铅垂高

1、阅读材料：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直

线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在

△ABC部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形

面积的新方法：S△ABC=

2

1

ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．

解答下列问题：

如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），点P是抛物

线（在第一象限）上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点B为抛物线与y轴的交点，求直线AB的解析式；

（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴分别交AB、x轴于点D、M，连接

PA、PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；

（4）在（2）的条件下，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h、面积为

S，请分别写出h和S关于x的函数关系式．

2、如图，直线3

1

xy，与x轴，y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交

点为点A，顶点是点P，且对称轴是直线2x

（1）求抛物线的解析式

（2）直线3

1

xy向下平移个单位，使它与抛物线只有一个公共点，并求出此时直线的解析

式。

（3）①当

1

y＞

2

y时，观察图像，自变量的取值围是。

②自变量在上述围，在

2

y上是否存在点M，使得

CBM

S



有最大值，若存在，求出最大值，并求出此

时点M的坐标，若不存在，请说明理由。

3、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M为第三象限抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，

并求出S的最大值；

(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点

的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.

4、如图，在平面直角坐标系中，二次函数cbxxy2的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左

侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP

′

C，那

么是否存在点P，使四边形POP

′

C为菱形？若存在，请求出此时点

P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此

时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

5、如图，抛物线经过(40)(10)(02)ABC，，，，，三点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角

形与OAC△相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA△的面积最大，求出点D的坐标．

6．如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，

顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；

O

x

y

A

B

C

4

1

2

（第24题图）

（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．

C

E

D

G

A

x

y

OB

F