cscx图像

精选

六大基本初等函数图像及其性质

一、常值函数（也称常数函数）y=C（其中C为常数）；

常数函数（

Cy

）

0C0C

平行于x轴的直线y轴本身

定义域R定义域R

二、幂函数xy

，x是自变量，



是常数；

1.幂函数的图像：

2.幂函数的性质；

性质

函数

xy2xy3xy2

1xy1xy

定义域RRR[0,+∞){x|x≠0}

值域R[0,+∞)R[0,+∞){y|y≠0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

单调性增

[0,+∞)增

增增

(0,+∞)减

(-∞,0]减(-∞,0)减

公共点（1,1）

x

y

O

xy2xy

3xy

1xy

2

1xy

O

0y

x

Cy

O

x

y

y

精选

1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为

),(x

，他们的图形都经过原点，并当α>1时

在原点处与x轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y轴对称；

2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数；

3）当α为正有理数

n

m

时，n为偶数时函数的定义域为（0,+∞），n为奇数时函数的定义域为（-

∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1,1）；

4）如果m>n图形于x轴相切，如果m

均为奇数时，跟原点对称；

5）当α为负有理数时，n为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n为奇数时，定义域为去

除x=0以外的一切实数。

三、指数函数

xay

(

x

是自变量,

a

是常数且0a，

1a

)，定义域是R；

[无界函数]

1.指数函数的图象：

2.指数函数的性质；

性质

函数

xay

)1(axay

)10(a

定义域R

值域(0，+∞)

奇偶性非奇非偶

公共点

过点(0，1)，即

0x

时，

1y

单调性在

），（

是增函数在

），（

是减函数

1）当1a时函数为单调增,当10a时函数为单调减；

2）不论x为何值,y总是正的,图形在x轴上方；

3）当0x时,1y,所以它的图形通过(0,1)点。

1y

O

(0,1)

x

y

xay

)10(a

x

xay

)1(a

1y

O

(0,1)

y

精选

3.（选，补充）指数函数值的大小比较

*Na；

a.底数互为倒数的两个指数函数

xaxf)(，

x

a

xf















1

)(

的函数图像关于y轴对称。

b.1.当1a时，a值越大，

xay

的图像越靠近y轴；

b.2.当10a时，a值越大，

xay

的图像越远离y轴。

4.指数的运算法则（公式）；

a.整数指数幂的运算性质),,0(Qnma；

(1)

nmnmaaa

(2)

nmnmaaa

(3)m

nnm

n

maaa

(4)nn

nbaab

b.根式的性质；

(1)aan

n；(2)当n为奇数时，aan

n

当n为偶数时，













)0(

0)(aa

aa

aan

n

c.分数指数幂；

(1)

)1,,,0(*nZnmaaan

m

n

m

(2))1,,,0(

11

*nZnma

a

a

a

n

m

n

m

n

m

y

xaxf)(

x

a

xf















1

)(

O

(0,1)

x

x

O

(0,1)

y

xxf2)(

xxh3)(

O

(0,1)

y

x

xq















2

1

)(

x

xg















3

1

)(

精选

四、对数函数xy

a

log(

a

是常数且

1,0aa

)，定义域

),0(x

[无界]

1.对数的概念：如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，就是Nab，那么数b叫做以a为底N的对数，

记作bN

a

log,其中a叫做对数的底数，N叫做真数，式子N

a

log叫做对数式。

对数函数

xy

a

log

与指数函数xay互为反函数，所以

xy

a

log

的图象与xay的图象

关于直线

xy

对称。

2.常用对数：N

10

log的对数叫做常用对数，为了简便，N的常用对数记作Nlg。

3.自然对数：使用以无理数7182.2e为底的对数叫做自然对数，为了简便，N的自然对数

N

e

log简

记作Nln。

4.对数函数的图象：

5.对数函数的性质；

性质

函数

xy

a

log

)1(a

xy

a

log

)10(a

定义域(0，+∞)

值域R

奇偶性非奇非偶

公共点

过点(1，0)，即

1x

时，

0y

单调性在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数

1）对数函数的图形为于y轴的右方，并过点(1,0)；

2）当1a时，在区间(0,1)，y的值为负，图形位于x的下方；在区间(1,+



)，y值为正，图形位于

x轴上方，在定义域是单调增函数。1a在实际中很少用到。

6.（选，补充）对数函数值的大小比较

*Na；

y

O

x(1,0)

1x

xy

a

log

)1(a

O

x

(1,0)

y1x

xy

a

log

)10(a

y

(1,0)

xy

a

log

精选

a.底数互为倒数的两个对数函数

xy

a

log，xy

a

1

log

的函数图像关于x轴对称。

b.1.当1a时，a值越大，

xxf

a

log)(

的图像越靠近x轴；

b.2.当)10(a时，a值越大，

xxf

a

log)(

的图像越远离x轴。

7.对数的运算法则（公式）；

a.如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么：

NMMN

aaa

logloglog

NM

N

M

aaa

logloglog

MnM

a

n

a

loglog

b.对数恒等式：

NaN

alog)010(Naa，且

c.换底公式：

(1)

b

N

N

a

a

blog

log

log

（1,0aa，一般常常

换为e或10为底的对数,即b

N

N

bln

ln

log

或

b

N

N

blg

lg

log

）

(2)由公式和运算性质推倒的结论：

b

m

n

b

a

n

amloglog

d.对数运算性质

(1)1的对数是零，即

01log

a

；同理01ln或01lg

(2)底数的对数等于1，即

1loga

a

；同理1lne或110lg

五、三角函数

y

O

x(1,0)

xxf

2

log)(

xxf

3

log)(

y

O

x

(1,0)

xxf

2

1

log)(

xxf

3

1

log)(

精选

1.正弦函数

xysin

,有界函数，定义域),(x，值域]1,1[y

图象：五点作图法：0，

2



，，

2

3

，2

2.余弦函数

xycos

，有界函数，定义域),(x，值域]1,1[y

图象：五点作图法：0，

2



，，

2

3

，2

3.正、余弦函数的性质；

性质

函数

xysin

)(Zk

xycos

)(Zk

定义域R

值域[-1,1][-1,1]

奇偶性奇函数偶函数

周期性2T2T

对称中心

)0,(k

)0,

2

(



k

对称轴

2



kx)0,

2

(



k

单调性

在















2

2,

2

2







kkx上是增函数

在















2

3

2,

2

2







kkx上是减函数

在kkx2,2上是增函数

在kkx2,2上是减函数

最值

2

2



kx时，1

max

y

2

2



kx时，1

min

y

kx2时，1

max

y

kx2时，1

min

y

4.正切函数

xytan

，无界函数，定义域)(,

2

Zkkxx



，值域),(y

y

x

精选

xytan

的图像

5.余切函数

xycot

，无界函数，定义域Zkkxx,

,),(y

xycot

的图像

6.正、余切函数的性质；

性质

函数

xytan

)(Zkxycot

)(Zk

定义域

2



kxkx

值域RR

奇偶性奇函数奇函数

周期性TT

单调性

在

)

2

,

2

(







kk

上都是增函数

在))1(,(kk上都是减函数

对称中心

)0,

2

(

k

)0,

2

(

k

零点

)0,(k

)0,

2

(



k

7.正割函数

xyc

，无界函数，定义域)(,

2

Zkkxx



，值域1cx



2





O

2

3



2

2

5



3

2





2

3

2

2

5

3

y

x

2



2

3

y

1

精选

8.余割函数

x

xy

sin

1

csc

，无界函数，定义域)(,Zkkxx，值域1cscx

9.正、余割函数的性质；

性质

函数

xyc

)(Zk

xycsc

)(Zk

定义域





kxx

2

kxx

值域

),1[]1(，),1[]1(，

奇偶性偶函数奇函数

周期性2T2T

单调性

)

2

3

2,2()2,

2

2(







kkkk

减

)2,

2

2()

2

2,2(







kkkk

增

)22,

2

3

2()

2

2,2(







kkkk

减

)

2

3

2,2()2,

2

2(







kkkk

增

续表：

性质

函数

xyc

)(Zk

xycsc

)(Zk

对称中心

)0,

2

(



k

)0,(k



2





O

2

3



2

2

5



2





2

3

2

2

5

3

y

x

-1

1

xyc的图像

xycsc的图像

精选

对称轴kx



kx

2

渐近线





kx

2

kx

六、反三角函数

1.反正弦函数

xyarcsin

，无界函数，定义域[-1,1]，值域],0[

A.反正弦函数的概念：正弦函数

xysin

在区间















2

,

2



上的反函数称为反正弦函数，记为

xyarcsin

2.反余弦弦函数

xyarccos

，无界函数，定义域[-1,1]，值域],0[

B.反余弦函数的概念：余弦函数

xycos

在区间,0上的反函数称为反余弦函数，记为

xyarccos

xyarcsin

的图像

xyarccos

的图像

3.反正、余弦函数的性质；

性质

函数

xyarcsin

xyarccos

定义域[-1,1][-1,1]

值域

],0[],0[

奇偶性奇函数非奇非偶函数

单调性增函数减函数

4.反正切函数

xyarctan

，有界函数，定义域),(x,值域













2

,

2



C.反正切函数的概念：正切函数

xytan

在区间













2

,

2



上的反函数称为反正切函数，记为

O

x

y

1

-1

2



2





O

x

y

1

-1

2





精选

xyarctan

5.反余切函数

xarcycot

，有界函数，定义域),(x,值域,0

D.反余切函数的概念：余切函数

xycot

在区间,0上的反函数称为反余切函数，记为

xarcycot

xyarctan

的图像

xarcycot

的图像

6.反正、余弦函数的性质；

函数

性质

xyarctanxarcycot

定义域R

值域















2

,

2



,0

奇偶性奇函数非奇非偶

单调性增函数减函数

三角函数公式汇总

一、任意角的三角函数

在角



的终边上任取

．．

一点),(yxP，记：22yxr。

x

y

O

2



2





x

y

O

2





精选

正弦：

r

y

sin

余弦：

r

x

cos

正切：

x

y

tan

余切：

y

x

cot

正割：

x

r

c

余割：

y

r

csc

二、同角三角函数的基本关系式

倒数关系：1cscsin，1ccos，1cottan

商数关系：







cos

sin

tan

，







sin

cos

cot

平方关系：

1cossin22，22ctan1

，22csccot1

三、诱导公式

x

轴上的角，口诀：函数名不变，符号看象限；

y

轴上的角，口诀：函数名改变，符号看象限。

四、和角公式和差角公式

sincoscossin)sin(

sincoscossin)sin(

sinsincoscos)cos(

sinsincoscos)cos(







tantan1

tantan

)tan(













tantan1

tantan

)tan(







五、二倍角公式

cossin22sin







2tan1

tan2

2tan





2222sin211cos2sincos2cos

二倍角的余弦公式常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）

2cos22cos12sin22cos1

2)cos(sin2sin12)cos(sin2sin1

2

2cos1

cos2









，

2

2sin1

sin2









，











2cos1

2sin

2sin

2cos1

tan









六、三倍角公式

)

3

sin()

3

sin(sin4sin4sin33sin3









)

3

cos()

3

cos(cos4cos3cos43cos3









精选

)

3

tan()

3

tan(tan

tan31

tantan3

3tan

2

3























七、和差化积公式

2

cos

2

sin2sinsin









2

sin

2

cos2sinsin









2

cos

2

cos2coscos









2

sin

2

sin2coscos









八、辅助角公式

)sin(cossin22xbaxbxa

其中：角的终边所在的象限与点

),(ba

所在的象限相同，

22

sin

ba

b





，

22

cos

ba

a





，

a

b

tan

九、三角函数的周期公式

函数

)sin(xAy

，Rx及函数

)cos(xAy

，Rx(A,,,为常数，且

0,0A

)

周期：



2

T

函数

)tan(xAy

，

Zkkx,

2



(A,,,为常数，且

0,0A

)

周期：





T

十、正弦定理

R

C

c

B

b

A

a

2

sinsinsin



（R为

ABC

外接圆半径）

十一、余弦定理

Abccbacos2222

Baccabcos2222

Cabbaccos2222