内切圆半径

三角形的内切圆——与内切圆

半径有关的计算

E

F

D

O

A

B

C

三角形的内切圆

——与内切圆半径有关的计算

【学习目标】

1．理解三角形内切圆的有关概念。

2．掌握三角形的内心的位置、数量特征。

3．会求三角形的内切圆半径，会利用内心的相关性质解决计算问题。

【预备知识】

1.内切圆的有关概念_________________________叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角

形的内心，三角形的内心是__________________________的交点。

2.内切圆的性质

（Ⅰ）内心的性质：_____________________________的距离相等。

（Ⅱ）设S是△ABC面积，a,b，c是三角形三边长，r为三角形

内切圆半径,则三角形面积与其内切圆半径的关系为：S=______________

特别地，直角三角形三边长与内切圆半径关

系为：r=______________

3.切线长定理

经过圆外一点的切线，这一点和切点之间

的线段长叫做这点到圆的切线长。从圆外一点

b

c

a

r

r

rD

E

F

I

B

A

C

依次外切，且⊙O

1

与AC、BC相切，⊙O

n

与BC、

AB相切，⊙O

1

、⊙O

2

、⊙O

3

、…、⊙O

n－1

均与AB

边相切，求r

n

.

拓展路径1：

C

B

A

C

B

A

C

B

A

拓展路径2：

C

B

A

C

B

A

C

B

A

小

结：类比，由特殊到一般，等面积转化。

【实战演练】

【练习1】（2016四川省攀枝花市）如图，△

ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的

中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC

均相切，则⊙O的半径为．

【练习2】（2011年江苏省南通）如图，三个半

圆依次相外切，它们的圆心都在x轴上，并与

直线y＝

3

3

x相切．设三个半圆的半径依次为

r1

、r2

、r3

，则当r1

＝1时，r3

＝．

【练习3】（2016年福建龙岩第16题）如图1～

4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每

多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切

圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的

内切圆，它们的面积分别记为S

1

，S

2

，S

3

，…，

S

10

，则S

1

+S

2

+S

3

+…+S

10

=．

OO1O2O3

x

y

···

【练习4】（2014山东省济宁市部分）（2）理

解应用：如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，

AB=21，CD=11，AD=13，⊙O

1

与⊙O

2

分别为△ABD

与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1

和

r2

，求

2

1

r

r的值.

【参考答案】

9

14

2

1

r

r.

【练习5】（2016广西桂林第23题）已知任意

三角形的三边长，如何求三角形面积？

古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他

的著作《度量论》一书中给出了计算公式﹣﹣

海伦公式()()()Sppapbpc（其中a，b，c是三

角形的三边长，

2

abc

p



，S为三角形的面积），

并给出了证明

例如：在△ABC中，a=3，b=4，c=5，那么它的

面积可以这样计算：

∵a=3，b=4，c=5∴

2

abc

p



=6

∴()()()Sppapbpc==6

事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面

积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶

提出的秦九韶公式等方法解决．

如图，在△ABC中，BC=5，AC=6，AB=9

（1）用海伦公式求△ABC的面积；（2）求△ABC

的内切圆半径r．

【练习6】（上海市普陀区中考二模）如图，Rt

△ABC，∠ABC＝90°，圆O与圆M外切，圆O

与线段AC、线段BC、线段AB相切于点E、D、

F，圆M与线段AC、线段BC都相切，其中AB

＝5，BC＝12。求：

（1）圆O的半径

r；

（2）

2

tan

C；（即

DC

OD）

（3）

2

sin

C；（即

OC

OD）

（4）圆M的半径

M

r。

图

图