立方公式怎么算

立方和公式

aA3+bA3=(a+b)(aA2-ab+bA2)

•立方差公式

aA3-bA3=(a-b)(aA2+ab+bA2)

-3项立方和公式

aA3+bA3+cA3-3abc=(a+b+c)(aA2+bA2+cA2-ab-bc-ac)

推导过程：

aA3+bA3+cA3-3abc

=(aA3+3aA2b+3abA2+bA3+cA3)-(3abc+3aA2b+3abA2)

=[(a+b)A3+cA3]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(aA2+bA2+2ab-ac-bc+cA2)-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(aA2+bA2+cA2+2ab-3ab-ac-bc)

=(a+b+c)(aA2+bA2+cA2-ab-bc-ac)

文字表达

•立方和，差公式

两数和(差)，乘它们的平方和与它们的积的差(和)，等于这两个数的立方和(差)

-3项立方和公式

三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积

的三倍

公式证明

1.迭代

法:

我们知道:

0次方和的求和公式

2NA0=N即1人0+2人

0+...+nP=n

1次方和的求和公式

INA仁N(N+1)/2即1A1+2A1+...+nA仁n(n+1)/2

2N|A2=N(N+1)(2N+1)/6即1人2+2人2+…+n人2=n(n+1)(2n

+1)

/6――平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式(x+1)A3-xA3=3xA2+3x+1，迭代即

得。

2次方和的求和公式

取公式：(X+1)A4-XA4=4XXA3+6XXA2+4XX+1

系数可由杨辉三角形来确定

那么就得出:

(N+1)人4-24=423+622+4屮1

NA4-(N-1)A4=4(N-1)A3+6(N-1)A2+4(N-1)+1

(N-1)A4-(N-2)A4=4(N-2)A3+6(N-2)A2+4(N-2)+1

2人4-1人4=4X1A3+6X1A2+4X1+1...(n)

于是⑴+⑵+⑶+.....+(n)有

左边=(N+1)A4-1

右边=4(1人3+2人3+3人3+……+NA3)+6(1人2+2人2+3人2+……+“人2)+4

(1+2+3+……+N)+N

所以呢

把以上这已经证得的三个公式代入

4(1人3+2人3+3人3+……+NA3)+6(1人2+2人2+3人2+……+“人2)

+4(1+2+3+……+N)+N=(N+1)

A4-1

得4(1A3+2A3+3A3+……+NA3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=NA4+4NA3+6NA2+4N

移项后得1人3+2人3+3人3+……+23=1/4(NA4+4NA3+6NA2+4N-N-2NA2-2N-2NA3-3NA2-N)等

号右侧合并同类项后得1人3+2人3+3人3+……+NA3=1/4(24+223+22)

即

1人3+2人3+3人3+……+NA3=1/4[N(N+1)]人2

大功告成！

立方和公式推导完毕

1人3+2人3+3人3+……+NA3=1/4[N(N+1)]人2

2.因式分解思想证明如下：aA3+bA3=aA3+aA2©+匕人3七人2>b

=aA2(a+b)-b(aA2-bA2)=aA2(a+b)-b(a+b)(a-b)

=(a+b)[aA2-b(a-b)]=(a+b)(aA2-ab+bA2)

公式延伸

正整数范围中1A3+2A3+……门人3=[n(n+1)/2]人2=(1+2+……+n)人2

几何验证

透过绘立体的图像，也可验证立方和。根据右图，设两个立方，总

xA3+yA3

把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：

(x+y)A3

和为

#・F甲■‘in1

要得到xA3+yA3，可使用(x+y)A3的空白位置。该空白位置可分割为3个部分：

xxyx(x+y)

xx(x+y)X

-(x+y)XX

把三个部分加在一起，便得：

=xy(x+y)+xy(x+y)+xy(x+y)

=3xy(x+y)

之后，把(x+y)A3减去它，便得：=(x+y)A3-3xy(x+y)公式发现两个数项皆有一个公因子，

把它抽出，并得：

=(x+y)[(x+y)A2-3xy]

(x+y)A2可透过和平方公式，得到：

=(x+y)(xA2+2xy+yA2-3xy)

=(x+y)(xA2-xy+屮2)

这样便可证明：xA3+yA3=(x+y)(xA2-xy+屮2)

关于因数

一般而言，任取一自然数N,他的因数有1,n1,n2,n3,......,nk,N，这些因数的因数

个数分别为1,m1,m2,m3,....,mk,k+2，贝U

1A3+m1A3+m2A3+m3A3+••…+mkA3+(k+2)人3

=(1+m1+m2+m3+…+mk+k+2)人2

我们发现，上述规律对素数p是永远成立的，因为素数p的因数只有1和p,因数的个数只有

1和2，所以成立。

合数的验证方法可以从因数个数出发证明，有中学水平的人可以自己证明。

比如120,有因数

1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120;它们的因数个数为

1,2,2,3,2,4,4,4,6,4,6,8,8,8,12,16,

1A3+2A3+2A3+3A3+2A3+4A3+4A3+4A3+6A3+4A3+6A3+8A3+8A3+8A3+12A3+16A3=8100

(1+2+2+3+2+4+4+4+6+4+6+8+8+8+12+16)人2=8100

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