cos20度

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精锐教育学科教师辅导讲义

讲义编号：

年级：辅导科目：数学课时数：

课题三角函数（三）

教学目的

教学内容

第五节两角和与差的三角函数

（一）高考目标

考纲解读

1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．

2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．

3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们

的内在联系．

考向预测

1．利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简求值是高考常考的内容．

2．公式逆用、变形用(尤其是余弦二倍角的变形用)是高考热点．

3．在选择题、填空题、解答题中都可能考查．

（二）课前自主预习

知识梳理

1．cos(α－β)＝cosα²cosβ＋sinα²sinβ(C

α－β)

cos(α＋β)＝(C

α＋β)

sin(α－β)＝(S

α－β)

sin(α＋β)＝(S

α＋β)

tan(α－β)＝(T

α－β)

tan(α＋β)＝(T

α＋β)

前面4个公式对任意的α，β都成立，而后面两个公式成立的条件是a≠kπ＋

π

2

，β≠kπ＋

π

2

，

k∈Z，且α＋β≠kπ＋

π

2

(T

α＋β需满足)，α－β≠kπ＋

π

2

(T

α－β需满足)k∈Z时成立，否则是不成

立的．当tanα、tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用公式Tα±β处理有关问题，应改用诱导公式或其

它方法求解．

2．要辩证地看待和角与差角，根据需要，可以进行适当的变换：α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，2α＝(α

＋β)＋(α－β)，2α＝(α＋β)－(β－α)等等．

3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如Tα±β可变

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形为：

tanα±tanβ＝，

tanαtanβ＝＝.

（三）基础自测

1．(2010²福建理)计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于()

A.

1

2

B.

3

3

C.

2

2

D.

3

2

[答案]A

[解析]原式＝sin(43°－13°)＝sin30°＝

1

2

.

2．已知α∈











π

2

，π

，sinα＝

3

5

，则tan













α＋

π

4

等于()

A.

1

7

B．7C．－

1

7

D．－7

[答案]A

[解析]∵α∈











π

2

，π

，sinα＝

3

5

，

∴cosα＝－

4

5

，∴tanα＝－

3

4

.

而tan













α＋

π

4

＝

tanα＋1

1－tanα

＝

－

3

4

＋1

1＋

3

4

＝

1

7

.

3．(2011²烟台模拟)已知α，β都是锐角，sinα＝

1

2

，cos(α＋β)＝

1

2

，则cosβ等于()

A.

1－3

2

B.

3－1

2

C.

1

2

D.

3

2

[答案]D

[解析]∵α∈













0，

π

2

，β∈













0，

π

2

，

∴α＋β∈(0，π)，由sinα＝

1

2

，得α＝

π

6

，又由cos(α＋β)＝

1

2

，得α＋β＝

π

3

，故β＝

π

6

，cosβ＝

3

2

.

4．tan15°＋cot15°等于()

A．2B．2＋3C．4D.

43

3

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[分析]可切割化弦利用倍角公式求解也可将15°转换成45°－30°或者15°＝

30°

2

求解．

[答案]C

[解析]解法1：tan15°＋cot15°＝

sin15°

cos15°

＋

cos15°

sin15°

＝

1

sin15°cos15°

＝

2

sin30°

＝4.

解法2：tan15°＋cot15°＝tan(45°－30°)＋

1

－

＝

tan45°－tan30°

1＋tan45°tan30°

＋

1＋tan45°tan30°

tan45°－tan30°

＝

1－

3

3

1＋

3

3

＋

1＋

3

3

1－

3

3

＝

3－1

3＋1

＋

3＋1

3－1

＝

4－23

2

＋

4＋23

2

＝4.

解法3：tan15°＋cot15°＝tan

30°

2

＋

1

tan

30°

2

＝

1－cos30°

sin30°

＋

1＋cos30°

sin30°

＝

2

sin30°

＝4.

5．函数y＝sinx＋cos













x－

π

6

的最大值和最小值分别为________．

[答案]3，－3

[解析]y＝sinx＋cosxcos

π

6

＋sinxsin

π

6

＝

3

2

sinx＋

3

2

cosx＝3sin













x＋

π

6

.

当x＝2kπ＋

π

3

(k∈Z)时，ymax＝3；

当x＝2kπ－

2π

3

(k∈Z)时，ymin＝－3.

6．化简：cos











π

3

＋α

＋sin











π

6

＋α

＝________.

[答案]cosα

[解析]cos













π

3

＋α

＋sin













π

6

＋α

＝cos

π

3

cosα－sin

π

3

sinα＋sin

π

6

cosα＋cos

π

6

sinα

＝

1

2

cosα－

3

2

sinα＋

1

2

cosα＋

3

2

sinα＝cosα.

7．若锐角α，β满足(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，求α＋β的值．

[解析]∵(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝1＋3tanα＋3tanβ＋3tanαtanβ＝4，

∴3(tanα＋tanβ)＝3(1－tanαtanβ)，

即tanα＋tanβ＝3(1－tanαtanβ)，

∴tan(α＋β)＝

tanα＋tanβ

1－tanαtanβ

＝3，

又α、β均为锐角，

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∴0<α＋β<π，∴α＋β＝

π

3

.

（四）典型例题

1.命题方向：化简求值问题

[例1]求下列各式的值：

(1)(

1

cos280°

－

3

cos210°

)

1

cos20°

(2)

cos20°

sin20°

²cos10°＋3sin10°tan70°－2cos40°

[分析]角求值问题，应从角的关系、函数关系、运算关系上找联系，构造利用公式的条件．

[解析](1)∵

1

cos280°

－

3

cos210°

＝

1

sin210°

－

3

cos210°

＝

cos210°－3sin210°

sin210°cos210°

＝

＋3－3

sin210°cos210°

＝

4cos50°²cos70°

1

4

sin220°

＝

16²sin40°²sin20°

sin220°

＝32cos20°.

∴原式＝32.

(2)

cos20°

sin20°

²cos10°＋3sin10°tan70°－2cos40°

＝

cos20°cos10°

sin20°

＋

3sin10°sin70°

cos70°

－2cos40°

＝

cos20°cos10°＋3sin10°cos20°

sin20°

－2cos40°

＝

cos20°cos10°＋3sin10°

sin20°

－2cos40°

＝

2cos20°cos10°sin30°＋sin10°cos30°

sin20°

－2cos40°

＝

2cos20°sin40°－2sin20°cos40°

sin20°

＝2.

[点评]在三角函数的化简、求值、证明中，常常对条件和结论进行合理变换、转化，特别是角的变化、名称的变化、

切化弦、常数代换、幂的代换、结构变化都是常用的技巧和方法．

跟踪练习1

求[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]²2sin280的值．

[解析]原式＝













2sin50°＋sin10°³

cos10°＋3sin10°

cos10°

²2sin80°

＝(2sin50°＋2sin10°²

1

2

cos10°＋

3

2

sin10°

cos10°

)²2cos10°

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＝22[sin50°²cos10°＋sin10°²cos(60°－10°)]＝22sin(50°＋10°)＝22³

3

2

＝6.

[点评]对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：

(1)化为特殊角的三角函数值．

(2)化为正负相消的项，消去求值．

(3)化分子、分母使之出现公约数进行约分而求值．

(4)给值(或式)求值.

2.命题方向：条件求值

[例2]已知sin(30°＋α)＝

3

5

，60°<α<150°，求cosα的值．

[分析](1)因为30°是特殊角，所以可用和角公式展开后，设法求值．

(2)观察条件中角与所求值中角之间的关系，利用和差关系，整体求解．

[解析]方法一：∵sin(30°＋α)＝sin30°²cosα＋cos30°²sinα＝

1

2

cosα＋

3

2

sinα＝

3

5

，

∴cosα＋3sinα＝

6

5

.①

又∵sin2α＋cos2α＝1，②

∴由①得cosα＝

6

5

－3sinα，代入②得

100sin2α－603sinα＋11＝0.

∴sinα＝

603±6032－4³100³11

2³100

＝

33±4

10

.

又∵60°<α<150°，

∴sinα>

1

2

.而sinα＝

33－4

10

<

1

2

，∴只取sinα＝

33＋4

10

.代入①，得

cosα＝

6

5

－3²

33＋4

10

＝

3－43

10

.

方法二：把30°＋α看作整体，可求cos(30°＋α)的值．

∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°.

∵sin(30°＋α)＝

3

5

，∴cos(30°＋α)＝－

4

5

.

∴sin(30°＋α)＝sin30°²cosα＋cos30°²sinα＝

1

2

cosα＋

3

2

sinα＝

3

5

，①

cos(30°＋α)＝cos30°²cosα－sin30°²sinα＝

3

2

cosα－

1

2

sinα＝－

4

5

.②

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由①②，得cosα＝

3－43

10

.

方法三：∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°.

∵sin(30°＋α)＝

3

5

，∴cos(30°＋α)＝－

4

5

.

∴cosα＝cos[(30°＋α)－30°]

＝cos(30°＋α)²cos30°＋sin(30°＋α)²sin30°＝－

4

5

³

3

2

＋

3

5

³

1

2

＝

3－43

10

.

[点评](1)方法一想法简单，但计算麻烦，且需判断sinα的范围，从而得cosα值．这不仅麻烦，而且容易

漏掉，导致错误．方法二注意到了把30°＋α看作整体，先求出cos(30°＋α)＝－

4

5

，再将两式展开，解方程组即

可．比方法一大大简化．而方法三注意到了角之间的关系，α＝(30°＋α)－30°，从而快捷地求出cosα的值，计

算简便但技巧性较强，有一定思维难度．

(2)方法一、方法二都体现了方程思想，方法三体现了变换思想．

跟踪练习2

(2011²襄樊)已知cosα＝

1

7

，cos(α－β)＝

13

14

，且0<β<α<

π

2

.

(1)求tan2α的值；

(2)求角β.

[解析](1)由cosα＝

1

7

，0<α<

π

2

，得

sinα＝1－cos2α＝1－











1

7

2＝

43

7

.

∴tanα＝

sinα

cosα

＝43.

于是tan2α＝

2tanα

1－tan2α

＝

2³43

1－32

＝－

83

47

.

(2)由0<β<α<

π

2

，得0<α－β<

π

2

.

又∵cos(α－β)＝

13

14

，

∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－











13

14

2＝

33

14

.

由β＝α－(α－β)得，

cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝

1

7

³

13

14

＋

43

7

³

33

14

＝

1

2

.

∴β＝

π

3

.

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3.命题方向：给值求解问题

[例3]已知3sin2α＋2sin2β＝1,3sin2α－2sin2β＝0，且α，β都是锐角，求α＋2β的值．

[分析](1)欲求角，应先求其某种三角函数值．

(2)从已知条件找出角α＋2β的范围，确定其值．

[解析]方法一：由3sin2α＋2sin2β＝1，得1－2sin2β＝3sin2α，

即cos2β＝3sin2α.又由3sin2α－2sin2β＝0，

得sin2β＝

3

2

sin2α.

∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝cosα²3sin2α－sinα²

3

2

sin2α

＝3sin2α²cosα－3cosα²sin2α＝0.

又∵0°<α<90°，0°<β<90°，∴0°<α＋2β<270°.

故α＋2β＝90°.

方法二：由3sin2α＋2sin2β＝1得

3sin2α＝cos2β①

又由3sin2α－2sin2β＝0得

3

2

sin2α＝sin2β②

①÷②得tanα＝cot2β.

∵0°<α<90°，∴0°<2β<90°，

∴cot(90°－α)＝cot2β，又0°<90°－α<90°，0°<2β<90°，

∴α＋2β＝90°.

跟踪练习3

已知0<α<

π

2

<β<π，tan

α

2

＝

1

2

，cos(β－α)＝

2

10

.

(1)求sinα的值；

(2)求β的值．

[解析](1)∵tan

α

2

＝

1

2

，

∴sinα＝sin













2²

α

2

＝2sin

α

2

cos

α

2

＝

2sin

α

2

cos

α

2

sin2

α

2

＋cos2

α

2

＝

2tan

α

2

1＋tan2

α

2

＝

2³

1

2

1＋











1

2

2

＝

4

5

.

(2)∵0<α<

π

2

，sinα＝

4

5

，∴cosα＝

3

5

.

又0<α<

π

2

<β<π，∴0<β－α<π.

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由cos(β－α)＝

2

10

，得0<β－α<

π

2

.

∴sin(β－α)＝

98

10

＝

72

10

，

∴sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝

72

10

³

3

5

＋

2

10

³

4

5

＝

252

50

＝

2

2

.

由

π

2

<β<π得β＝

3

4

π.

(或求cosβ＝－

2

2

，得β＝

3

4

π)．

（五）思想方法点拨

理解和运用两角和与差的三角函数公式需注意的几个问题：

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系．

①掌握好公式的内在联系及其推导线索，能帮助我们理解和记忆公式，是学好这部分内容的关键

②诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特殊情况．α、β中若有为

π

2

的整数倍角时，使用诱导公式更灵活、

简便．

2．公式的逆用及有关变形

tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；

sinα±cosα＝2sin













α±

π

4

.

3．角的变换

α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)．

注意：在公式T(α±β)中，α、β、α±β必须使等式两端均有意义，即α、β、α±β都不能取

π

2

＋2kπ(k∈

Z)．否则，利用诱导公式求解．

（六）课后强化作业

一、选择题

1．(2010²新课标文)若cosα＝－

4

5

，α是第三象限的角，则sin(α＋

π

4

)＝()

A．－

72

10

B.

72

10

C．－

2

10

D.

2

10

[答案]A

[解析]本题考查了同角的三角函数关系和两角和的正弦公式，在解题时要注意正确计算各个三角函数的值，题

目定位是中档题．

由题知，cosα＝－

4

5

，α是第三象限的角，所以sinα＝－

3

5

，

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由两角和的正弦公式可得sin(α＋

π

4

)＝sinαcos

π

4

＋cosαsin

π

4

＝(－

3

5

)³

2

2

＋(－

4

5

)³

2

2

＝－

72

10

.

2．(2011²济南模拟)sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于()

A．0B.

1

2

C.

3

2

D．1

[答案]D

[解析]sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝sin15°cos75°＋cos15°sin75°＝sin90°.

3．已知－

π

4

<α<

3π

4

，sin











π

4

－α

＝

5

5

，则sinα＝()

A.

10

10

B.

25

5

C.

5

5

D.

3

3

[答案]A

[解析]∵－

π

4

<α<

3π

4

，∴－

π

2

<

π

4

－α<

π

2

，

又sin











π

4

－α

＝

5

5

，∴cos











π

4

－α

＝

25

5

，

∴sinα＝sin











π

4

－











π

4

－α

＝

10

10

，故选A.

4．已知sinα＝

3

5

，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tanβ的值是()

A．－7B．7C．－

3

4

D.

3

4

[答案]B

[解析]由sinα＝

3

5

，α为第二象限角，得cosα＝－

4

5

，

则tanα＝－

3

4

.

∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝

α＋β－tanα

1＋α＋βα

＝

1＋

3

4

1＋













－

3

4

＝7.

5．已知cos













α－

π

4

＝

1

4

，则sin2α的值为()

A.

31

32

B．－

31

32

C．－

7

8

D.

7

8

[答案]C

[解析]方法1：sin2α＝cos(

π

2

－2α)＝2cos2(α－

π

4

)－1＝－

7

8

，故选C.

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精锐教育网站：-10-精锐教育²考试研究院

方法2：cos(α－

π

4

)＝

2

2

cosα＋

2

2

sinα＝

1

4

两边平方得

1

2

＋

1

2

sin2α＝

1

16

，∴sin2α＝－

7

8

，故选C.

6．已知sinx－siny＝－

2

3

，cosx－cosy＝

2

3

，且x、y为锐角，则tan(x－y)的值是()

A.

214

5

B．－

214

5

C．±

214

5

D．±

514

28

[答案]B

[解析]由已知sinx－siny＝－

2

3

，cosx－cosy＝

2

3

，得









sin2x－2sinxsiny＋sin2y＝

4

9

cos2x－2cosxcosy＋cos2y＝

4

9

，

相加得cos(x－y)＝

5

9

，且x、y均为锐角，

∴sin(x－y)＝

－214

9

，∴tan(x－y)＝－

214

5

，故选B.

7．若α，β∈













0，

π

2

，cos













α－

β

2

＝

3

2

，sin











α

2

－β

＝－

1

2

，则cos(α＋β)的值等于()

A．－

3

2

B．－

1

2

C.

1

2

D.

3

2

[答案]B

[解析]∵sin











α

2

－β

＝－

1

2

，

α

2

－β∈













－

π

2

，

π

4

∴

α

2

－β＝－

π

6

①

∵cos













α－

β

2

＝

3

2

，α，β∈













0，

π

2

，

∴α－

β

2

∈













－

π

4

，

π

2

，∴α－

β

2

＝－

π

6

或

π

6

②

由①②有









α＝

π

3

β＝

π

3

或









α＝－

π

9

β＝

π

9

(舍去)，

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∴cos(α＋β)＝cos

2π

3

＝－

1

2

.

8．在△ABC中，tanA，tanB，tanC依次成等差数列，则B的取值范围是()

A.













0，

π

3

∪











π

2

，

2π

3

B.













0，

π

6

∪











π

2

，

5π

6

C.











π

6

，

π

2

D.











π

3

，

π

2

[答案]D

[解析]由条件知2tanB＝tanA＋tanC(※)

显然B为锐角，若B为钝角，则tanA>0，tanC>0，tanB<0(※)式不成立．

∵tanB＝－tan(A＋C)＝－

tanA＋tanC

1－tanA²tanC

＝－

2tanB

1－tanA²tanC

，且tanB≠0，

∴tanAtanC＝3，

∴(2tanB)2＝(tanA＋tanC)2＝tan2A＋tan2C＋2tanAtanC≥4tanAtanC＝12，因此tan2B≥3，

∵tanB>0，∴tanB≥3，

π

3

≤B<

π

2

，

即B的取值范围是











π

3

，

π

2

，选D.

二、填空题

9．(2011²乐山模拟)已知cosα＝

1

7

，cos(α＋β)＝－

11

14

，α、β∈













0，

π

2

，则β＝________.

[答案]

π

3

[解析]∵α、β∈













0，

π

2

，∴α＋β∈(0，π)，

∴sinα＝

43

7

，sin(α＋β)＝

53

14

，

∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝

1

2

，

∵0<β<

π

2

，∴β＝

π

3

.

10．函数y＝sin













x＋

π

3

sin













x＋

π

2

的最小正周期T＝______.

[答案]π

[解析]解法1：f(x)＝sin













x＋

π

3

sin













x＋

π

2

＝－

1

2











cos













2x＋

5π

6

－cos













－

π

6

＝－

1

2

cos













2x＋

5π

6

＋

3

4

.

∴T＝π.

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解法2：y＝











1

2

sinx＋

3

2

cosxcosx＝

1

4

sin2x＋

3

4

cos2x＋

3

4

＝

1

2

sin













2x＋

π

3

＋

3

4

，

∴T＝π.

11．若cos(α＋β)＝

1

5

，cos(α－β)＝

3

5

，则tanα²tanβ＝________.

[答案]

1

2

[解析]由题意知：









cosαcosβ－sinαsinβ＝

1

5

，

cosαcosβ＋sinαsinβ＝

3

5

，

①

②

①＋②⇒cosαcosβ＝

2

5

，③

②－①⇒sinαsinβ＝

1

5

，④

④

③

得：tanαtanβ＝

1

2

.

三、解答题

12．(2011²北京海淀区模拟)已知tanα＝2.求：

(1)tan













α＋

π

4

的值；

(2)

sin2α＋cos2π－α

1＋cos2α

的值．

[解析](1)∵tan













α＋

π

4

＝

1＋tanα

1－tanα

，且tanα＝2，

∴tan













α＋

π

4

＝

1＋2

1－2

＝－3.

(2)

sin2α＋cos2π－α

1＋cos2α

＝

2sinαcosα＋cos2α

2cos2α

＝

2sinα＋cosα

2cosα

＝tanα＋

1

2

＝

5

2

.

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B

两点．已知A、B的横坐标分别为

2

10

、

25

5

.

(1)求tan(α＋β)的值；

(2)求α＋2β的值．

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[解析]由已知得cosα＝

2

10

，cosβ＝

25

5

.

∵α、β为锐角，∴sinα＝1－cos2α＝

72

10

，

sinβ＝1－cos2β＝

5

5

，

∴tanα＝7，tanβ＝

1

2

.

(1)tan(α＋β)＝

tanα＋tanβ

1－tanαtanβ

＝

7＋

1

2

1－7³

1

2

＝－3.

(2)∵tan2β＝

2tanβ

1－tan2β

＝

2³

1

2

1－











1

2

2

＝

4

3

，

∴tan(α＋2β)＝

tanα＋tan2β

1－tanα²tan2β

＝

7＋

4

3

1－7³

4

3

＝－1.

∵α、β为锐角，0<α＋2β<

3π

2

，∴α＋2β＝

3π

4

.

14．(文)若sinA＝

5

5

，sinB＝

10

10

，且A，B均为钝角，求A＋B的值．

[分析]欲求A＋B，先求A＋B的一个三角函数值，然后再由A、B的范围求得A＋B的值．

[解析]∵A、B均为钝角且sinA＝

5

5

，sinB＝

10

10

，

∴cosA＝－1－sin2A＝－

2

5

＝－

25

5

，

cosB＝－1－sin2B＝－

3

10

＝－

310

10

，

∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝－

25

5

³













－

310

10

－

5

5

³

10

10

＝

2

2

①

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又∵

π

2

π

2

∴π

由①②知A＋B＝

7π

4

.

[点评](1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函

数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是













0，

π

2

，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，

选余弦较好；若角的范围为













－

π

2

，

π

2

，选正弦较好．

(理)已知sin













α－

π

4

＝

72

10

，cos2α－sin2α＝

7

25

，求sinα及tan













α＋

π

3

.

[解析]由题设条件，应用两角差的正弦公式得：

72

10

＝sin













α－

π

4

＝

2

2

(sinα－cosα)，

即sinα－cosα＝

7

5

①

由题设得cos2α－sin2α＝(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝－

7

5

(cosα＋sinα)，

故cosα＋sinα＝－

1

5

②

由①式和②式得：sinα＝

3

5

，cosα＝－

4

5

.

∴tanα＝－

3

4

，

tan













α＋

π

3

＝

tanα＋tan

π

3

1－tanαtan

π

3

＝

－

3

4

＋3

1＋

3

4

³3

＝

43－3

4＋33

＝

48－253

11

.

15．设函数f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为

2π

3

.

(1)求ω的值；

(2)若函数y＝g(x)的图像是由y＝f(x)的图像向右平移

π

2

个单位长度得到的，求y＝g(x)的单调增区间．

[分析]()()2sin(2)2

4

fxfxx



化简得

2

()

3

gx有周期为得的解析式及增区间

[解析](1)f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2sinωxcosωx＋1＋cos2ωx

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＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝2sin(2ωx＋

π

4

)＋2，

依题意得

2π

2ω

＝

2π

3

，故ω的值为

3

2

.

(2)依题意得g(x)＝2sin













3













x－

π

2

＋

π

4

＋2＝2sin













3x－

5π

4

＋2，

由2kπ－

π

2

≤3x－

5π

4

≤2kπ＋

π

2

(k∈Z)，解得

2

3

kπ＋

π

4

≤x≤

2

3

kπ＋

7π

12

(k∈Z)，

故y＝g(x)的单调增区间为











2

3

kπ＋

π

4

，

2

3

kπ＋

7π

12

(k∈Z)．

第六节二倍角的三角函数

（一）高考目标

考纲解读

能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(对半角公式不

要求记忆)．

考向预测

1．灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变换，进而考查三角函数的图像和性质是高考的热点内容．

2．以三角函数为背景、向量为载体考查恒等变形能力以及运用正、余弦定理判定三角形的形状，求三角形的面积等

问题是在知识交汇点处命题的一个热点问题．

3．多以解答题的形式呈现，属中、低档题．

（二）课前自主预习

知识梳理

1．二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2α＝；

cos2α＝＝＝；

tan2α＝

2．升、降幂公式主要用于化简、求值和证明．

其形式为：升幂公式1＋cos2α＝，1－cos2α＝.

降幂公式cos2α=

1cos2

2

a

，sin2α.=

1cos2

2

a

3.辅助角公式

asinα+bcosα=22sin()xab

（三）基础自测

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1．(2011²新乡模拟)函数f(x)＝cos2x＋2sinx的最小值和最大值分别为()

A．－3,1B．－2,2C．－3，

3

2

D．－2，

3

2

[答案]C

[解析]f(x)＝1－2sin2x＋2sinx＝－2













sinx－

1

2

2＋

3

2

，

∴sinx＝

1

2

时，f(x)max＝

3

2

，

sinx＝－1时，f(x)min＝－3，故选C.

2．(2010²福建文)计算1－2sin222.5°的结果等于()

A.

1

2

B.

2

2

C.

3

3

D.

3

2

[答案]B

[解析]本题主要考查二倍角公式

1－2sin2225°＝cos45°＝

2

2

3．(2010²江西理)E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝()

A.

16

27

B.

2

3

C.

3

3

D.

3

4

[答案]D

[解析]如图，设CB＝AC＝1，则AB＝2，又取AB的中点为H，连CH，则CH⊥AB，由题意知EH＝

2

6

，CH＝

2

2

，

得tan∠ECH＝

1

3

.

故tan∠ECF＝tan2∠ECH＝

3

4

，选D.

4.

3－sin70°

2－cos210°

＝()

A.

1

2

B.

2

2

C．2D.

3

2

[答案]C

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[解析]原式＝

3－sin70°

2－

1＋cos20°

2

＝

3－sin70°

3－cos20°

2

＝2²

3－sin70°

3－sin70°

＝2，故选C.

5．(2010²浙江理)函数f(x)＝sin(2x－

π

4

)－22sin2x的最小正周期是________．

[答案]π

[解析]f(x)＝sin(2x－

π

4

)－22sin2x＝sin(2x－

π

4

)－2(1－cos2x)＝sin(2x－

π

4

)＋2cos2x－2

＝sin2xcos

π

4

－cos2xsin

π

4

＋2cos2x－2＝

2

2

sin2x＋

2

2

cos2x－2＝sin(2x＋

π

4

)－2，

所以T＝

2π

ω

＝

2π

2

＝π.

6．化简2＋cos2－sin21的结果是__________．

[答案]3cos1

[解析]原式＝2＋2cos21－1－sin21＝2cos21＋1－sin21＝3cos21＝3cos1.

7．已知函数f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)的最大值、最小值．

[解析](1)f(x)＝cos4x－sin4x－2sinxcosx＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)－sin2x

＝cos2x－sin2x＝2cos













2x＋

π

4

，

∴f(x)的最小正周期T＝

2π

2

＝π.

(2)当cos













2x＋

π

4

＝1时，f(x)max＝2；

当cos













2x＋

π

4

＝－1时，f(x)min＝－2.

（四）、典型例题

1.命题方向：三角函数的化简与求值

[例1]化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－

1

2

cos2αcos2β.

[分析]观察可见：有角的二倍关系，可考虑应用倍角公式；有幂次关系可考虑降幂；函数名称有正弦、余弦，可异名

化同名等等．

[解析]解法1：(从“角”入手，复角化单角)

原式＝sin2α²sin2β＋cos2α²cos2β－

1

2

²(2cos2α－1)(2cos2β－1)

＝sin2α²sin2β＋cos2α²cos2β－

1

2

²(4cos2α²cos2β－2cos2α－2cos2β＋1)

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＝sin2α²sin2β－cos2α²cos2β＋cos2α＋cos2β－

1

2

＝sin2α²sin2β＋cos2α²sin2β＋cos2β－

1

2

＝sin2β＋cos2β－

1

2

＝1－

1

2

＝

1

2

.

解法2：(从“名”入手，异名化同名)

原式＝sin2α²sin2β＋(1－sin2α)²cos2β－

1

2

cos2α²cos2β

＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－

1

2

cos2α²cos2β

＝cos2β－cos2β²













sin2α＋

1

2

cos2α

＝

1＋cos2β

2

－cos2β













sin2α＋

1

2

－2sin2α

＝

1＋cos2β

2

－

1

2

cos2β＝

1

2

.

解法3：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)

原式＝

1－cos2α

2

²

1－cos2β

2

＋

1＋cos2α

2

²

1＋cos2β

2

－

1

2

cos2α²cos2β

＝

1

4

(1＋cos2α²cos2β－cos2α－cos2β)＋

1

4

(1＋cos2α²cos2β＋cos2α＋cos2β)－

1

2

²cos2α²cos2β

＝

1

4

＋

1

4

＝

1

2

.

[点评]对一个题目的解题方法，由于侧重角度不同，出发点不同，化简的方法也不惟一．对于三角函数式化简的目

标是：(1)次数尽可能低；(2)角尽可能少；(3)三角函数名称尽可能统一；(4)项数尽可能少．

跟踪练习1

计算：cos

2π

7

²cos

4π

7

²cos

6π

7

.

[分析]构造运用二倍角公式，由诱导公式、恒等式求解．

[解析]cos

2π

7

²cos

4π

7

²cos

6π

7

＝

2sin

2π

7

·cos

2π

7

·cos

4π

7

·cos

6π

7

2sin

2π

7

＝

sin

4π

7

cos

4π

7

cos

6π

7

2sin

2π

7

＝

sin

8π

7

cos

6π

7

4sin

2π

7

＝













－sin

π

7











－cos

π

7

4sin

2π

7

＝

sin

2π

7

8sin

2π

7

＝

1

8

.

2.命题方向：三角函数式的证明

[例2](1)求证

3－4cos2A＋cos4A

3＋4cos2A＋cos4A

＝tan4A.

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(2)已知：sinβ＝m²sin(2α＋β)，其中m≠0,2α＋β≠kπ(k∈Z)．求证：tan(α＋β)＝

1＋m

1－m

tanα(m≠1)．

[分析]对(1)容易看出，左边较右边复杂，因此应从左边入手，化4A为2A，再化2A为A，然后将弦化为切．

(2)是一个条件等式的证明，应仔细观察条件与结论的差异，从解决差异入手，结论中为α＋β与α的函数，而已知

是β与2α＋β的函数，将β，2α＋β用α＋β，α表示是解决本题的正确方向．

[解析](1)左边＝

3－4cos2A＋2cos22A－1

3＋4cos2A＋2cos22A－1

＝











1－cos2A

1＋cos2A

2＝











2sin2A

2cos2A

2＝tan4A＝右边．

∴等式成立．

(2)由β＝(α＋β)－α，2α＋β＝(α＋β)＋α得sin[(α＋β)－α]＝m²sin[(α＋β)＋α]，

即sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝m[sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα]，

即(1－m)sin(α＋β)cosα＝(1＋m)cos(α＋β)sinα

跟踪练习2

求证：

cos2α

1

tan

α

2

－tan

α

2

＝

1

4

sin2α.

[证明]左边＝

cos2α

1－tan2

α

2

tan

α

2

＝

tan

α

2

1－tan2

α

2

²cos2α＝

1

2

tanα²cos2α＝

1

2

sinα

cosα

²cos2α

＝

1

2

sinαcosα＝

1

4

sin2α＝右边．

所以原等式得证.

3.命题方向：辅助角公式的考查

[例3](2010²浙江文)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足

S＝

3

4

(a2＋b2－c2)．

(1)求角C的大小；

(2)求sinA＋sinB的最大值．

[分析]本题考查了余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查了三角运算能力

[解析](1)由题意可知，

1

2

absinC＝

3

4

²2abcosC，

∴tanC＝3，

又∵0

π

3

.

(2)由已知sinA＋sinB＝sinA＋sin(π－C－A)

＝sinA＋sin(

2π

3

－A)＝sinA＋

3

2

cosA＋

1

2

sinA＝

3

2

sinA＋

3

2

cosA＝3sin(A＋

π

6

)≤3.

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当且仅当A＋

π

6

＝

π

2

，即A＝

π

3

时取等号．

即当△ABC为正三角形时取等号，

∴sinA＋sinB的最大值是3.

3

2

sinA＋

3

2

cosA＝3sin(A＋

π

6

)≤3.

跟踪练习3

已知函数f(x)＝sin













ωx＋

π

6

＋sin













ωx－

π

6

－2cos2

ωx

2

，x∈R(其中ω>0)．

(1)求函数f(x)的值域；

(2)若对任意的a∈R，函数y＝f(x)，x∈(a，a＋π]的图像与直线y＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值，

并求函数y＝f(x)，x∈R的单调增区间．

[解析](1)f(x)＝

3

2

sinωx＋

1

2

cosωx＋

3

2

sinωx－

1

2

cosωx－(cosωx＋1)

＝2











3

2

sinωx－

1

2

cosωx－1＝2sin













ωx－

π

6

－1.

由－1≤sin













ωx－

π

6

≤1，

得－3≤2sin













ωx－

π

6

－1≤1.

可知函数f(x)的值域为[－3,1]．

(2)由题设条件及三角函数图像和性质可知，y＝f(x)的周期为π，又由ω>0，得

2π

ω

＝π.即得ω＝2.

于是有f(x)＝2sin













2x－

π

6

－1，

再由2kπ－

π

2

≤2x－

π

6

≤2kπ＋

π

2

(k∈Z)，

解得kπ－

π

6

≤x≤kπ＋

π

3

(k∈Z)．

所以y＝f(x)的单调增区间为













kπ－

π

6

，kπ＋

π

3

(k∈Z)．

（五）思想方法点拨

1．三角函数式的化简

(1)化简的要求

①能求出值的应求出值；

②尽量使三角函数种数最少；

③尽量使项数最少；

④尽量使分母不含三角函数；

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⑤尽量使被开方数不含三角函数．

(2)化简的思路

对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根

式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法．

(3)化简的方法

弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂等．

2．三角恒等式的证明

①证明三角恒等式的方法：

观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，确定从该等式的哪边证明

(也可两边同时化简)，当从解决差异方面不易入手时，可采用转换命题法或用分析法等．

②证明三角条件等式的方法

首先观察条件与结论的差异，从解决这一差异入手，确定从结论开始，通过变换，将已知表达式代入得出结论，或通

过变换已知条件得出结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果已知条件含参数，可采用消去参数法；

如果已知条件是连比的式子，可采用换元法等等．

3．辅助角公式

asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中









cosφ＝

a

a2＋b2

sinφ＝

b

a2＋b2

tanφ＝

b

a

.

φ的终边所在的象限由a，b的符号来确定，角φ称为辅助角．

（六）课后强化作业

一、选择题

1．(2010²全国卷Ⅱ)已知sinα＝

2

3

，则cos(π－2α)＝()

A．－

5

3

B．－

1

9

C.

1

9

D.

5

3

[答案]B

[解析]本题考查了诱导公式、三角恒等变形及倍半角公式的应用．

由诱导公式得cos(π－2α)＝－cos2α，

∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2³

4

9

＝

1

9

，

∴cos(π－2α)＝－

1

9

.

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2．函数f(x)＝sin2x＋3sinxcosx在区间[

π

4

，

π

2

]上的最大值是()

A．1B.

1＋3

2

C.

3

2

D．1＋3

[答案]C

[解析]f(x)＝

1－cos2x

2

＋

3

2

sin2x＝sin













2x－

π

6

＋

1

2

，

又x∈











π

4

，

π

2

，∴2x－

π

6

∈











π

3

，

5π

6

，

f(x)max＝1＋

1

2

＝

3

2

，故选C.

3．已知tan2α＝－22，且满足

π

4

<α<

π

2

，则

2cos2

α

2

－sinα－1

2sin











π

4

＋α

的值为()

A.2B．－2C．－3＋22D．3－22

[答案]C

[解析]

2cos2

α

2

－sinα－1

2

π

4

＋α

＝

cosα－sinα

sinα＋cosα

＝

1－tanα

tanα＋1

.

又tan2α＝－22＝

2tanα

1－tan2α

∴22tan2α－2tanα－22＝0.解得tanα＝－

2

2

或2.

又

π

4

<α<

π

2

，∴tanα＝2.

原式＝

1－2

2＋1

＝－3＋22.故选C.

4．(2010²新课标理)若cosα＝－

4

5

，α是第三象限的角，则

1＋tan

α

2

1－tan

α

2

＝()

A．－

1

2

B.

1

2

C．2D．－2

[答案]A

[解析]本题综合考查了同角三角函数的基本公式以及二倍角公式的逆运用．

∵cosα＝－

4

5

且α是第三象限的角，∴sinα＝－

3

5

，

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∴

1＋tan

α

2

1－tan

α

2

＝

cos

α

2

＋sin

α

2

cos

α

2

cos

α

2

－sin

α

2

cos

α

2

＝

cos

α

2

＋sin

α

2

cos

α

2

－sin

α

2

＝













cos

α

2

＋sin

α

2

2













cos

α

2

－sin

α

2











cos

α

2

＋sin

α

2

＝

1＋sinα

cos2

α

2

－sin2

α

2

＝

1＋sinα

cosα

＝

1－

3

5

－

4

5

＝－

1

2

，故选A.

5．已知sinα＝

3

5

，且α∈











π

2

，π

，则

sin2α

cos2α

的值为()

A．－

3

4

B．－

3

2

C.

3

4

D.

3

2

[答案]B

[解析]∵sinα＝

3

5

，α∈











π

2

，π

，∴cosα＝－

4

5

，

∴

sin2α

cos2α

＝

2sinαcosα

cos2α

＝

2sinα

cosα

＝

2³

3

5

－

4

5

＝－

3

2

.

6．函数f(x)＝(3sinx－4cosx)²cosx的最大值为()

A．5B.

9

2

C.

1

2

D.

5

2

[答案]C

[解析]f(x)＝(3sinx－4cosx)cosx＝3sinxcosx－4cos2x＝

3

2

sin2x－2cos2x－2＝

5

2

sin(2x－θ)－2，

其中tanθ＝

4

3

，

所以f(x)的最大值是

5

2

－2＝

1

2

.故选C.

7.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是()

A．4cos4－2sin4B．2sin4C．2sin4－4cos4D．－2sin4

[答案]C

[解析]2＋2cos8＋21－sin8＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|，

∵π<4<

5π

4

，∴cos4

∴原式＝－2cos4＋2(sin4－cos4)＝2sin4－4cos4.故选C.

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8．设5π<θ<6π，cos

θ

2

＝a，则sin

θ

4

等于()

A.

1＋a

2

B.

1－a

2

C．－

1＋a

2

D．－

1－a

2

[答案]D

[解析]∵5π<θ<6π，∴

5π

4

<

θ

4

<

3π

2

，∴sin

θ

4

<0，

∵a＝cos

θ

2

＝1－2sin2

θ

4

，

∴sin

θ

4

＝－

1－a

2

.

二、填空题

9．设a＝

1

2

cos6°－

3

2

sin6°，b＝

2tan13°

1＋tan213°

，c＝

1－cos50°

2

，则a、b、c的大小关系为______(由小到

大排列)．

[答案]a

[解析]a＝sin24°，b＝sin26°，c＝sin25°，

∵y＝sinx在(0°，90°)上单增，∴a

10．已知

π

2

<α<π，化简

1

2

－

1

2

1

2

－

1

2

cos2α＝________.

[答案]sin











α

2

－

π

4

[解析]原式＝

1

2

－

1

2

|sinα|＝

1

2

－

1

2

sinα＝

α

2

－cos

α

2

2

2

＝

2

2











sin

α

2

－cos

α

2

＝sin











α

2

－

π

4

.

11．若sinα²cosβ＝

1

2

，则cosα²sinβ的取值范围是________．

[答案]













－

1

2

，

1

2

[解析]解法一：设t＝cosα²sinβ，

又sinα²cosβ＝

1

2

，∴sinα²cosβ²sinβ²cosα＝

1

2

t，

即sin2α²sin2β＝2t，|sin2α²sin2β|≤1.

∴2|t|≤1，即－

1

2

≤t≤

1

2

.

∴cosα²sinβ的取值范围是













－

1

2

，

1

2

.

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解法二：由sinα²cosβ＝

1

2

知sin2α²cos2β＝

1

4

.

则cos2α²sin2β＝(1－sin2α)(1－cos2β)＝1－(sin2α＋cos2β)＋sin2αcos2β＝

5

4

－(sin2α＋cos2β)

≤

5

4

－2sin2αcos2β＝

1

4

，所以－

1

2

≤cosα²sinβ≤

1

2

.

三、解答题

12．已知函数f(x)＝asinx²cosx－3acos2x＋

3

2

a＋b.(a>0)

(1)x∈R，写出函数的单调递减区间；

(2)设x∈[0，

π

2

]，f(x)的最小值是－2，最大值是3，求实数a，b的值．

[解析](1)f(x)＝a(sinx²cosx－3cos2x＋

3

2

)＋b＝a³(

1

2

sin2x－3³

1＋cos2x

2

＋

3

2

)＋b

＝a²sin(2x－

π

3

)＋b

∵a>0，x∈R，∴由2kπ＋

π

2

≤2x－

π

3

≤2kπ＋

3π

2

(k∈Z)

得，f(x)的递减区间是[kπ＋

5

12

π，kπ＋

11

12

π](k∈Z)

(2)∵x∈[0，

π

2

]，∴2x－

π

3

∈[－

π

3

，

2π

3

]

∴sin(2x－

π

3

)∈[－

3

2

，1]

∴函数f(x)的最小值是－

3

2

a＋b＝－2

最大值a＋b＝3，解得a＝2，b＝3－2.

13．在△ABC中，已知a²cos2

C

2

＋c²cos2

A

2

＝

3

2

b.

(1)求证：a、b、c成等差数列；

(2)求角B的范围．

[解析](1)由条件得a²

1＋cosC

2

＋c²

1＋cosA

2

＝

3

2

b.

∴a＋c＋(acosC＋ccosA)＝3b.

∴a＋c＋a²

a2＋b2－c2

2ab

＋c²

b2＋c2－a2

2bc

＝3b，

∴a＋c＝2b，即a、b、c成等差数列．

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(2)cosB＝

a2＋c2－b2

2ac

＝

a2＋c2－











a＋c

2

2

2ac

＝

a2＋c2－2ac

8ac

≥

3²2ac－2ac

8ac

＝

1

2

.

∵B∈(0，π)，∴0

π

3

.

14．(2010²天津理)已知函数f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．

(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

(2)若f(x0)＝

6

5

，x0∈[

π

4

，

π

2

]，求cos2x0的值．

[分析]本题主要考查二倍角的正弦、余弦、两角和的正弦、函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质，同角三角函数的

基本关系，两角差的余弦等基础知识，考查基本能力．一般思路先整理、化简f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式．

[解析]由f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1，得

f(x)＝3(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝3sin2x＋cos2x＝2sin













2x＋

π

6

.

所以函数f(x)的最小正周期为π.

因为f(x)＝2sin













2x＋

π

6

在区间













0，

π

6

上为增函数，在区间











π

6

，

π

2

上为减函数，

又f(0)＝1，f











π

6

＝2，f











π

2

＝－1，所以函数f(x)在区间













0，

π

2

上的最大值为2，最小值为－1.

(2)由(1)可知f(x0)＝2sin













2x0＋

π

6

.

又因为f(x0)＝

6

5

，所以sin













2x0＋

π

6

＝

3

5

.

由x0∈











π

4

，

π

2

，得2x0＋

π

6

∈











2π

3

，

7π

6

，

从而cos













2x0＋

π

6

＝－1－sin2











2x0＋

π

6

＝－

4

5

.

所以cos2x0＝cos

























2x0＋

π

6

－

π

6

＝cos













2x0＋

π

6

cos

π

6

＋sin













2x0＋

π

6

sin

π

6

＝

3－43

10

.

15．已知向量a＝(cosx＋2sinx，sinx)，b＝(cosx－sinx,2cosx)．设函数f(x)＝a²b＋

1

2

.

(1)求函数f(x)的单调递减区间；

(2)若函数y＝f(x＋φ)为偶函数，试求符合题意的φ的值．

[分析]写出y＝f(x)的表达式是解题的关键．对于(1)，结合题意，利用数量积的坐标运算及三角变换公式得

到函数y＝f(x)的表达式，进而求出函数的单调减区间；对于(2)，函数y＝f(x＋φ)为偶函数的实质就是求y轴是函

数y＝f(x＋φ)的一条对称轴．考虑到y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋

π

2

(k∈Z)，故可利用整体思想来解决．

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[解析](1)由已知可得f(x)＝(cosx＋2sinx)(cosx－sinx)＋2sinxcosx＋

1

2

＝cos2x－sinxcosx＋2sinxcosx－2sin2x＋2sinxcosx＋

1

2

＝cos2x＋3sinxcosx－2sin2x＋

1

2

＝

1

2

(1＋cos2x)＋

3

2

sin2x＋(cos2x－1)＋

1

2

＝

3

2

(sin2x＋cos2x)＝

32

2

sin













2x＋

π

4

.

由2kπ＋

π

2

<2x＋

π

4

<2kπ＋

3π

2

(k∈Z)得：kπ＋

π

8

5π

8

(k∈Z)，

所以函数f(x)的单调递减区间为













kπ＋

π

8

，kπ＋

5π

8

(k∈Z)．

(2)由(1)知y＝f(x＋φ)＝

32

2

sin









