相对误差公式

1

标准偏差

相对标准方差的计算公式

准确度：测定值与真实值符合的程度

绝对误差：测量值（或多次测定的平均值）与真（实）值之差称为绝

对误差，用δ表示。

相对误差：绝对误差与真值的比值称为相对误差。常用百分数表示。

绝对误差可正可负，可以表明测量仪器的准确度，但不能反映误

差在测量值中所占比例，相对误差反映测量误差在测量结果中所占的

比例，衡量相对误差更有意义。

2

例：用刻度0.5cm的尺测量长度，可以读准到0.1cm，该尺测量

的绝对误差为0.1cm；用刻度1mm的尺测量长度，可以读准到0.1mm，

该尺测量的绝对误差为0.1mm。

例：分析天平称量误差为0.1mg,减重法需称2次，可能的最大

误差为0.2mg,为使称量相对误差小于0.1%，至少应称量多少样品？

答：称量样品量应不小于0.2g。

真值（μ）：真值是客观存在的，但任何测量都存在误差，故真值只

能逼近而不可测知，实际工作中，往往用“标准值”代替“真值”。

标准值：采用多种可靠的分析方法、由具有丰富经验的分析人员经过

反复多次测定得出的结果平均值。

精密度：几次平行测定结果相互接近的程度。

各次测定结果越接近，精密度越高，用偏差衡量精密度。

偏差：单次测量值与样本平均值之差：

平均偏差：各次测量偏差绝对值的平均值。

相对平均偏差：平均偏差与平均值的比值。

标准偏差：各次测量偏差的平方和平均值再开方，比平均偏差更灵敏

的反映较大偏差的存在，在统计学上更有意义。

相对标准偏差（变异系数）

例：分析铁矿石中铁的质量分数，得到如下数据：37.45，37.20，

3

37.50，37.30，37.25（%），计算测结果的平均值、平均偏差、相对

平均偏差、标准偏差、变异系数。

准确度与精密度的关系：

1）精密度是保证准确度的先决条件：精密度不符合要求，表示

所测结果不可靠，失去衡量准确度的前提。

2）精密度高不能保证准确度高。

换言之，准确的实验一定是精密的，精密的实验不一定是准确的。

重复性试验按拟定的含量测定方法，对同一批样品进行多次测定(平

行试验至少5次以上，即n>5)，计算相对标准偏差(RSD)，一般

要求低于5%

4

数学表达式：

S-标准偏差（%）

n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个

i-物料中某成分的各次测量值，1～n；

标准偏差的使用方法

六个计算标准偏差的公式[1]

标准偏差的理论计算公式

设对真值为X的某量进行一组等精度测量,其测得值为l

1、l2、……ln。令测得值l与该量真

值X之差为真差占σ,则有σ

1=li−X

σ2=l2−X

……

σn=ln−X

我们定义标准偏差(也称标准差)σ为

5

（1）

由于真值X都是不可知的,因此真差σ占也就无法求得,故式只有理论意义而无实用价值。

标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式

由于真值是不可知的,在实际应用中,我们常用n次测量的算术平均值

来代表真值。理论上也证明,随着测量次数的增多,算

术平均值最接近真值,当时,算术平均值就是真值。

于是我们用测得值l

i与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）Vi来代替真差σ,即

设一组等精度测量值为l

1、l2、……ln

则

……

通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为

将上式代入式(1)有

6

(2)

式(2)就是著名的贝塞尔公式(Besl)。

它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当时，

,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。

应该指出,在n有限时,用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。它不是总体标

准偏差σ。因此,我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。为了强调这一点,我们将σ的估计值用“S”

表示。于是,将式(2)改写为

(2')

在求S时,为免去求算术平均值的麻烦,经数学推导(过程从略)有

于是,式(2')可写为

(2")

按式(2")求S时,只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺,即

可。

标准偏差σ的无偏估计

7

数理统计中定义S2为样本方差

数学上已经证明S2是总体方差σ2的无偏估计。即在大量重复试验中,S2围绕σ2散布,它们之

间没有系统误差。而式(2')在n有限时,S并不是总体标准偏差σ的无偏估计,也就是说S和σ之间

存在系统误差。概率统计告诉我们,对于服从正态分布的正态总体,总体标准偏差σ的无偏估计

值为

(3)

令

则

即S

1和S仅相差一个系数Kσ,Kσ是与样本个数测量次数有关的一个系数,Kσ值见表。

计算K

σ时用到

Γ(n+1)=nΓ(n)

Γ(1)=1

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由表1知,当n>30时,。因此,当n>30时,式(3')和式(2')之间的

差异可略而不计。在n=30～50时,最宜用贝塞尔公式求标准偏差。当n<10时,由于K

σ值的影

响已不可忽略,宜用式(3'),求标准偏差。这时再用贝塞尔公式显然是不妥的。

标准偏差的最大似然估计

将σ的定义式(1)中的真值X用算术平均值代替且当n有限时就得到

(4)

式(4)适用于n>50时的情况,当n>50时,n和(n-1)对计算结果的影响就很小了。

2.5标准偏差σ的极差估计由于以上几个标准偏差的计算公式计算量较大,不宜现场采用,

而极差估计的方法则有运算简便,计算量小宜于现场采用的特点。

极差用"R"表示。所谓极差就是从正态总体中随机抽取的n个样本测得值中的最大值与最小

值之差。

若对某量作次等精度测量测得l

1、，且它们服从正态分布,则

R=lmax−lmin

概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为

(5)

S3称为标准偏差σ的无偏极差估计,d2为与样本个数n(测得值个数)有关的无偏极差系数,其

值见表2

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由表2知,当n≤15时,,因此,标准偏差σ更粗略的估计值为

(5')

还可以看出,当200≤n≤1000时，因而又有

(5")

显然,不需查表利用式(5')和(5")了即可对标准偏差值作出快速估计,用以对用贝塞尔公式

及其他公式的计算结果进行校核。

应指出,式(5)的准确度比用其他公式的准确度要低,但当5≤n≤15时,式(5)不仅大大提高了计

算速度,而且还颇为准确。当n>10时,由于舍去数据信息较多,因此误差较大,为了提高准确度,

10

这时应将测得值分成四个或五个一组,先求出各组的极差R

1、,再由各组极差求出

极差平均值。

极差平均值和总体标准偏差的关系为

需指出,此时d

2大小要用每组的数据个数n而不是用数据总数N(=nK)去查表2。再则,分组

时一定要按测得值的先后顺序排列,不能打乱或颠倒。

标准偏差σ的平均误差估计

平均误差的定义为

误差理论给出

(A)

可以证明与的关系为

(证明从略)

11

于是(B)

由式(A)和式(B)得

从而有

式(6)就是佩特斯(.1856)公式。用该公式估计δ值,由于right|Vright|不需平方,

故计算较为简便。但该式的准确度不如贝塞尔公式。该式使用条件与贝塞尔公式相似。

标准偏差的应用实例[1]

对标称值Ra=0.160$\mu m$ 的一块粗糙度样块进行检定,顺次测得以下15个$$

数据:1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64,1.74和1.63μm,试求该

样块Rn的平均值和标准偏差并判断其合格否。

解：1)先求平均值

12

2)再求标准偏差S

若用无偏极差估计公式式(5)计算,首先将测得的,15个数据按原顺序分为三组,每组五个,

见表3。

表3

组号l_1l_5R

11.481.651.601.671.520.19

21.461.721.691.771.640.31

31.561.501.641.741.630.24

因每组为5个数据,按n=5由表2查得

故

若按常用估计即贝塞尔公式式(2'),则

若按无偏估计公式即式(3')计算,因n=15，由表1查得K

δ=1.018,则

若按最大似然估计公式即式(4')计算,则

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=0.09296($\mu m$ )$$

若按平均误差估计公式即式(6),则

现在用式(5')对以上计算进行校核

可见以上算得的S、S

1、S2、S3和S4没有粗大误差。

由以上计算结果可知0.09296<0.0962<0.0979<0.1017<0.1062

即S

2

可见,最大似然估计值最小,常用估计值S稍大,无偏估计值S

1又大,平均误差估计值S4再

大,极差估计值S

3最大。纵观这几个值,它们相当接近,最大差值仅为0.01324μm。从理论上讲,

用无偏估计值和常用估计比较合适,在本例中,它们仅相差0.0017μm。可以相信,随着的增大,

S、S1、S2、S3和S4之间的差别会越来越小。

就本例而言,无偏极差估计值S

3和无偏估计值S1仅相差0.0083μm,这说明无偏极差估计是

既可以保证一定准确度计算又简便的一种好方法。

JJG102-89《表面粗糙度比较样块》规定Ra的平均值对其标称值的偏离不应超过+12%～17%,

标准偏差应在标称值的4%～12%之间。已得本样块二

产,产均在规定范围之内,故该样块合格。

标准偏差与标准差的区别

14

标准差(StandardDeviation)各数据偏离平均数的距离（离均差）的平均数，它是离差平方

和平均后的方根。用σ表示。因此，标准差也是一种平均数。标准差是方差的算术平方根。标

准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。

例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、

45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但A组的标准差为17.08

分，B组的标准差为2.16分，说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。

标准偏差(StdDev,StandardDeviation)-统计学名词。一种量度数据分布的分散程度之标

准，用以衡量数据值偏离算术平均值的程度。标准偏差越小，这些值偏离平均值就越少，反之亦

然。标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量。

有人经常混用均方根误差（

RMSE

）与标准差（

StandardDeviation

），实际上

二者并不是一回事。

1.

均方根误差

均方根误差为了说明样本的离散程度。

均方根误差（

root-mean-squareerror

）亦称标准误差，其定义为，

i

＝

1

，

2

，

3

，

…n

。在有限测量次数中，均方根误差常用下式表示：，

式中，

n

为测量次数；

d

i为一组测量值与平均值的偏差。如果误差统计分布是正

态分布，那么随机误差落在土

σ

以内的概率为

68

％。

2.

标准差

标准差是方差的算术平方根。

标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。

标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差。

均方根值也称作为效值，它的计算方法是先平方、再平均、然后开方。比如幅度为100V而

占空比为0.5的方波信号，如果按平均值计算，它的电压只有50V，而按均方根值计算则有

70.71V。这是为什么呢？举一个例子，有一组100伏的电池组，每次供电10分钟之后停

10分钟，也就是说占空比为一半。如果这组电池带动的是10Ω电阻，供电的10分钟产生

10A的电流和1000W的功率，停电时电流和功率为零。

那么在20分钟的一个周期内其平均功率为500W，这相当于70.71V的直流电向10Ω电阻

供电所产生的功率。而50V直流电压向10Ω电阻供电只能产生的250W的功率。对于电机

与变压器而言，只要均方根电流不超过额定电流，即使在一定时间内过载，也不会烧坏。

PMTS1.0抽油机电能图测试仪对电流、电压与功率的测试计算都是按有效值进行的，不会

因为电流电压波形畸变而测不准。这一点对于测试变频器拖动的电机特别有用。

均方根误差为了说明样本的离散程度。

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对于N1,....Nm,设N=(N1+...+Nm)/m;则均方根误差记作：

t=sqrt(((N^2-N1^2)+...+(N^2-Nm^2))/(m(m-1)))；

比如两组样本：

第一组有以下三个样本：3，4，5

第二组有一下三个样本：2，4，6

这两组的平均值都是4，但是第一组的三个数值相对更靠近平均值，也就是离散程度小，均

方差就是表示这个的。

同样，方差、标准差(方差开根,因为单位不统一)都是表示数据的离散程度的。

几种典型平均值的求法

（1）算术平均值这种平均值最常用。设x1、x2、…、xn为各次的测量值，n代表测

量次数，则算术平均值为

（2）均方根平均值

（3）几何平均值

（4）对数平均值

（5）加权平均值

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