1是合数吗

1、质数和合数

一个大于l的自然数如果只能被1和本身整除，就叫做质数(也叫素数)如果能被l和本

身以外的自然数整除，就叫做合数，自然数1既不是质数也不是合数，叫做单位数，于是自

然数可以分为三类：质数、合数和单位数．

关于质数、合数有下列重要性质：

1．质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是4；

2．在所有质数中，只有2这个偶数，其余均为奇数；

3．算术基本定理：任意一个大于l的整数N能唯一地分解成k个质因数的乘积(不考虑质

因数之问的顺序关系)：‘

,21

21

ak

k

aaPPPN，这里

k

PP

21

P、为不同的质数，

k

aaa

21

、为自然数．

定理说明，如果不计质因数的次序，只有一种方法可以把一个合数分解成质因数的连乘

积．

例1已知三个质数a、b、c满足以a+b+c+abc=99那么accbba的值等于

_____________.(2002年江苏省初一年级数学竞赛题)

解题思路运用质数性质，结合奇偶性分析，推出a、b、c的值．

例2若p为质数，53p仍为质数，则75p为()(湖北省黄冈市竞赛题)

(A)质数(B)可为质数也可为合数

(c)合数(D)既不是质数也不是合数

解题思路从简单情形人手，实验、归纳与猜想．

例3求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．(上海市竞赛题)

解题思路由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，这样的质数是否

唯一?需按剩余类加以深入讨论．

例4在l，0交替出现且以l打头和结尾的所有整数(如101，10101，1010101……)中

有多少质数?并请证明你的论断．(2001年北京市竞赛题)

解题思路101是质数，对于，n≥2，这串数形如





位12

011010101





n

A的这串数中还有

没有质数?关键是对A进行拆分变形，运用质数合数定义判断．

例541名运动员所穿运动衣号码是1，2，…40,41这41个自然数，问：

(1)能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数?

(2)能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数?

若能办到，请举一例；若不能办到，请浣明理由．(北京市竞赛题)

解题思路要使相邻两数的和都是质数，显然它们只能都是奇数，运用奇偶数性质分析．

A级

1．若a、b、c、d为整数，1997))((2222dcba，则______2222dcba

2在1，2，3，…n这n个自然数中，已知共有p个质数，q个合数，k是个奇数，m个

偶数,则._________)()(kpmq．

3．设a，b为自然数，满足1176a=3b，则a的最小值为_______．

(“希望杯”邀请赛试题)

4．已知p是质数，并且36p也是质数，则4811p的值为_______.(北京市竞赛题)

5．任意调换12345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是()．

(A)4(B)8(C)12(D)0

6．所有形如abcabc的六位数，(a、b、c分别是0～9这10个数之一，可以相同且a

≠O)的最大公约数是()．

(A)1001(B)101(C)13(D)11

7．当整数n>1时，形如4n+4的数是()．

(A)质数(B)合数(C)合数且为偶数(D)完全平方数

8．设x是正数，表示不超过x的质数的个数，如(5．1)=3，即不超过5．1的质数

有2，3，5共3个，那么<<19>+<93>+(4)×(1)×<8>>的值是()．

(A)12(B)11(C)10(D)9

9、是否存在两个质数，它们的和等于数





120

1111

个

?若存在，请举一例；若不存在，说明理由．

10．写出十个连续的自然数，使得个个都是合数．(上海市竞赛题)

11．在黑板上写出下面的数2，3，4，…1994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去

一个数，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，

则乙胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙?说明理由．(五城市联赛题)

B级

1．若质数m，n满足5m+7n=129，则m+n的值为______．

2．已知P、q均为质数，并且存在两个正整数m，n使得p=m+n,q=m×n,则

mn

qp

nm

qp





的

值为___________.

3．自然数a、b、c、d、e都大于1，其乘积

2000abcde

，则其和a+b+c+d+e的最大

值为______，最小值为_____。(第13届“五羊杯”竞赛题)

4．由超级计算机运算得到的结果12859433是一个质数，则12859433是_____数．(填

“质”或“合”)

5．已知自然数m、n满足,2991222222nm，则n=_______(上海市竞赛题)

6．机器人对自然数从l开始由小到大按如下的规则进行染色：凡能表示为两个合数之

和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数

下去，则第1992个数是______．(北京市“迎春杯”竞赛题)

7．若三个不同的质数a，b，c满足2000acabb则.______cba

8．设a、b、C、d是自然数，并且2222dcba证明

dcba

一定是合数．

9．请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足：

(1)6个数中任意两个都互质；

(2)6个数任取2个、3个、4个、5个、6个数之和都是合

数，并简述选择的数合乎条件的理由．

10．已知正整数p、q都是质数，并且7p+q与pq+11也都是质数，试求pqqp的值．

(湖北省荆州市竞赛题)