分和求导数并重．以微分为工具的推导过程可使得有些概念（如高阶无穷小量、中间变量的高

阶微分形式等）和有些计算（如隐函数与参数形式的函数的导数）更易于理解和应用．［１ ］这里介绍利用多元

函数的一阶全微分形式不变性以及微分的四则运算来推导复合函数与隐函数的偏导数．

１一阶全微分的形式不变性

定义

ｄｆ（ｕ，Ｖ）一 ｄｕ＋ ｄ

不论Ｕ，ｖ是自变量还是中间变量，多元函数ｚ＝厂（Ｕ，ｖ）的全微分形式是相同的，这被称为“一阶全微分的形

式不变性”．

这是一阶全微分的一个非常重要的性质，有了这个“形式不变性”作保证，对于一个函数２；－￣－ｆ（ｕ，ｖ），就

可以按照Ｓｔ，ｖ是自变量去求它的微分厂 ｄ“＋ ｄｖ，而无须顾忌Ｕ，ｖ究竟真的是自变量，还是一个随自变量

，Ｙ变化的中间变量．

在微积分的教与学的过程中，利用这个性质求解较复杂的多元函数特别是复合函数、隐函数的偏导数，

实用方便，简单易行．

２方法及其应用

２．１在隐函数求导中的应用

隐函数存在定理是微积分中的难点，一般的教材介绍这一部分时，尽管对定理的证明不做要求，但是推

导偏导数的过程复杂，公式繁多，导致许多学生在求隐函数的偏导数时，常会出错．但若利用一阶微分的形式

不变性对方程两边同时求微分，则可减少此类错误．

收稿日期：２００６－－０４－－０１

基金项目：湖北省高等学校教学研究立项资助项目（２００５０２０５）

作者简介：陈华锋（１９７２一），男，湖北应城人，华中农业大学数学与信息科学系讲师，硕士．

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第５期 陈华锋，等：一阶全微分形式不变性在多元微分学中的应用 ４５

２．１．１隐函数存在定理１

设函数Ｆ（ｘ， ）在点Ｐ（ｘ。，Ｙ。）的某一邻域内具有连续的偏导数，且Ｆ（ｘｏ，Ｙｏ）一０，Ｆ （Ｘｏ，ｙｏ）≠０，则方

程Ｆ（ｘ， ）一０在点Ｐ（ｘ。，Ｙ。）的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数 一 （ｚ），

它满足条件Ｙ。一ｆ（ｘ。），并有

一一

．

（１）Ａ

ｕ － Ｆ ‘ …

一般教材对此定理的证明对初学者而言，既复杂又难懂，以下用一阶微分的形式不变性证明．

证明 设函数Ｆ（ｘ， ）在点Ｐ（ ，Ｙ。）的某一邻域内具有连续的偏导数，且Ｆ（ｘｏ，Ｙｏ）一０，则函数可微，

于是ｄＦ（ｘ， ）一 ｄｒ＋ ｄｙ一０，由于 连续，且 （ｚ。，Ｙ。）≠０，由连续函数的保号性，存在Ｐ（ｘｏ，ｙｏ）的

某一邻域，在该邻域内，Ｆ ≠０，于是得（１）式成立．

２．１．２隐函数存在定理２

设函数Ｆ（ｘ，Ｙ， ）在点Ｐ（ ，ｙｏ，Ｚｏ）的某一邻域内有连续的偏导数，且Ｆ（ｘｏ，Ｙｏ， ）一０， （Ｘｏ，Ｙｏ，Ｚｏ）≠０，

则方程Ｆ（ｘ，Ｙ， ）一０在点Ｐ（ｘ。，ｙｏ，Ｚｏ）的某一邻域内恒能唯一确定一个单连续且具有连续偏导数的函数

ｚ－－ｆ（ｘ， ），它满足条 一厂（ｚｏ，Ｙｏ），并有

一一 ， ：一

［３］

． （２） ａ Ｆ ’Ｏ

ｙ Ｆ ‘ 一

证明 设函数Ｆ（ｘ，Ｙ， ）在点Ｐ（ ，Ｙｏ，Ｚｏ）的某一邻域内具有连续的偏导数，则函数可微，于是ｄＦ（ｘ，Ｙ， ）一

＋ ＋Ｆ’ｄｚ＝ｏ，由于Ｆ：连续，且 （ｚ。，Ｙ。， ）≠０，所以存在Ｐ（ｘ。，ｙｏ，ｚ０）的某一邻域，在该邻域内，

≠０，于是得ｄｚ＝（一 ） ＋（一 ）ｄｙ，由一阶全微分形式不变性，可得（２）式成立．

２．１．３隐函数存在定理３

设Ｆ（ｘ，Ｙ，Ｕ， ）、Ｇ（ｘ，Ｙ，Ｕ，ｖ）在点Ｐ（ｘ。，Ｙ。，Ｕ。，ＩＪ０）的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且

Ｆ（ｘ。，Ｙ。，Ｕ。，ＩＪ０）一０，Ｇ（ｘ。，Ｙ。，Ｕ。，ＩＪ０）一０，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可￣Ｌ（Ｊａｃｏｂｉ）行列式）

－，一 一

ａＦ ａＦ

Ｏｕ ａｖ

ａＧ ａＧ

Ｏｕ ａｖ

在点Ｐ（ｘ。，Ｙ。， ， ）不等于零，则方程组Ｆ（ｘ，Ｙ，“，ｖ）一０、Ｇ（ｘ，Ｙ，“，ｖ）＝０在点Ｐ（ｘ。，ｙｏ，“ｏ，ＩＪ０）的某一邻

域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数Ｕ￣Ｕ（Ｘ， ），

Ｖ一（ ， ），它们满足条件“０一“（ｚ０，Ｙ０）， ＝ｖ（ｘ０，Ｙ０），并有

ａ“ １ ａ（Ｆ，Ｇ） ｌ ｌ，ｌ ｌ

．，Ｏ（ｘ，Ｖ） ｆ Ｇ ｆ ｆ Ｇ ｆ’

ａｖ １ ａ（Ｆ，Ｇ） Ｉ ｌ，ｌ ｌ

．，Ｏ（ｕ， ） ｆ Ｇ ｝ ｝Ｇ Ｇ｝’

Ｏ ｙ一手 一 Ｆ，／ＦｏＯ（ｕ Ｇ孙 ㈤ 一 ．， ， ）一 Ｉ Ｉ

ａ“ １ ｃ３（Ｆ，Ｇ） ｝ ｝，｝ ｌ凹 。

．，Ｏ（ｙ，Ｖ） Ｉ Ｇｙ Ｇ Ｉ Ｉ Ｇ ｌ ’

证明 设函数Ｆ（ｘ，Ｙ，“，ｖ）、Ｇ（ｘ，Ｙ，“，ｖ）在点Ｐ（ｘ。，Ｙ。，“。， ）的某一邻域内具有连续的偏导数，则函

数可微，于是｛ 三： ：：：：； 薹芝 毒 复 参 ：：

当偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Ｊａｃｏｂｉ）行列式）

－，一 一

ａＦ ａＦ

Ｏｕ ａｖ

ａＧ ａＧ

ａ“ ａｖ

在点Ｐ（ｘ。，Ｙ。， ，ＩＪ０）不等于零时，由连续函数的保号性，存在Ｐ（ｘｏ，Ｙｏ，“ｏ，Ｖｏ）的某一邻域，在该邻域内

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４６ 广东教育学院学报 第２６卷

，

ａ（Ｆ，Ｇ） Ｊ

一 一

ａＦ ＤＦ

ａ“ ａｖ

ａＧ ａＧ

ａ ａｖ

≠Ｏ，于是由Ｃｒａｍｅｒｃ ］。。法则得

Ｆ Ｆ。

ｌ Ｇ ｄｕ＝一ｉ Ｇ。

Ｇ Ｇ

ｄ 一

由一阶全微分形式不变性可得（３）式成立．

Ｆ Ｆ

Ｇ Ｇ

Ｆ ｕ Ｆｖ

Ｇ Ｇ

ｄｙ，ｄｒ＝一

Ｆｕ Ｆ

Ｇ Ｇ

Ｆ ｕ Ｆ

Ｇ Ｇ

ｄｚ—

Ｆｕ Ｆ

Ｆ Ｆ

Ｇ Ｇ

例ｌ设 一 ｖ—ｏ， ＋ｘｖ－￣］，求塞， ，宝和 ．

解由一阶微分形式的不变性，对两方程两边同时求微分，得

ｆ ｕｄｘ＋ ｄ 一 ｄＶ一 ｄｙ—Ｏ，

１ ｕｄｙ＋ ｄ ＋ ｄＶ＋Ｖ如一ｏ，

ｆ～．ｆ

当系数行列式ｌ Ｉ≠ｏ时，用消元法可得

ｌ Ｙ ｆ

ｄｕ＝一 ｝ 如一 ｘｚｖ－＋ｙｖｕｚｕｊ ， 一一 如一 ｘ ｕ十＋ｙ ｖｄ ， 。十Ｖ。 ‘十Ｖ。 。十Ｖ。 ‘十Ｖ。

于是由一阶微分形式的不变性，得

一一墨丝± 一一 丝二 一一型！二 丝 一一 丝±

ａ 一 。＋ 。’ 一 。＋ 。’ａ 一 。＋ 。’ａ 一 。＋ 。。

例２ 已知ｅ一 一２ｚ＋ｅ ＝０，求赛和 ．

解由一阶微分形式的不变性，对方程两边同时求微分，得

ｅ一 ｄ（－－ｘｙ）一２ｄｚ＋ｅ ｄｚ＝０，

ｄｙ，

（ｅｚ一２）ｄｚ＝ｅ－￣Ｘ（ｘｄｙ￣ｙｄｘ），则当ｅｚ一２＝／＝Ｏ时，ｄｚ＝ ＋ ｄ３Ｉ，

由一阶微分形式的不变性得赛一 ， 一蓍 ．

２．２在复合函数求偏导数中的应用

２．２．１复合函数的中间变量均为一元函数的情形

设函数 ：ｊ５（￡）及ｖ一 （￡）都在点ｔ可导，函数ｚ＝ｆ（ｕ， ）在对应点（ ，ｖ）具有连续偏导数，则复合函数

＝尢ｊ５（￡）， （￡）］在对应点ｔ可导，且其导数可用下列公式计算：

ｄｚ

—

Ｏｚ ｄｕ

十

Ｏｚ ｄｖ［３］７。

． （４） ｄ￡ ａ ｄ￡。ａｖ ｄ￡ 。 ‘ｔ

证明ｚ＝ｆ（ｕ，Ｖ）， 一｛５（￡），Ｖ—ｋｒｔ（ｔ），都可微，因此，由一阶微分形式不变性可得

ｄｚ ｄ ＋ ｄｖ，ｄ ：ｊ５ ｄｔ，ｄｒ＝７／ ｄｔ，从而，ｄｚ＝ ｊ５ ＋ ｄ￡，

所以（４）式成立．

２．２．２复合函数的中间变量均为多元函数的情形

设 ：ｊ５（ ， ）及ｖ一 （ ， ）都在点（ ， ）可微，且函数ｚ＝ｆ（ｕ，ｖ）在对应点（ ，ｖ）具有连续偏导数，则复

合函数 一尢ｊ５（ ， ）， （ ， ）］在对应点（ ， ）可微，且可用下列公式计算：

ａ ＤｚＤ ．ａ ａｖ ａ ａ ａ ．ａ ［３］７７

… 十 ， 一 十 ・ ）

证明ｚ＝ｆ（ｕ，Ｖ）， 一ｊ５（ ， ），ｖ一 （ ， ）都可微，因此，用微分法可得

ｄｚ＝ ｄｕ＋ ｄｖ，ｄ ：＝： 如＋ ｄｙ，ｄｖ＝￣ｄｘ＋， ｄｙ，从而，ｄｚ＝（ ｊ５ ＋ ）如＋（ ｊ５ ＋ ）ｄｙ，

所以（５）式成立．

２．２．３复合函数的中间变量也是自变量的情形

设 一ｊ５（ ， ）在点（ ， ）可微，且函数ｚ＝ｆ（ｕ， ， ）在对应点（ ， ， ）具有连续偏导数，则复合函数

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第５期 陈华锋，等：一阶全微分形式不变性在多元微分学中的应用 ４７

ｚ－－－ｆＥ￣（ｘ， ）， ， ］在对应点（ ， ）可微，且可用下列公式计算：

ｚＩ一｛ ｛ ，ｚ 一｛ ｛ ．

证明 ｚ＝ｆ（ｕ， ， ），“＝ （ ， ）都可微，因此，用微分法可得

ｄｚ＝ｆｕ“ｊ广ｆ ｄ工ｊ广ｆ 曲， 一中 ｊ广 ， 丽，ｄｚ＝ｆ ｊ广ｆ 妇＋（、ｆｌｌ中 ＋ｆ ）ｄｙ，

所以（６）式成立．

例３设函数 — （ ）由方程组｛ ：； ０所确定，其中厂，Ｆ∈Ｃ（¨，求 ．

解由一阶微分的形式不变性有ｄｙ＝ ｄｘ＋ ｄｔ，

再用一阶微分的形式不变性， ＋ ＋厂ｆｄｔ＝Ｏ，

消去ｄｔ可得塞一 ， Ｆ ＋ ≠ｏ．

注本函数由于变量一环套一环，变量问的复合关系不甚明了，容易导致所求偏导缺项；但若用一阶微

分的形式不变性，由于形式简单，思路清晰，因此出错率极小。

３ 结语

多元函数的一阶全微分形式不变性在推导复合函数以及隐函数的求导公式和解题中具有很好的应用，

它可以减少相对较为复杂的求偏导过程中出现的一些问题，对于课堂教学以及学生的学习都大有帮助．对于

一阶全微分形式不变性的其他应用，比如在求解高阶偏导数方面等，读者可以查阅其他文献［１＇引．但要注意

全微分的形式不变性对高阶微分是不成立的．

参考文献：

［１］钟五一．一阶微分形式不变性的作用［Ｊ］．广东教育学院学报，２００５，２５（３）：３４—３６．

［２］陈华锋，李燕，李治．一阶微分的形式不变性在一元微分学中的应用［Ｊ］．孝感学院学报，２００５（６）：５３—５５．

［３］同济大学应用数学系．微积分（下册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４．

［４］同济大学应用数学系．线性代数（第四版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３：２２—２６．

［５］林先安．一阶全微分形式不变性在多元微分学中的应用［Ｊ］．孝感学院学报，２００４（６）：４９—５１．

Ｔｈｅ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ Ｔｏｔａｌ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ

Ｆｏｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｃａｌｃｕｌｕｓ ｆｏｒ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｅｖｅｒａｌ Ｖａｒｉａｂｌｅｓ

ＣＨＥＮ Ｈｕａ－ｆｅｎｇ，ＬＩ Ｚｈｉ，ＬＩ Ｙａｎ

（Ｄｅｐｔ．ｏｆ Ｍａｔｈ．＆Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，Ｈｕａｚｈｏｎｇ Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｕｈａｎ，Ｈｕｂｅｉ，４３００７０，Ｐ．Ｒ．Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｓｏｌｖｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎ ｅｘｐｌｏｒｉｎｇ ｔｈｅ

ｐａｒｔｉａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｏｆ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ ｉｍｐｌｉｃｉｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ａｎｄ ｉｔ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ

ｔｏｔａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｆｏｒｍｓ ｉｎ ｆｉｎｄｉｎｇ ｔｈｅ ｐａｒｔｉａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｏｆ ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｉｍｐｌｉｃｉｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．

Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｔｈｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｆｏｒｍ ｏｆ ｆｉｒｓｔ ｏｒｄｅｒ；ｉｍｐｌｉｃｉｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；

ｐａｒｔｉａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ

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