2是不是素数

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任意自然数N2内有2N个素数

任意自然数N内有2√N个素数

及素数的分布规律和大约个数公式的证明

四川成都

Zhanghuayou@

定义：在N2~N2±N之间的数必定至少有一个素数。

先证明N2~N2+N至少必定有一个素数。

假设N2+1~N2+N之间没有素数，则N2+1~N2+N的之间数全是N的倍数，即全是合

数。

证明：

N2+1~N2+N的之间偶数不用证。现在只证明N2+1~N2+N的之间的奇数是不是N以

内的奇数的倍数，即可。

为了证明准确无误，N可为偶数和奇数两种情形来证。

当N为偶数时，

N2+1—N2+N的之间奇数个数为N/2个；而1—N之间的奇数也是N/2个奇数，但

1不满足要求，所以从3开始，只有N/2-1个有效奇数，所以，N2+1—N2+N的之间至

少有一个数不是N以内的任意奇数的倍数。则，N2+1—N2+N的之间至少有一个素数成

立。

当N为奇数时

N2+1—N2+N的之间奇数为(N+1)/2-1个；而1—N也是(N+1)/2-1个奇数。但是，

因为N为奇数，当N以内的N作为作为N2+1—N2+N之间任意一个数的倍数时，要满足

N*K=N2+1—N2+N，则，K无论取何数，不是大于N2+N，就是小于N2+N；当K=N时，

就是N2。所以当N等于奇数时，也要减自身一个。再加上N以内的1这个奇数减掉，N

以内有效奇数只有(N+1)/2-2。所以，当N为奇数时，也不能满足N2+1—N2+N的之间

全是合数，所以N2+1—N2+N有一个素数成立。

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N2—N2-N必定至少有一个素数的证明，同理。

定义2：N2—N2±N之间的任意自然数是合数，必定是N以内的数倍数，并且是唯一一一

对应的。否则，N2—N2±N之间的任意自然数不全是合数，就有素数。

N2—N2±N之间的任意自然数是合数，必定是N以内的数倍数，并且是唯一一一对

应的唯一性证明。

假设N2~N2±N之间的任意自然数不是N以内的所有相应数倍数，若有一组不是。

偶数不用证。可以除外。

还是以N2—N2+N为例。

当N是偶数时，

N2

~

N2+N的奇数为：

从N2+1、N2+3、…、N2+N-1共N/2，两两互不相等。

N以内的奇数从Q

1

、Q

2

、Q

3

、…Q

N/2

共计N/2个。也是两两互不相等。

所以N2~N2+N的数应为，

N2+1=K

1

*Q

1

N2+3=K

2

*Q

2

N2+5=K

3

*Q

3

…

N2+N-1=K

i

*Q

i

由于N以内的奇数少一组，

则有

N2+a=K

1j

*Q

j

和N2+b=K

2j

*Q

j

，其中Q

i

、Q

j

≧3。K为N2~N2+N之间奇数。

则（N2+a）/（N2+b）=K

1j

/K

2j

因为N2+a、N2+b、K

1j

、K

2j

全是两两互不相等的奇数。

无论（N2+a）/（N2+b）是什么，也只能为0<（N2+a）/（N2+b）<2，但是也不

能=1。

若（N2+a）=（N2+b），则与题意矛盾，其他任何一个都除不尽。

所以（N2+a）/（N2+b）≠K

1j

/K

2j

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则N2~N2±N之间的任意自然数不可能有2个是N以内的一个数的倍数。

故假设N2—N2±N之间的任意自然数不是N以内的所有相应数倍数不成立。

其他1：Nx

~

Nx±N之间是否有素数就不一定了。

N3

~

N3±N是否有,以N3

~

N3+N之间是否有素数为例证明一下。

N3

~

N3+N之间奇数总数仍为N/2个。

能满足他奇数个数大于N/2。因为√（N3+N）>N。

其他2：当N是偶数时，N2—N2+N之间的素数至少有2个；

证明：设N2—N2+N=C*K，C、K都是大等于3小于N2+N的数。

假设1，C=N-1

当K=N+1时，C*K=N2—1

当K=N+3时，C*K=N2+2N-3，当N>3，则N2+2N-3>N2+N就不满足了。

假设2，C=N-3

当K=N+1时，C*K=N2-2N-1

当K=N+3时，C*K=N2-9

当K=N+5时，C*K=N2+2N-15，当N>15，则N2+2N-3>N2+N就不成立了。

假设3，C=N-5

当K=N+1时，C*K=N2-5N-5

当K=N+3时，C*K=N2-2N-15

当K=N+5时，C*K=N2-25

当K=N+7时，C*K=N2+2N-35，当N>35，则N2+2N-3>N2+N就不满足了。

假设4，C=N-7

……

当K=N+7时，C*K=N2-49

当K=N+9时，C*K=N2+2N-63，当N>63，则N2+2N-3>N2+N就不满足了。

假设4，C=N-9

……

当K=N+9时，C*K=N2-81

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当K=N+11时，C*K=N2+2N-99，当N>99，则N2+2N-3>N2+N就不满足了。

假设5，C=N-11

……

当K=N+11时，C*K=N2-81

当K=N+13时，C*K=N2+2N-141，当N>141，则N2+2N-141>N2+N就不满足了。

假设6，C=N-n

……

当K=N+n时，C*K=N2-n2

当K=N+(n+1)时，C*K=N2+2N-n(n+1)，当N>n(n+1)，则N2+2N-n(n+1)>N2+

N就不满足了。

当n=1时，素数个数是1+1个；

当n=3时，素数个数是1+2个；

当n=5时，素数个数是1+3个；

当n=7时，素数个数是1+4个；

当n=9时，素数个数是1+5个；

当n=11时，素数个数是1+6个；

依此类推，N2—（N2+N）或N2—（N2-N）之间的素数大约有多个素数，

即当n=n，N>n(n+1)时，素数个数是1+（n+1）/2个；。

由此可推，当X越大Nx

~

Nx±N之间是否有素数可能性就不确定了。

假设从10开始验证一下：

10以内有4个素数，10的开方最小整数是3，则2*3=6，6-2=4满足；

12以内有5个素数，12的开方是3，则2*3=6，6-2=5满足；

14以内有6个素数，14的开方是3，则2*3=6，减与不减，都满足；

16以内有6个素数，16的根是4，则2*4=8，8-2=6满足；

18以内有7个素数，18的开方是4，则2*4=8，8-2=6，满足；

25以内有9个素数，25的根是5，则2*5=10，10-2=8，满足；

36以内有11个素数，36的根是6，则2*6=12，12-2=10，满足；

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49以内有14个素数，49的根是7，则2*7=14，满足；

64以内有17个素数，64的根是8，则2*8=16，满足；

81以内有21个素数，81的根是9，则2*9=18，满足；

100以内有25个素数，100根是10，则2*10=20，满足；

1000以内有168个素数，1000开方约31，则2*31=62个，满足。

10000以内有1286个素数，10000根100，则2*100=200个，满足。

在任意N2自然数内有2N个素数从49以后，减与不减2个，全部成立。因为在

1~2，2~3之间没有间隔数了，只是2、3本身是素数，这儿可以剪掉2个。虽说在49

以内有2N个素数部分不成立；但是，任意自然数N2~N2±1必定至少有一个素数也是成

立的。

要证明哥德巴赫猜想成立，用公式表示，即M=P1

+P

2

成立。

证明：因为任何偶数M都可以为M=Q+(M-Q)的奇数和，Q为（1、3、5、7、9……）

奇数。因为分解成偶数和在证明哥德巴赫猜想没有根本性作用，就不在罗列了。例如

M=10，可以为10=1+（10-1）、3+（10-3）、5+（10-5）；总对数为M/2/2组或对；如

果M/2是单数，则总对数为（M/2+1）/2组或对。并且具有全面性和唯一性。全面性就

是任何偶数分解的奇组对数都包括了；唯一性，还只能分解成这样形式的组对。根据这

两个特点，任何偶数M分解成Q+(M-Q)之中一定包括了全部M=P+（M-P）组对。

Q为奇数，A为合数，P为素数。