分布函数的性质

1

目录

引言.................................................4

第一章分布函数的定义及性质...........................5

1.1分布函数的定义.......................................5

1.2分布函数的基本性质...................................6

1.3随机变量分布函数的可导性.............................10

1.4分布函数的其他应用..................................10

第二章多元随机变量的分布函数.........................14

2.1多元分布函数的定义..................................14

2.2多元分布函数的性质..................................15

结束语................................................23

致谢.................................................24

参考文献..............................................25

2

多元分布函数的性质

摘要随机变量的分布函数

)(xF

是x的一个普通实函数，它完整描述了随机变量

的统计规律性，通过它人们就可以利用数学分析的方法来全面研究随机变量。了

解掌握了分布函数就能研究出随机变量在某一区间内取值的概率情况。分布函数

具有相当好的性质，有利于进行数学处理。在多数教科书中对于多元分布函数的

性质只是简单的列出，针对于此现象，本文对多元分布函数的性质进行了详细证

明，同时举了相应的例子以便于更好得理解。

关键词随机变量；分布函数；多元分布函数；性质；证明

3

Thepropertiesofthemultivariatedistributionfunction

AbstractRandomvariabledistributionfunctionisacommonrealfunction,itcompletely

describethestatisticalregularityofarandomvariable,throughwhichpeoplecanmake

uofthemathematicalanalysismethodtocomprehensivestudyofrandomvariables.

Understandingoftherandomvariabledistributionfunctioncanbefiguredoutinacertain

butionfunctionhasfairlygoodproperty,beneficialto

butionfunctionhasfairlygoodproperty,beneficialto

ofthetextbooksforthepropertiesofthemultivariate

distributionfunctionissimplytolist,forthisphenomenon,thispaperdealswiththe

propertiesofthemultivariatedistributionfunctionindetailtoprove,atthesametimethe

correspondingexamplesinordertobetterunderstand.

KeywordsArandomvariable;Distributionfunction;Multivariatedistributionfunctions;

Properties;Proveit.

4

引言

对于离散型的随机变量，其取值的概率分布情况可用分布列来描述，对于连

续型随机变量，其取值的概率分布情况则由密度函数的积分来描述，还有连续取

值而非连续型（即密度函数不存在）或混合型，则用分布函数来描述随机变量取

值的概率分布情况，从而便于理论的研究。

在生产实际和理论研究中，都常常会遇到这种情况：需要同时用几个随机

变量才能较好地描绘某一试验或现象，就需要多元分布函数。

分布函数能全面地表示函数的分布，用分布函数能方便地计算出各种事件

的概率，概率的计算转化为对分布函数的运算。分布函数能够完整地描述随机变

量的统计规律性，并且分布函数具有良好的性质，它使得许多概率论问题得以简

化而归结为函数的运算，因此掌握好分布函数是研究随机变量的有效方法．所以

我们要对性质进行深入地分析证明，以便进行数学处理。

5

第一章分布函数的定义及性质

1.1分布函数的定义

定义1.1.1设是一个随机变量，x是任意实数，令

)(xF

=px，则称

)(xF

为的分布函数.

也可定义为

定义1.1.2设是一个随机变量，x是任意实数，令)(xF=px，则称

)(xF

为的分布函数.

由定义1立即可以得到：当ab时，

pabFbFa

事实上，因为

abba，

且

ab

故PabPbPa

FbFa

定义1.1.3对于离散型随机变量，其分布函数为

k

k

Fxpx

xx





,其

中求和是对所有满足不等式xx

k

的指标

k

进行的

定义1.1.4对于连续性随机变量，其分布函数为xFxftdt



，Rx.

6

1.2分布函数的基本性质

定理1.2.1设Fx为随机变量的分布函数(按定义1)，则

（1）单调性Fx为单调不降；

（2）连续性Fx为左连续；

（3）极限性lim0,lim()1.

xx

FxFx





证：（1）设

12

xx，由

12

xx（即左边事件发生，右边必发生）得



1122

FxPxPxFx

因而证明了Fx为单调不降；

（2）对任意

xR

，由于Fx单调不降，要证Fx左连续性，

只需证：

1

lim

n

FxFx

n









事实上，

11

FxPx

nn













由于

1

1

n

xx

n















，且

11

1

xx

nn













，故利用概率

的连续性定理（定义证明见下面），可得



11

limlim

nn

FxPxPxFx

nn















7

得证.

（3）由于

1

,1

n

nnn





，故知

limlim0

nn

FnPnp





再由于

1n

n





（必然事件），且1nn，故知

limlim1

nn

FnPnP





若按定义2，则（2）Fx为右连续，其他两个性质相同。

证：对任意

xR

，由于Fx单调不降，要证Fx右连续性，

只需证：

1

lim

n

FxFx

n









事实上，

11

FxPx

nn













由于

1

1

n

xx

n















，且

11

1

xx

nn













，故利用概率

的连续性定理，可得



11

limlim

nn

FxPxPxFx

nn















得证。

注：定义左连续或右连续只是一种习惯。有的书籍定义分布函数)(xF左连续，

但大多数书籍定义分布函数)(xF为右连续.左连续与右连续的区别在于计算

8

)(xF

时，xX点的概率是否计算在内.对于连续型随机变量，由于

0

1

xXp，故定义左连续或右连续没有什么区别；对于离散型随机变量，由

于0

1

xXp，则定义左连续或右连续时

)(xF

值就不相同，这时，就要注意对

)(xF

定义左连续还是右连续.

定义1.2.1设X是从测度空间,,A到可测空间,B

的可测变换，即

1:,XXBA

对BB，定义1

x

BBXB

可以验证，

x



是B上的测度。

事实上：11

1

1

xnnn

n

n

BXBXB





















1

xn

n

B







因而,,

x

B

是测度空间，

x



称为导出测度。

特别若X是随机变量，X：,,,FPRB

，B为Borel

代数，则可

产生一个新的Borel概率空间,,

x

RBP

，

:

x

FxPwXwx,x

称为X的分布函数。

注：

x

Fx也具有以上分布函数的性质。

定理1.2.2如果

1

,,

n

XX与

1

,,

n

YY是随机向量，具有相同的分布函数，即

1,,n

XX

F



=

1,,n

YY

F



，g是nR上的Borel函数，则

1

,,

n

gXX与

1

,,

n

gYY具有相同

9

的分布函数。

推论1.2.1如果

1

,,

n

XX与

1

,,

n

YY是随机向量，具有相同的分布函数，g

是nR上的Borel函数，及线性Borel集B，则



1

,,

n

PgXXB=

1

,,

n

PgYYB

例1.2.1分析下列函数是否是分布函数.若是分布函数，判断是哪类随机变

量的分布函数.

（1）

0,2

1

,20

2

1,0

x

Fxx

x





















（2）

0,0

sin,0

1,

x

Fxxx

x





















（3）

0,0

11

,0

22

1

1,

2

x

Fxxx

x

























分析：可根据分布函数的定义及性质进行判断.

解：(1))(xF在，-上单调不减且右连续.同时，

lim0,lim()1.

xx

FxFx





故(xF是随机变量的分布函数.由)(xF的图形可知是

阶梯形曲线，故)(xF是离散型随机变量的分布函数；

（2）由于在

















，

2

上单调下降，故)(xF不是随机变量的分布函数.但只要

10

将

)(xF

中的



改为

2



，

)(xF

就满足单调不减右连续，且

lim0,lim()1.

xx

FxFx



这时

)(xF

就是随机变量的分布函数.由

)(xF

可求得

'

2

0

cos,0

fxFx

xx











显然，

)(xF

是连续型随机变量的分布函数；

)(xF

在

，-

上单调不减且右连续，且

1)(,0)(FF

，是随机变量的

分布函数.但

)(xF

在

0x

和

2

1

x

处不可导，故不存在密度函数，使得

xfxdxFx





。同时，

)(xF

的图形也不是阶梯形曲线，因而

)(xF

既非连续

型也非离散型随机变量的分布函数.

1.3随机变量分布函数的可导性

由连续型随机变量分布函数的定义:xFxtdt



可知,连续型随机变

量分布函数Fx是概率密度函数x的变上限积分,是连续函数。

许多人根据积分与导数的关系,认为分布函数Fx一定是可导的。实际上,

对于密度x的连续点

0

x而言,才有'

00

Fxx。

故除x的间断点外,'xFx,即概率密度函数是分布函数的导函

数。

因此连续型随机变量分布函数是连续的,但不可导。

1.4分布函数的其他应用

例1.4.1盒中装有大小相等的球10个，编号分别为0、1、2、…、9.从中任取

1个，观察号码是“小于5”、“等于5”、“大于5”的情况.试定义一个随机变

11

量，求其分布律和分布函数.

分析：“任取1球的号码”是随机变量，它随着试验的不同结果而取不同的

值.根据号码是“小于5”、“等于5”、“大于5”的三种情况，可定义该随机变

量的取值.进一步，可由随机变量的分布律与分布函数的定义，求出其分布律与

分布函数.

解:分别用

123

,,

表示试验的三种结果“小于5”、“等于5”、“大于5”，

这时试验的样本空间为

123

,,，定义随机变量为：X

1

2

3

0,

1,

2,

XX























X取每个值的概率为：



5

0,

10

PX

，



1

1,

10

PX

，



4

2,

10

PX

；

故X的分布律为(表1)：

表1：

X012

K

P

5

10

1

10

4

10

当0,0xFxPXx；

当

5

01,0

10

xFxPXxPX

;

当

6

12,01

10

xFxPXPX

;

当2,0121xFxPXPXPX

由此求得分布函数为：

12



0,0

5

,01

10

6

,12

10

1,2

x

x

FxPXx

x

x





























例1.4.2在

ABC

中,任取一个点P,P到AB的距离为X,求X的分布函数及

概率密度.

解:

作AB边上的高CD,设CD=

h

当

0xh

的,作EF//AB,使EF与AB间的距离为x,故当

0xh

时

FxPXx梯形EFBA的面积/

ABC

的面积

2

11CEF

ABC

S

hx

Sh











2

0

1

1

hx

Fx

h

























0

0

x

xh

xh







例1.4.3点随机地落在以原点为中心,半径为R的圆周上,并且对弧长是均匀

的,求落点的横坐标的概率密度。

解：设落点为p,p与x轴的夹角为,服从0,2上的均匀分布,其密度函

数为



1

,02

2

0

f





















设落点的横坐标为X,则cosXR,先Fx，

cosFxPXxPRx





,0

,1

xRFx

xRFx

RxR







当

其他

当

当

时

13

2arccos

arccos

1

arccos2arccos

2

11

22arccos1cos

2

x

R

x

RA

xx

FxPd

RR

xx

acr

RR





























0

1

1cos,

1

x

Fxacr

R

















xR

RxR

xR







'

22

1

,

0

RxR

fxFx

Rx

















其他

14

第二章多元随机变量的分布函数

2.1多元分布函数的定义

定义2.1.1（二维联合分布函数）

设

,为定义在同一个概率空间,,fp上的两个随机变量，则（

,）

称为二维随机变量。对任意

,xyR

,:(),FxyPwwxwy

或简写为

,,FxyPxy

称,Fxy为,的联合分布函数，或简称为二维分布函数。

定义2.1.2（n维联合分布函数）

设

12

,,,

n

www是定义在同一个样本空间上的随机变量，则称n

元函数



12

,,,

n

Fxxx1122

,,,

nn

Pwxwxwx

是n维随机变量

12

,,,

n

www的联合分布函数，也简称为联合分布或

分布。

联合分布函数描述了多维随机变量的统计规律。

15

2.2多元分布函数的性质

定理2.2.1设,Fxy为随机变量,的联合分布函数，则

（1）,Fxy分别对x和y单调下降，即



21

,,FxyFxy，当

21

yy；

（2）,Fxy对每个变元左连续

（3）

,

lim(,)0,lim(,)0,lim(,)1.

xyxy

FxyFxyFxy





（4）对任意四个实数

1122

,abab，有

12121212

(,)(,)(,)(,)0FbbFabFbaFaa

1.先证性质（2）

证：令

1

,,1,2

n

Axyn

n











显然

12

1

,

nn

n

AAAAA







11

lim,lim,lim

n

nnn

FxyPxyPA

nn













由概率的下连续性知，

1

lim

nn

n

n

PAPA







因为



1

1

lim,,,

n

n

n

FxyPAPAPxyFxy

n















所以,0,FxyFxy；

16

同理0,,FxyFxy。

得证.

2.证明性质（3）

证：令,,1,2

n

Bxnn

显然，

12n

BBB，且

1

n

n

B





,lim,lim,lim

n

nnn

FxFxnPxnPB





由概率的上连续性知，



1

lim0

nn

n

n

PBPBP







所以,0Fx

同理可证：

,0Fy

下证,1F

令,,1,2

n

Cnnn

显然

12

1

,

n

n

n

CCCC





,lim,lim,lim

n

nnn

FFnnPnnPC





由概率的下连续性，



1

lim1

nn

n

n

PCPCP







即,1F

得证.

3.证明性质（4）

证：

任意

1122

,abab

12121212

(,)(,)(,)(,)FbbFabFbaFaa

=

12121212

,,,,PbbPbaPabPaa

17

显然



1122

0,Pabab

=

1212

,,PbbPab

1212

,,PbaPaa

=

12121212

,,,,FbbFabFbaFaa

即得证

4.由性质3和性质4证明性质1（性质1也可以由定义直接证明）

证：

固定x，任意

12

yy，



212211

,,,,,,0FxyFxyFxyFyFxyFy

所以,Fxy关于y单调不减；同理，固定y，

(,)Fxy

关于x单调不减.

5.以反例说明性质4无法由其它性质导出

以,Gxy=错误！未找到引用源。为例

（1）验证,Gxy满足性质1.

固定x，任意

12

yy

若

1

5xy，则

2

5xy，

所以

21

,110GxyGxy

若

12

5,5xyxy则

21

,101GxyGxy

若

2

5xy，则

1

5xy，

21

,000GxyGxy

从而

21

,,GxyGxy，,Gxy关于y单调不减

同理，固定y，,Gxy关于x单调不减,,Gxy满足性质1.

（2）验证,Gxy满足性质2.

固定x，取

0

xx，令

0

,HyGxy错误！未找到引用源。

显然，Hy关于y左连续，即,Gxy关于y左连续.

同理，固定y，,Gxy关于x左连续.

18

（3）显然，,Gxy满足性质3.

,0,,0,,

（4）,Gxy不满足性质4.

取

1212

14,35xxyy



22211211

,,,,GxyGxyGxyGxy

=

G

(4,5)-

G

(4,3)-

G

(1,5)+

G

(1,3)

=1-1-1+0

=-1<0.

,Gxy不能作为任何一个二维随机变量的联合分布函数.

例2.2.1设二维随机变量,XY的密度函数为



1/2sin0,0

,

22

0

xyxy

pxy





















求,XY的分布函数,Fxy.

分析：根据密度函数的定义可以看出分布函数与,xy所在的区域有关，可

分区域分别进行讨论.

解：

当

0,0xy

时，,0pxy,于是,0Fxy；

当

0,0

22

xy





时

,,xyFxypxydxdy





=

00

1

sin

2

xyxydxdy

=1/2sinsinsin()xyxy；

当

,0

22

xy





时，

/2

00

1

,sin1sincos/2

2

xyFxyxydxdyyy

其他

19

当

0,

22

xy





时，

/2

00

1

,sin1sincos/2

2

xxFxyxydxdyxx

当

,

22

xy





时

/2/2

00

1

,sin1

2

xxFxyxydxdy；

所以









0

sinsinsin/2

,1sincos/2

1sincos/2

1

xyxy

Fxyyy

xx



























0,0

0/2,0/2

/2,0/2

0/2,/2

/2,/2

xy

xy

xy

xy

xy



















定理2.2.2设,为二维连续随机变量，分布密度为,xy，设D是平面上

的区域，则,,

D

PDxydxdy。

证：

首先设,,Aabcd

,,,,,PAFbdFbcFadFac

,

A

xydxdy



0

,

A

xydxdy

其中0AA是A的内部开矩形，0,,Aabcd

,,

D

PDxydxdy



0

,

D

xydxdy

由实变函数知，0D可以表示为可列个开矩形的和

即0D

0

n

n

A





，

n

A为开矩形

,bc,ac

,bd,ad

20

0,,PDPD



01

,,

n

n

nn

A

PAxydxdy











0

,

D

xydxdy

,

D

xydxdy

例2.2.2设

G

是平面上的一个有界区域，其面积为A，令



1

,

0

pxy

A













，,xyG

则,pxy是一个密度函数，以,pxy为密度的二维联合分布称为区域

G

上的均

匀分布。

若二维随机变量,的联合分布是区域

G

上的均匀分布，密度函数为上

面的,pxy，则对

G

中的任一（有面积的）子区域D，有

,,

D

PDpxydxdy

,

11

D

xyD

dxdyS

AA



（其中

D

S为D的面积）

例2.2.3设二维随机变量,具有密度函数



2,0,0

,

0,

xyCexy

pxy















试求（1）常数

C

；

（2）分布函数,Fxy；

（3）求,落在下图中区域G内的概率。

y

1xy

其他

其他

21

解：（1）1,pxydxdy







2

00

xyCedxdy



22

00

xyCedxedy



11

22

C

故

4C

（2）,,xyFxypuvdudv





2

00

4,0,0

0,

xy

uvexy















由此可得



2211,0,0

,

0,

xyeexy

Fxy















（3）

,

,,

xyG

PGpxydxdy







11

2

00

4y

xyedxdy



1

21

2

0

21y

yeedy



213e

下面是我对连续和离散随机变量的一点认识和体会：

设X是定义在概率空间,,P上的连续随机变量，且f为取值在实数集R

的密度函数。

用



表示实数集R上的Borel域，令

1

x

BPXBB，

x0

G

其他

其他

22

则

x



是,R上的测度，我们称

x



为X在,R上的导出分布或分布。

用m表示,R上的

Lebesgue

测度，结合

RadonNikodym

定理，我们说

f

是

x



关于R上的

Lebesgue

测度m的

RadonNikodym

导数。

事实上，任给

A

，有

1

x

A

APXAfdm。

再设X是定义在概率空间,,P上的离散随机变量，且X在1,2,S

中取值，分布律

,pxpXxxS。

用表示S的幂集，令

1,

x

BPXBB

，

则

x



是,S上的测度，

x



就是,S上的导出分布。定义,S上的计数测度



：

||,AAA.

我们说px是

x



关于,S上的计数测度



的

RadonNikodym

导数。

事实上，任给A,有

1

x

xA

APXApx











xA

xA

pxdpxd







基于以上的事实的考虑，我们可以把计数测度



和Lebesgue测度m统一用

表示，称为参考测度，这样我们就可以粗略的说随机变量的分布密度或分布律均

是由其导出分布

x



关于参考测度的

RadonNikodym

导数。对于这个事实的认

识与理解会加深我们初学者对随机变量的分布等相关概念的认识。

结束语

23

一个随机变量的概率规律,称为该随机变量的分布,描述随机变量的分布

的重要方法之一是分布函数。随机变量的分布函数完全描述了随机变量取值的概

率规律,因此研究分布函数的性质具有十分重要的意义。我的论文就是对分布函

数的定义及其基本定理进行了总结归纳并证明，详细证明了二元分布函数的性

质，便于更好地使用分布函数。

24

致谢

本论文在杨老师的悉心指导和严格要求下已完成。毕业设计，也许是我大学

生涯交上的最后一个作业了。想借此次机会感谢四年以来给我帮助的所有老师、

同学，你们的友谊是我人生的财富，是我生命中不可或缺的一部分。我的论文指

导老师杨卫国老师，虽然我们是在开始毕业设计时才认识，但他却能以一位长辈

的风范来容谅我的无知和冲动，给我不厌其烦的指导。从课题选择、命题证明到

具体的格式，无不凝聚着杨老师的心血和汗水，他严肃的科学态度，严谨的治学

精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。在此，特向他道声谢谢。

即将结束再次学习的生活，相信等待我的是一片充满机遇、风险与快乐的土

地；也相信我和同仁们的事业必将如涅磐之凤、浴火之凰；更加相信，不朽的民

族精神终将引领我们创造新的奇迹！

25

参考文献

[1]汪嘉冈.现代概率论基础[M].上海：复旦大学出版社，2006:46.

[2]严加安.测度论讲义[M].北京：科学出版社，2004:62

[3]邓集贤.概率论及数理统计.北京：高等教育出版社，2009

[4]魏宗舒.概率论及数理统计教程.北京：高等教育出版社，2008

[5]苏淳.概率论［M］.北京:科学出版社,2004:147.

[6]杨瑞梅,左建新.N维连续型随机变量之分布函数的性质[J].辽宁大学

学报:自然科学版,2001,28(3):193-195.

[7]胡春华.关于连续型随机变量分布函数一些重要性质的证明[J].鸡西大

学学报,2004,4(5):39-41.