根号4等于

二次根式的运算

编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨

一、目标认知

1.学习目标

(1)理解二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质及二次根式的除法法则和商的算

术平方根的性

质，并能利用它们进行计算和化简；

(2)了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简；

(3)理解同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简

单的二次根式加

减运算；

(4)会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.

2.重点

(1)理解，及利用它们进

行计算和化

简；

(2)理解，及利用它们进行计算和

化简；

(3)最简二次根式的运用；

(4)合并同类二次根式；

(5)二次根式的混合运算.

3.难点

(1)发现规律，归纳出二次根式的乘除法则；

(2)会判定一个二次根式是否是最简二次根式，及二次根式的化简．

二、知识要点梳理

知识点一：二次根式的乘法

法则：，即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开

方数相乘.

要点诠释：

(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；

(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)

(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：

(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.

知识点二、积的算术平方根的性质

，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.

要点诠释：

(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须

满足才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意

义，等式也就不能成立了；

(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.

知识点三、二次根式的除法

法则：，即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相

除.

要点诠释：

(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，

其中，因为b在分母上，故b不能为0.

(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化

简，最后结果中分母不能带根号.

知识点四、商的算术平方根的性质

，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算

术平方根.

要点诠释：

运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.

知识点五：最简二次根式

1.定义：当二次根式满足以下两条：

(1)被开方数不含分母；

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

我们把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，最后的

结果必须化为最简二次根式或有理式.

要点诠释：

(1)最简二次根式中被开方数不含分母；

(2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2，即每个因数或因

式从次数只能

为1次.

2.把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：

(1)把根号下的代分数或绝对值大于1的数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分

数；

(2)被开方数是多项式的要进行因式分解；

(3)使被开方数不含分母；

(4)将被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算术平方根代替后移到根号外；

(5)化去分母中的根号；

(6)约分.

知识点六、同类二次根式

1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式

就叫做同类二次根式.

要点诠释：

(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再

看被开方数是否

相同；

(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因

式无关.

2.合并同类二次根式

合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方

法与整式加减运算中的合并同类项类似)

要点诠释：

(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；

(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式；

(3)不是同类二次根式，不能合并.

知识点七、二次根式的加减

二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，

再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.

在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法

则仍然适用.

二次根式加减运算的步骤：

(1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；

(2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；

(3)合并同类二次根式.

知识点八、二次根式的混合运算

二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.

要点诠释：

(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，

有括号要先算

括号里面的；

(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；

(3)二次根式混合运算的结果应写成最简形式，这个形式应是最简二次根式，或几个非

同类最简二次根

式之和或差，或是有理式.

三、规律方法指导

二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减.

(1)二次根式的乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是：

；；

(2)二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式.通常应先将二次根式

化简，再把同类二次根式合并.

二次根式运算的结果应尽可能化简.

经典例题透析

类型一、二次根式的乘除运算

1、计算

(1)×；(2)×；(3)×；(4)×.

思路点拨：直接利用计算即可．

解：(1)×=；(2)×==；

(3)×==9；(4)×=

=.

2、计算：(1)；(2)；(3)；(4).

思路点拨：直接利用便可直接得出答案．

解：(1)===2；

(2)==×2=2；

(3)===2；

(4)===2.

3、化简

(1)；(2)；(3)；(4)；(5).

思路点拨：利用直接化简即可．

解：(1)=×=3×4=12；

(2)=×=4×9=36；

(3)=×=9×10=90；

(4)=×=××=3xy；

(5)==×=3.

举一反三

【变式1】判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

(1)；

(2)×=4××=4×=4=8.

解：(1)不正确．

改正：=＝×=2×3=6；

(2)不正确．

改正：×=×===＝4.

4、化简：

(1)；(2)；(3)；(4).

思路点拨：直接利用就可以达到化简之目的．

解：(1)=；(2)=；

(3)=；(4)=.

举一反三

【变式1】已知，且x为偶数，求(1+x)的值．

思路点拨：式子=，只有a≥0，b＞0时才能成立．

因此得到9-x≥0且x-6＞0，即6＜x≤9，又因为x为偶数，所以x=8．

解：由题意得，即

∴6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8

∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=

∴当x=8时，原式的值==6．

5、计算

(1)·(-)÷(m＞0，n＞0)；

(2)-3÷()×(a＞0).

解：(1)原式=-÷=-=

=-；

(2)原式=-2=-2=-a.

类型二、最简二次根式的判别

6、下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由.

(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).

思路点拨：判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两

个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中

任何一条的二次根式都不是最简二次根式.

解：和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：

的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；和的被开方数中

都含有分母；

和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.

总结升华：对于最简二次根式的判断，一定要把握其实质，既要注意其中的“似是而非”，

还要注意其中的“似非而是”，特别象这样的式子，带有很大的隐蔽性，更应格外小

心.

7、把下列各式化成最简二次根式.

(1)；(2)；(3)；(4)；(5)

思路点拨：把被开方数分解因数或分解因式，再利用积的算术平方根的性质及

进行化简.

解：(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5).

类型三、同类二次根式

8、如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、

b的值是()

A.a=2，b=1B.a=1，b=2C.a=1，b=-1D.a=1，b=1

思路点拨：根据同类二次根式的识别方法，在最简二次根式的前提下，被开方数相同.

解：根据题意，得

解之，得，故选D.

总结升华：同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方数相同；由此

可以得到关于a、b的二元一次方程组，此类问题都可如此.

举一反三

【变式1】下列根式中，能够与合并的是()

A.B.C.D.

思路点拨：首先要把不是最简二次根式的化成最简二次根式，然后比较它们的被开方数

是否相同，如果相同，就能进行合并，反之，则不能合并.

解：

合并，故选B.

总结升华：同类二次根式的判断，关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式.

【变式2】若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b

的值．

思路点拨：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•

事实上，根式不是最简二次根式，因此把

化简成

|b|·，才由同类二次根式的定义得3a-b=•2，2a-b+6=4a+3b．

解：首先把根式化为最简二次根式：

==|b|·

由题意得，∴，∴a=1，b=1.

类型四、二次根式的加减运算

9、计算

(1)+(2)-

思路点拨：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最

简二次根式进行合并．

解：(1)+=2+3=(2+3)=5

(2)-=4-8=(4-8)=-4

总结升华：一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并.

举一反三

【变式1】计算

(1)3-9+3；(2)(+)+(-)；

(3)；(4).

解：(1)3-9+3=12-3+6=(12-3+6)=15；

(2)(+)+(-)=++-=4+2+2-

=6+；

(3)

(4)

【变式2】已知≈2.236，求(-)-(+)的值．(结果精确到0.01)

解：原式=4---=≈×2.236≈0.45.

类型五、二次根式的混合运算

10、计算:

(1)(+)×；(2)(4-3)÷2.

思路点拨：二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．

解：(1)(+)×=×+×=+=3+2；

(2)(4-3)÷2=4÷2-3÷2=2-.

11、计算

(1)(+6)(3-)；(2)(+)(-).

思路点拨：二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．

解：(1)(+6)(3-)=3-()2+18-6=13-3；

(2)(+)(-)=()2-()2=10-7=3.

类型六、化简求值

12、已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求(+y2)-(x2-5x)的值．

思路点拨：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0，

即x=，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同

类二次根式，最后代入求值．

解：4x2+y2-4x-6y+10=0

4x2-4x+1+y2-6y+9=0

∴(2x-1)2+(y-3)2=0

∴x=，y=3

原式=+y2-x2+5x

=2x+-x+5

=x+6

当x=，y=3时，原式=×+6=+3.

举一反三

【变式1】先化简，再求值．(6x+)-(4y+)，其中x=，y=27．

解：原式=6+3-(4+6)=(6+3-4-6)=-，

当x=，y=27时，原式=-=-.

【变式2】已知=2-，其中a、b是实数，且a+b≠0，化简

+，并求值．

思路点拨：由于(+)(-)=1，因此对代数式的化简，可先将分母有

理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．

解：原式=+

=+

=(x+1)+x-2+(x+1)+x+2

=4x+2

∵=2-

∴b(x-b)=2ab-a(x-a)

∴bx-b2=2ab-ax+a2

∴(a+b)x=a2+2ab+b2

∴(a+b)x=(a+b)2

∵a+b≠0

∴x=a+b

∴原式=4x+2=4(a+b)+2.

类型七、二次根式的应用与探究

13、一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水倒入一个

底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的

底面边长是多少厘米？

解：设底面正方形铁桶的底面边长为x，

则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，

x=×=30．

答：铁桶的底面边长是30厘米.

14、如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿

BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC

边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方

厘米？PQ的距离是多少厘米？(结果用最简二次根式表示)

思路点拨：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，•根据三角形

面积公式就可以求出x的值．

解：设x后△PBQ的面积为35平方厘米．

则有PB=x，BQ=2x

依题意，得：x·2x=35，x2=35，x=

所以秒后△PBQ的面积为35平方厘米．

PQ==5

答：秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为5厘米．

15、探究过程：观察下列各式及其验证过程．

(1)2=

验证：2=×==

==

(2)3=

验证：3=×===

=

同理可得：4

5，……

通过上述探究你能猜测出：a=_______(a＞0)，并验证你的结论．

解：a=

验证：a=

===.

总结升华：解答此类问题的特点是根据题目给出的条件，寻找内在联系和一般规律，然

后猜想所求问题的结果，有利于提高综合分析能力.

学习成果测评

基础达标

一、选择题

1.下列根式是最简二次根式的是（）

A．B．C．D．

2.下列各式不是最简二次根式的是（）

A.B.C.D.

3.下列根式中，与是同类二次根式的为（）

A．B．C．D．

4.(江苏省无锡市)下列各式中，与是同类根式的是（）

A．B．C．D．

5.若最简二次根式与是同类二次根式，则a=（）

A．1B．2C．D．–2

6.下面说法正确的是（）

A.被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式

B.与是同类二次根式

C.与不是同类二次根式

D.同类二次根式是根指数为2的根式

7.与不是同类二次根式的是（）

A.B.C.D.

8.若，则化简的结果是（）

A.B.C.3D.-3

9.若，则的值等于（）

A.4B.C.2D.

10.(辽宁省大连市)计算的结果是（）

A．B．2C．D．1.4

11.(四川省攀枝花市)下列计算中，正确的是（）

A．B．

C．D．

12.(山东省东营市)下列计算正确的是()

A．B．==1

C．D．

13.下列式子中正确的是（）

A.B.

C.D.

二、填空题

1.若最简根式与根式是同类二次根式，则a=____________.

2.计算：.

3.计算：.

4.(广东省)化简=____________.

5.(安徽省)计算的结果是___________.

6.(南昌)计算：___________.

7.(重庆市)化简：=___________.

8.计算：___________.

9.计算：=___________.

10.计算：=___________.

11.一个三角形的三边长分别为，则它的周长是_________cm.

12.已知，则.

三、解答题

1.计算：

2.计算：

⑴⑵

⑶⑷

3.计算：(1)；(2).

能力提升

一、选择题

1.已知，化简二次根式的正确结果为（）

A.B.C.D.

2.对于所有实数，下列等式总能成立的是（）

A.B.

C.D.

3.和的大小关系是（）

A.B.C.D.不能确定

4.(山东省济南市)已知，则代数式的值为（）

A．B．C．D．

5.(山东省临沂市)计算的值为()

A．2B．-2C．-2-2D．-2＋2

6.化简甲，乙两同学的解法如下：

甲：=

乙：=

对他们的解法，正确的判断是（）

A．甲、乙的解法都正确B．甲的解法正确，乙的解法不正确

C．乙的解法正确，甲的解法不正确D．甲、乙的解法都不正确

7.若的整数部分为，小数部分为，则的值是（）

A.B.C.1D.3

二、填空题

1.当，时，.

2.若，则___________.

3.若最简二次根式与是同类二次根式，则.

4.已知，则.

5.长方形的宽为，面积为，则长方形的长约为_______（精确到0.01）.

6.(天津市)已知x＝，则的值等于____________.

7.计算：___________.

三、解答题

1.把根号外的因式移到根号内：

；.

2.计算：

3.(辽宁省锦州市)计算：.

4.(广西省贺州市)计算：.

5.(江苏省南通市)计算：.

6.计算及化简：

⑴；⑵；

⑶；⑷.

7.已知：，求的值.

综合探究

先观察下列等式，再回答问题：

①=

②=

③=

(1)根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证；

(2)请按照上面几个等式反映的规律，试写出用（为正整数）表示的等式.

答案与解析

基础达标

一、选择题

1.B2.D3.C4.C5.A6.A7.A8.C9.C10.C11.B12.A13.C

二、填空题

1.2；2.，18；3.-5；4.；5.-1；6.；

7.；8.；9.-1；10.；11.；12..

三、解答题

1.；

2.；

3.解：(1)原式

(2)原式

能力提升

一、选择题

1.D2.C3.A4.A5.B6.A7.C

二、填空题

1.；2.3.1，1；4.10；5.2.83；6.4；

7..

解：原式

三、解答题

1.

2.解：

3.解：

4.解：

5.解：

6.；

7.解：

综合探究

解：(1)结果为.，

验证：；

(2).