对数求导公式

.

页脚

一、自然常数e

1、求导

x

a

dx

d

令

x

ay已知导数差商公式定义式：

x

xfxxf

xf

x









)()(

)(lim

0

'

由导数差商定义式得：

x

a

a

x

aa

x

xfxxf

xf

x

x

x

xxx

xx





•





















1)()(

)(limlimlim

000

'

（因子

x

a与x无关，因此我们可以将它提到极限号前面）

注意到上式中的极限是函数

)(xf

的导数在0x处的值，即

x

a

af

x

x





•





1

)0(lim

0

0'

因此，我们已经说明了如果指数函数

x

axf)(在0x处是可微

的，则该函数是处处可微的，并且

x

afxf•)0()(

''



上述等式说明了任指数函数的变化率是和指数函数本身成正比

的.

令

x

a

afaM

x

x





•





1

)0()(lim

0

0'

0

，因为

x

a已知，要求)(

'

xf必须

求得)(

0

aM，从

x

a

aM

x

x











1

)(lim

0

0

的定义式可以猜测)(

0

aM可能

是一个无线不循环的数值，只能无限取小x值求得)(

0

aM的估算值，

.

页脚

这种估算的过程相当繁琐且得不到)(

0

aM的准确数值.

h

h

h

12

h

h

13

0.10.71771.1612

0.010.69561.1047

0.0010.69341.0992

0.00010.69321.0987

在上表中，给出了2a和3a时的情况，通过数值举例，说明

了)0(

'

f的存在.极限明显存在并且

当2a，69.0

12

)0(lim

0

'













x

f

x

x

当3a，10.1

13

)0(lim

0

'













x

f

x

x

实际上，我们将在《微积分》5.6节说明它们极限存在并且精确

到小数点后六位，如下：

693147.0)2(

0



x

x

dx

d

098612.1)3(

0



x

x

dx

d

因此，由等式，我们有

xx

dx

d

2)69.0()2(•

xx

dx

d

3)10.1()3(•

在等式对于底数a的所有可能的选择中，当1)0(

'

f时，微分

公式最为简单，即

x

ey，

x

ey'，并且有1

1

)(lim

0

0













x

e

eM

x

x

，

.

页脚

则有当0x时，xe

x





1，xe

x





1，因此

xxe1，

再次说明了存在

x

x

xe





1

0

)1(lim使得1)(

0

eM，同样e可能是一

个无限不循环小数.

再来看看上表中估计2a和3a时，)0(

'

f的数值，结合定义

式

x

a

aM

x

x











1

)(lim

0

0

可以看出)(

0

aM大小决定于a的取值，可以

证明)(

0

aM在实数域单调递增，由)3()()2(

000

MeMM，可知

32e.

数e的定义：

h

h

he

1

0

)1(lim



即e是使1

1

lim

0







h

e

h

h

成立的数.

这里要注意一点，一个确定的)(

00

aM确定一个具体的数

0

a，即

当)(

0

aM值确定时，原函数

x

ay也确定了一个具有确切数值的底数

0

a，

x

y2与69.0)2(

0

M和

x

y3与10.1)3(

0

M都具有对应关

系，所以e存在且使1)(

0

eM的意义在于我们可以求得

x

ey的导函

数

xxx

eeMee

dx

d

y•)('

0

，当然e是一个确定的常数，即我们只

能求唯一的指数函数

x

ey的导函数

x

ey'.

自然指数求导公式：

xx

ee

dx

d



指数函数

x

ay曲线有一个重要特点，当0x时，

1y

恒成立，

.

页脚

也就是说所有的指数函数均通过

)1,0(

点；再来看看1)(

0

eM在

x

ey图像中的几意义.

0

0

0

0

')()(



•

x

yeMeeM

，也就是说)(

0

eM表示指数函数在

0x处的切线斜率1

0

m，也只有

x

ey在0x处导函数

1)('

0

eMy，注意体会底数a与

0

m的唯一对应关系.

在指数函数

x

ay中，a值的大小直接影响图像的形状.

a值越大，

x

ay曲线越陡峭，即变化率越大，导函数值

'y

越大；

a值越小，

x

ay曲线越平顺，即变化率越小，导函数

'y

越小.

当x取值相等时，3232

e

xxx

a

dx

d

e

dx

d

dx

d

2.e的含义

2.1由定义式

h

h

he

1

0

)1(lim



来理解e的含义，简单地说e就是单位

时间，持续翻倍增长所能达到的极限值.

假设你在银行存了1元，很不幸同时又发生了重的通货膨胀，银

行存款利率达到了逆天的100%！银行一般1年才付一次利息，满1

年后银行付给你1元利息，存款余额=2元，后来银行发善心，每半

.

页脚

年付利息，半年后本息共计)

2

%100

1(，你可以把利息提前存入，利

息生利息，1年本息共计

2

)

2

%100

1(元.假设银行超级实在，每4个

月就付利息，4个月后本息共计)

3

%100

1(，8个月后本息共计

2

)

3

%100

1(，年底本息共计

3

)

3

%100

1(元.假设银行人品爆发，时

时刻刻都在付利息，则第一期本息共计)

%100

1(

n

元，第二期本息共

计

2

)

%100

1(

n

元........第n期本息共计

n

n

)

%100

1(元，这样年底本息

余额7182817813.2元

1元存1年，在年利率100%下，无论怎么利滚利，其余额总有一

个无法突破的天花板，这个天花板就是

n

n

n

e)

%100

1(lim



，有兴趣

可以用这个网上计算器算一下.

2.2.1一个有关复利的例子

很久以前，一个名叫伯努力的家伙回答了一个有关复利的问题.

下面就是该问题。我们假设，你在一家银行有一个银行账户，该银行

付给你一个慷慨的年利率12%，是一年一次的复利的形式.你将一笔初

始存款1元存入账户.每一年你的财富增加12%.这意味着n年后，你的

财富将增加到原来的

n

%)121(倍.特别地，一年后，你的财富就是

%)121(

元.

现在，假设你发现另一家银行.它也提供12%的年利率，但现在它

.

页脚

是一年两次的复利的形式.当然，对于半年，你不会得到12%的利息；

你必须用它除以2，这意味着半年你会得到6%的利息.一年后，它会

以6%的利息复利两次；结果就是你的财富会增加到

2

%)61(，其结

果是1.1236元.

第二个账户的收益比第一个账户略好一些.因此在相同的年利率

下，复利越频繁结果会越好.我们试着计算一下年利率为12%的每年3

次的复利.我们取12%，并将它除以3会得到4%,然后复利3次，我们

的财富将会增加到原来的

3

%)41(倍，其结果近似为1.1255元...同样

一年时时刻刻都复利时即n，复利利率为

n

%12

，复利n次后，我

们的财富会增长的倍数为

n

n

n

)

%12

1(lim



我们用

r

代替0.12，并关心更一般的极限

n

n

n

r

L)1(lim



首先，我们设nrh/，这样nrn/.那么，当n时，我们

看到



0h（由于

r

是常数）故

hr

h

hL

/

0

)1(lim



现在我们可以使用指数法则来写出

rh

h

hL))1((

/1

0

lim



.

页脚

我们来变个魔术，设

h

h

he

/1

0

)1(lim



代入极限中有

rrh

h

ehL



))1((

/1

0

lim

所以

rn

n

e

n

r





)1(lim

2.2.2关于e的更多容

让我们来更好地看一下这个极限，记得

rn

n

e

n

r





)1(lim

这一次，设nh/1，则hn/1，当n时，有



0h，得到

rh

h

erhL



/1

0

)1(lim

这是一个右极限.事实上，你可以用0h代替



0h，对于双侧极

限仍成立.我们需要证明左侧极限也是

r

e，然后左极限等于右极限，

则双极限也等于

r

e.因此，我们考虑

?)1(

/1

0

lim



h

h

rhL

用t替换h；那么，当



0h时，



0t（当h是一个很小的负数

时，ht就是一个很小的正数）故

t

t

h

h

rtrhL

/1

0

/1

0

)1()1(limlim







.

页脚

由于对于任意的0A，有AA/1

1





，我们可以将极限重新写成

t

t

tr

/1

0

)(1

1

lim



分母就是带有利率

)(r

而不是

r

的经典极限.这意味着，当



0t时，

在极限中，分母趋于

r

e，因此综合起来有



r

rt

t

t

t

h

h

e

e

tr

rtrhL

















1

)(1

1

)1()1(

/1

0

/1

0

/1

0

limlimlim

该极限在0x处可微且连续，所以有

rh

h

erh



/1

0

)1(lim

二、自然对数求导

1.导数差商定义法

由

x

xfxxf

xf

x









)()(

)(lim

0

'

，令

xyln

，求

'y

由定义式写出

x

xx

xx

x

xx

x

x

x

x

xx

xx

xxx

x

dx

d































1

00

00

)ln()1ln(

1

)ln(

1ln)ln(

ln

limlim

limlim

令xxh/，则有hxx，当0x时，0h，上式可写成

x

e

x

h

x

hx

dx

d

h

x

xh

x

1

ln

1

)1ln(

1

)1ln(ln

1

0

1

0

limlim



（通过换元巧妙地将x从对数中提到极限号外面）

.

页脚

2.隐函数微分法

对自然对数求导，也可以用隐函数微分法，这是求导逆函数的一

般办法；记住，这就是知道某函数的导数，求其逆函数导数的法.

原理如下：

令

xyln

左右同时取指数

xee

xy



ln

xe

y

左右同时微分

所以有

dx

dy

e

dy

d

e

dx

d

yy

•②

1x

dx

d

③

联立②③等式得：

x

e

yye

y

y

11

'1'•

代入xe

y

是因为

'y

最终要表达成关于x的因式.

3.隐函数微分法求导指数函数

原理如下：

令

x

ey左右同时取对数

xexey

x

lnlnln

则有

xyln

左右同时微分

所以

y

y

dx

dy

y

dy

d

y

dx

d'

lnln•④

1x

dx

d

⑤

联立④⑤等式得：1

'



y

y

.

页脚

所以

x

eyy'

代入

x

ey是因为

'y

最终要变达成关于x的因式.

三、换底公式

1.指数换底公式

a

ea

ln

⑥

对等式⑥左右同时取对数得：

eaea

a

lnlnlnln

ln

•

2.对数换底公式

证：

)(log

)(log

)(log

a

b

b

c

c

a



令xb

a

)(log

则有ba

x

左右同时取以c为底的对数

axba

cc

x

c

log)(log)(log

则有

)(log

)(log

a

b

x

c

c



其中底数c任意取值且0c且1c

又)(logbx

a



所以

)(log

)(log

)(log

a

b

b

c

c

a



如对)(logx

a

进行换底求导呢？

a

x

x

a

ln

ln

)(log

所以

axxa

x

dx

d

aa

x

dx

d

x

dx

d

a

ln

11

ln

1

)(ln

ln

1

)

ln

ln

()(log••

.

页脚

四、求导任意指数函数

1.e底法

令

x

ay，求导

x

a

dx

d

办法就是用e做底数，也就是把底数a转化为e，把

x

a变成e的

某次幂，应用指数函数的求导办法.

aeeMee

dx

d

e

dx

d

a

dx

d

axaxaxxax

ln)()(

ln

0

lnlnln

••

又因为

xax

ae

ln

联立两式得：aaa

dx

d

xx

ln•aaMln)(

0



2.对数微分法

求

x

a

dx

d

有时对原函数求导时会遇到问题，但求其对数导数会相对容易

因为

u

u

u

udx

du

du

ud

u

dx

d'

'

1ln

ln••（应用了链式法则及对数求

导公式）

因此，令

x

au直接求导较麻烦

axlinau

x

lnln求导较容易

所以

auln)'(ln

又由

u

u

u

dx

d'

ln可知：

aaauua

u

u

x

lnln'ln

'

•

所以有aau

x

ln'•

.

页脚

:example

1.求导

x

xu

:example

2.求证

1

•

rr

xrx

dx

d

r

为实数

1.e底法

因为xr

r

xr

eex

lnln



所以1lnln

'



•••

rrxrxrr

xr

x

r

xe

x

r

ex

dx

d

指数函数的定义域为什么是R（实数）.

解：什么是实数，即一切可以测量长度的数，也即可以用直角坐标系

x轴表示的数.

看看指数函数的图像

x

ay（

1,0aa

）在x轴可以无限延伸，

也就是x取值任实数值，指数函数都成立.

2.对数微分法

令

r

xu则有xrxu

r

lnlnln

对uln求导有

x

r

xru

u

u'ln'ln'

所以

1

'



••

rr

rx

x

r

x

x

r

uu

.

页脚

五、求导任意对数函数

1.自然对数化简法

令xy

a

log求x

dx

d

a

log

将x

a

log化简成两个自然对数的形式，其中一个自然对数含有x.



a

x

xy

a

ln

ln

log

则有

axxa

x

aa

x

x

dx

d

a

ln

11

ln

1

'ln

ln

1

ln

ln

log

'

••















所以

ax

x

dx

d

a

ln

1

log

2.指数微分法

令xy

a

log求x

dx

d

a

log

对xy

a

log左右同时取指数

则有



xaa

x

y

a

log

左右同时求导

则有''ln

'

xyaaa

yy

••

所以有

ax

aa

y

yln

1

ln

1

'

•



3.现在来看看：如果原函数

x

ay，那么我们知道yx

a

log，现在

对yx

a

log关于y求导，使用上述结论公式，我们得到

aydy

dx

ln

1



.

页脚

aaay

dx

dy

aydy

dx

x

lnln

ln

1

•

也可以用结论公式

axdx

dy

ln

1



（对换yx,x换成y，y换成x），

则有

aydy

dx

ln

1

，变换写成

aaay

dx

dy

x

lnln•