泡利矩阵

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2021年中国科学技术大学物理学院828量子

力学考研核心题库[证明题+计算题]

主编：掌心博阅电子

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本书根据历年考研大纲要求并结合历年考研真题按照考研题型进行了整理编写，涵盖了这一

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一、证明题

1

．

在一维定态束缚态问题中，哈密顿量，且，

n

为自然数。

(1)

证明：，指对一切可能态求和；

(2)

证明：，并给出系数；

(3)

证明：；

(4)

证明：，其中分别为系统第一激发态和基态能量，是在基态上动

能平均值。

【答案】

(1)

由于

所以

因为

故

(2)

考察对易关系的矩阵元：

由于

故有

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取，即证。

(3)

在表达式中插入封闭性条件可得

将

(2)

问中结论代入上式可得

整理可得

(4)

由

(3)

问可得

将

(1)

问中结论代入上式并取

m

＝

0

有

所以

由

(1)

问中结果知：，所以

所以

2

．

A

、

B

是与对易的两个实常数矢量算符，其中是三个泡利矩阵，

分别是

x

，

y

，

z

三坐标轴的单位矢量。

(1)

证明：；

(2)

若为实常矢量，试将表示为单位矩阵

I

和三个泡利矩阵的线性叠加形式；

(3)

计算矩阵的迹。

【答案】

(1)

利用，上式可写为

(2)

记做则

掌ж心博阅电子书

第5页，共60页

所以

(3)

由

(2)

问知：

利用

(1)

问中结论，可得

上式中后三项为泡利算符的线性项，迹为零，故有

3

．

两个自旋为的粒子组成的体系，和分别表示两个粒子的自旋算符，为两粒子的总自

旋算符，

n

表示两粒子相对运动方向的单位矢量，设系统的相互作用哈密顿量为

令为总角动量，试证明或计算：

(1)

；

(2)

；

(3)

；

(4)

计算能量本征值与能量本征函数。

【答案】

(1)

耦合表象中常用结论，证明从略；

(2)

(3)

第6页，共60页

(4)

哈密顿量可改写为：

由于有共同的本征态，即本征函数为三重态和单态，所以

相应的能量如下：

4

．

证明。

掌щ心博阅电子书

【答案】任取一波函数，

由于是任意的，故有

根据算符函数的定义式，

用归纳法可以证明

第7页，共60页

如对

n=m,

式

(2)

成立：

则对

n=m+1

，式

(2)

也成立：

对

n=0

或

1,

式

(2)

显然成立，故式

(2)

得证，将式

(2)

代入式

(1)

中，

5

．

定义角动量升降算符，

(1)

证明算符与的厄米性，并求出它们的本征

态与本征值；

(2)

若力学量算符满足对易关系，试证明在共同本征

态上的平均值与磁量子数无关。

【答案】

(1)

可见与是厄米算符，

I

由以上两式看出，的共同本征态也是与的共同本征态，本征值分别为

。

(2)

由得，便有

在以上计算中用到公式：

由以上各式，得

第8页，共60页

6

．

证明在的本征态中，的平均值为零

【答案】利用循环对称性，令则有

7

．

考虑角动量

j=1

的粒子，证明

【答案】简单的方法是用作用法，为此可选取如下方便的基：，，

这等价于取新坐标系的标准基底，所以

由于

故

8

．

已知是和的共同本征函数

,

本征值分别为和。令。

(1)

证明仍是和的共同本征函数，求出它们的本征值；

(2)

推导公式

。

【答案】

(1)

由于同对易，故同对易，

可见，是的本征函数，本征值为。利用对易关系式

可以推导出

由式

(3)

得，

可见，是的本征函数，本征值为。

(2)

作为的本征函数，本征值是非简并的，故有

其中为待定常数。对式

(5)

取尼米共轭

式

(6)

与

(5)

相乘，并作全空间积分

第9页，共60页

其中

将式

(8)

代入式

(7)

，得

取正实数，代入式

(5),

得

9

．

已知

Hermitian

多项式递推关系

掌к心博阅电子书

(a)

证明谐振子波函数满足

(b)

由此证明在本征态下，

【答案】

(a)

由

Hermitian

多项式递推关系

及

(

其中

)

。

得

两边再乘以

x

得

(b)

由

(a)

结果及正交归一性即

第10页，共60页

10

．

(1)

证明在本征态下

(2)

在本同本征态下求

【答案】

(1)

本征态下

而满足对易式

两边对求期望值得

即

同理

(2)

由

(1)

得

由对易式

在态下求平均值

即即

由及

于是

11

．

对任意满足薛定谔方程的归一化的波函数，定义密度算符

(1)

试证明：任意一力学量在态的平均值满足；

(2)

求出密度算符的本征值；

第11页，共60页

(3)

导出密度算符随时间演化的方程；

(4)

利用

(1)

问和

(3)

问导出力学量

A

的平均值的运动方程

【答案】

(1)

证明：充分利用完备性关系

(

封闭性条件，矩阵迹概念

)

其中为任意的一组正交归一完备系。

(2)

设本征值为，则它也满足满足之方程，于是有

上式作用于本征态可得：，所以本征值为

0

或

1

。

(3)

因为

故有：

(4)

12

．

证明态密度公式，并对自由粒子，就如下几种情形给出相应态密度：

(

连续归一化

)

(

箱归一化

)

【答案】由

易知，对变量处在某个范围

D

中的状态的投影算子是

即是间隔内的状态密度，

把取作新变量

,D(E)

是相应的积分区域，则

故有

第12页，共60页

情形

(1)

由，知

故

在

k

空间中

,

如此归一化的状态密度是常数且等于，因而在间隔

(k

，

k+dk)

中的状态数

为

考虑动量在给定方向上的状态，设是动量在立体角内，能量

在

(E,E+dE)

范围内的状态数，则

又因，故

情形

(2)

由

，知

故

k

处在

(k

，

k+dk)

内的状态数目等于

.

这样有，，又因

所以得

情形

(3)

由，知

所以得

13

．

一维谐振子势场中的粒子处于任意的非定态，试证明粒子的位置概率分布经历一个周

期之后复原。

【答案】一维谐振子归一化本征态为：

掌е心博☑阅电子书

任意非定态可表示为：

位置概率分布为，考虑到

2,

…

)

，故：

第13页，共60页

而，所以

上式通过

(

为整数

)

依赖于时间，当时，，所以当时，

，复原周期为

14

．

已知位势为

V(r)

时，力矩算子为，求证为轨道角动量。

【答案】因为，即

掌ㅏ心博阅电子书

证毕。

15

．

对于宽度为

a

的无限深势阱中运动的粒子，证明

并证明当时上述结果与经典结论一致

【答案】写出归一化波函数：

先计算坐标平均值：

利用公式：

得

计算均方根值用，已知，可计算

利用公式

则

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在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在

(0,a)

范围中运动，各点的概率密度看作

相同，由于总概率是

1,

概率密度

故当时二者相一致

16

．

求证

其中，

(

取

)

【答案】

因

所以

17

．

由

Feymman

—

Hellmann

定理证明位力定理

并讨论

V(r)

是

r

齐次函数情形

【答案】

取为参数由

F

—

H

定理

在动量表象下

(

其中

)

掌р心博阅Р电子书

取为参数

第15页，共60页

比较两式得

特别地

V(r)

是

r

的齐次函数则则

18

．

若算符不对易证明，

其中

并由此证明

(4)

设是本征态，则的本征态为

【答案】设

又

易知证明的就是的

taylor

形式

自然有

(0)

设

因此

19

．

用直接法求证

其中

u

是和对易的单位矢量，是泡利

(Pauli)

算符。

第16页，共60页

【答案】注意到泡利矩阵有如下性质：

又因为

所以有

故

20

．

若

1

维体系的哈密顿算符不显含时间，在能量表象中证明

(1)

(2)

(3)

【答案】

(1)

由算符微分的定义可知

而从另一个角度出发，又可以得到

比较上述两式得到

(2)

利用上式计算动量平方算符的平均值，有

整理之，有

掌ф心博♬阅电子书

(3)

利用位力定理

第17页，共60页

得到

于是，有

21

．

证明如果在电子的某一态上测量自旋

x

分量和

y

分量的平均值均为

0,

则测量自旋

z

分量时，

不是，就是。

【答案】令电子自旋波函数为。

由以上两式，得，两式相加或相减，得，或，由

的归一化条件知，

a

与

b

不能同时为

0

，要么

b

＝

0

，

a

＝

1

，电子处于的态；

要么

a

＝

0,b

＝

1,

电子处于的态。

22

．

中心势场

V(r)

满足

(1)

证明粒子在

V(r)

束缚定态波函数满足

(2)

由此证明存在束缚态必要条件为

(3)

取试探基态波函数

利用变分法来存在束缚态充分条件

(4)

对于以下中心势场利用

(2)(3)

求束缚条件

(a)(b)

【答案】

(1)

粒子运动方程为

其中

此方程类似

Helmhotlz

方程，引入格林函数满足

第18页，共60页

取

(

球面波

)

代回并与方程比较得

(

利用函数性质

)

(2)

假设体系刚好仅有一个束缚态即基态，对应能级，设时，有最大值

因此

23

．

设为幺正算符，若存在两个厄米算符和使，

证明：

掌к心博♂阅电子书

(1)

，且；

(2)

可表示成为厄米算符。

【答案】

(1)

根据幺正算符的定义证明。

因为

根据复数相等的条件可得

(2)

因为厄米算符和对易，所以它们有共同的本征函数

所以

结合可得

不失一般性，在内找到实数使得，因此

若定义厄米算符使得

则必有为幺正算符。

24

．

设哈密顿算符是

掌и心博阅电子书

(1)

证明下列求和规则

(2)

利用

(1)

题结果

第19页，共60页

【答案】

(1)

于是得

(2)

在海森堡绘景中

又在本征态下求平均得

即得

25

．

设体系的束缚态能级和归一化能量本征态分别为和，

(1)

证明如下的费曼

-

海尔曼

(F-H)

定理：

(

其中为中含有的任何一个参数

)

。

(2)

证明不显含时间的物理量的时间导数对上述状态的

平均值为零。

(3)

若，证明如下的量子位力定理：

其中是动能算符。

【答案】

(1)

满足能量本征方程

将上式两端对求导得

用左乘上式，得

利用能量本征方程的共轭方程

第20页，共60页

得

又由于

最后一个等式利用了的归一化条件，这样就证明了

F-H

定理。

(2)

在

H

绘景中

对上式两端取平均，则

由于在离散谱情形，的矩阵元是有限的，所以上式右端为零

(

但对于连续谱，由于的矩阵

元可以是无限的，故右端不一定为零

)

。

(3)

我们可利用

(2)

中的结果，取，则有

故量子位力定理得以证明。

26

．

(1)

证明，其中是轨道角动量，为泡利矩阵；

(2)

计算在与

的共同本征态态上的平均值，其中是总角动量，是自旋。

【答案】证明也就是证明

在证明中用到以下公式：

第21页，共60页

可以表示为

在态上的平均值

27

．

处于匀强磁场的电子的哈密项量为

(

不考虑自旋

)

其中

(1)

证明哈密顿量与对易

(2)

取的本征态为基，证明对

y

分量方程化为谐振子方程

(3)

求电子的能级

(4)

若考虑自旋，求电子的能级

【答案】

(1)

代入有

利用

得

所以和对易

(2)

在共同本征态下，是常数

记常数

令

方程写作

这正是一维谐振子方程

(3)

(4)

考虑自旋哈密顿量多一项

第22页，共60页

由于

在共同本征态下求解

易得

28

．

(1)

证明算符关系，其中为轨道角动量算符，为泡利自旋算符；

(2)

计算在耦合表象的基中的平均值。

【答案】

(1)

直接推算法

掌б心博阅┬电子书

即

(2)

在耦合表象中，基矢为的共同本征态，

mj=j,j-1,

…

,-j

。

考虑到

所以

29

．

是玻色子在单粒子态上的产生算符与湮没算符，满足对易关系

，令

(1)

证明

(2)

证明

第23页，共60页

其中与分别是与态上粒子占有数算符；

(3)

求与的共同本征态，

以及它们的本征值。

【答案】

(1)

类似的计算，可证

(2)

其中

第24页，共60页

因，故

因，故是显然的，因为

(3)

由于与对易，存在与的共同本征态，显然，与的共同本

,

征态就是与

的共同本征态

的本征值为

的本征值为

掌р心博╬阅电子书

其中，共有

2j+1

个値，的最大值是

2j

，这是因为，当时，

取最大值

2j

。因此，与的本征值相应的的本征值有

2j+1

个，它们也可以表

示为

30

．

从动量空间中的概率守恒出发，证明势能

(

其中

f

为正常数

)

中的一维粒子的均方

根偏差不随时间改变。

【答案】我们首先导出动量空间中的概率守恒定律

,

在动量表象中

故动量表象中的

S

方程为

将这方程两边左乘以，将其共轭方程两边右乘以，再将所得的两个方程相减可得概率守

恒方程

其一般解为

第25页，共60页

从而知波包在动量空间中以速度传播，且在其中不扩散

,

在

t

时刻

t=0

时，由上式知

故

由此得出。

31

．

在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态波函数具有

确定的宇称。

【答案】定态方程

下面把上式中

得

由于

U(x)=U(-x)

因此

因此和是描述同一定态的波函数

①若能量不简并

用空间反射算符作用上式得

即

因此

因此

即波函数有确定宇称

②若存在能量简并则

但可以构造两个波函数

易知

此时波函数仍有确定宇称。

32

．

证明：为了保证轨道角动量是厄米算符，波函数满足单值性条件

第26页，共60页

【答案】厄米算符的定义要求对于任意两个波函数，有下式成立：

☹电子书

如果与无关，则有

即

被积函数对部分的任意性特征要求

鉴于的方向可以任意选择，故有

33

．

(Ehrenfest

定理

)

设质量为

m

的一维粒子在势场

V(x)

，证明其位置与动量期望值随时间演化为

【答案】由不含时

〼子书

于是

同理：

取坐标表象

于是

34

．

一维空间反射算符。

(1)

证明，其中为态矢在动量表象的表示；

(2)

某一维系统，通过计算找出时，所满足的关系。

【答案】

(1)

考虑到，所以有

所以有

(2)

第27页，共60页

因为，并且一般情况下可得，，即：要求势函数为偶函

数。

35

．

(1)

求自旋为

1

粒子的自旋波函数及自旋角动量的矩阵表示；

(2)

证明：自旋为

1

时，；

【答案】

(1)

取表象，记的共同本征态为，因为，

所以，按

m

的大小顺序排列。

同理，所以，又

所以

因为

故

(2)

利用

(1)

问中的矩阵易于证明，所以有

(

这里取

=1)

36

．

在一维空间中运动质量为的粒子，哈密顿算符为

V(x)

。

(l)

证明：；

(2)

证明：；

(3)

设哈密顿具有下列完全基，对应的本征值为

为一矩阵元，这里表示任何一个分立能级本征矢量。试证明：

【答案】

(1)

因为，

第28页，共60页

所以

(2)

因为

证毕。

(3)

由于

或

所以

另一方面

结合上述两表达式并利用

(2)

问中结论可得

37

．

证明

Feymman

—

Hellmann

定理

设量子体系束缚态归一化能量本征态为，对应能征为哈顿算符含有的任何一个参数则

【答案】

由能量本征方程及其复共轭

得

第29页，共60页

38

．

外磁场中电子的哈密顿量

掌г心博阅电子书

(1)

求位置矢量与的对易关系；

(2)

证明：；

(3)

证明连续性方程中的概率流密度为

【答案】

(1)

，故

(2)

以为例进行证明

类似有，写成矢量形式即证。

讨论：进一步可得

(3)

，含时薛定谔方程为

取共轭有

(

注意到：

A

为实，

)

：

得

故有

第30页，共60页

所以

39

．

证明：在非相对论情况量子力学中，对于有心力场

,

任何单粒子能量

(

束缚

)

本征态满足如

下关系

其中是波函数在原点的值，是势能，是粒子的质量，是轨道角动量算符的平方

。

【答案】因，又因，故有

掌ㅑ心博阅╟电子书

是

H

的本征态，可令，则

但，故有结论。

40

．

平移算符定义为，试证：

掌р心博阅Р电子书

(1)

可以用动量算符来表示；

(2)

是幺正的；

(3)

如果

u(x)

与对易，则

u(x)=u(x+a)

。

【答案】

(1)

(2)

(3)

将对易式作用于任意波函数可得

考虑到的任意性，得到

u(x)=u(x+a)

第31页，共60页

二、计算题

41

．

处于基态的氢原子，受到一沿

z

方向的均匀电场

E

的作用，用变分法求出原子极化率。

【答案】无微扰时氢原子的基态波函数为

微扰势为，故可选如下的变分函数作为试验波函数：

考虑到奇偶性，知

.

这样有

又因

仍然注意奇偶性，可得

由于

注意到，以及

从而

这样在对

r

的积分中

这里已利用了，注意到

则知，所以

对求导，并令其为

0

得，，故知

第32页，共60页

由其中的第二级近似知，极化率为

42

．

质量为的粒子处于如下的

1

维位势中

其中

且，求其束缚态的能量本征值。

【答案】当

E

＜

0

时，两个区域的波函数分别为

式中

在

=0

处，波函数的连接条件为

此即

A=B

能量本征值满足的方程为

对上式两端取平方，得到

再对上式两端取平方，整理之后得到能量本征值

43

．

已知条件：电子初态为基态，末态为。电子与电场的相互作用能量为

，可以看成微扰。

待求问题：时，电子跃迁到

2p

态的概率。

相互联系：跃迁概率为，其中

(1)

【答案】微扰矩阵元为，其中与时间无关。

因此概率幅为

(2)

第33页，共60页

由于，上式分子中的指数项可以略去，于是有

(3)

总跃迁概率为

(4)

取电场方向为极轴，，则

(5)

利用关系式，得到横向矩阵元

(6)

而径向矩阵元为

(7)

将上面的结果代入

(5)

式后，得到

(8)

上式代入

(4)

式后，得到跃迁概率为

(9)

44

．

自旋

s

＝

1/2,

并具有自旋磁矩的粒子处于沿

x

方向的均匀磁场

B

中，已知

t

＝

0

时

,

粒

子的，求在以后任意

t

时刻发现粒子具有的概率。

掌ъ心博阅电子书

【答案】令磁场，粒子的哈密顿量为

定态方程

的解为

第34页，共60页

粒子在任意

t

时的态为

已知的本征值与本征态为

令

任意

t

时刻与的概率分别为

45

．

为供参考，下面给出在原子单位

(

其中长度以玻尔半径

)

为单位，能量以为

单位

)

中氢原子的能级以及基态和低激发态的波函数：

试比较氢原子前两个莱曼

(Lyman)

谱线和的发射强度

,

并给出氢原子

2p

态的平均寿

命。

【答案】

(1)

由于不讨论方向效应，我们可以只选用

m=0

的

p

态，这种选择不会影响结果的普

遍性，这样所要讨论的跃迁是

由于自发辐射系数代表跃迁速率，故谱线强度

(

每秒发射的能量

)

正比于，由

第35页，共60页

得强度之比为

掌㈄

由氢原子的能级公式得

因

r

的分量是及，后者在对积分时，将使得的矩阵元为

零，故只需计算

利用公式

很易算出上述积分的值分别是，故

(2)

因为从氢原子的态只能跃迁到基态，而其跃迁概率为

其中

(

恢复到通常的单位制

)

故

2p

态的平均寿命为

46

．

设体系的哈密顿算符为

利用适当的变换求出体系的能量本征值与相应的本征矢。

【答案】将哈密顿算符改写为

显然，构成力学量完全集，且其共同本征函数系为，于是

第36页，共60页

进而可知能量本征值为

相应的本征矢为球谐函数。

47

．

二能级体系原处于低能级的定态，在

t=0

时，突然施以常微扰，试计算在

t

时

刻，体系跃迁到高能级的状态的概率。

掌ㅎ心博阅电子书

【答案】设未微扰时体系的哈密顿为，且

有微扰时，哈密顿为，它在能量表象中的

S

方程为

其中

令

代入上面方程组得

它有非零解的条件为，其中

由此知

和可由初始条件

来确定，最后得

故体系跃迁到激发态的概率为

第37页，共60页

当时，跃迁概率为零，其他时刻由于，故。

48

．

在谐振子的哈密顿量上，加上微扰项，求能量的二级修正。

【答案】设为的本征值为的本征函数，能量的一、二级修正为

利用公式

掌и心博✌阅电子书

算出

49

．

设一带电量为

q

的粒子，质量为

m

，在宽度为

a

的一维无限深势阱中运动，在入射光照射下，

发生跃迁，光波长，求跃迁选择定则。

【答案】一维无限深势阱中的粒子的能量本征值和本征函数分别为

因

第38页，共60页

仅当同时成立时，才为零矩阵元故跃迁选择定则为

m-n=0

或

m-n=

奇数。

50

．

粒子处于宽度为

a

的一维无限深方势阱中的定态，求粒子的动

量分布概率。

【答案】

其中

将式

(2)

代入式

(1)

算出

51

．

已知

t=0

时氢原子波函数为

(

未归一化

)

其中为氢原子本征态，

n

，，

m

，分别为主、角和磁量子数且

-13.6eV,

求：

(1)

处于该状态的氢原子的能量，的平均值；

(2)t

时刻的状态；

(3)t

时刻的能量，的平均值是多少？

【答案】归一化波函数为

(t=0)

(1)

从上式可知：能量量子数量子数量子数

m=0,1,-1

。故

(2)t

时刻的状态为：

第39页，共60页

(3)

因能量满足：，所以为守恒量，由于守恒

量的平均值在任意状态的平均值不随

t

改变，故

52

．

自旋

s

＝

1/2

的粒子具有自旋磁矩，该粒子处于磁场中，是

方向的单位矢量，设

t

＝

0

时粒子处于自旋朝下态，求

t

时刻粒子仍处于该态的概率。

【答案】自旋磁矩在磁场中的势能为

掌я心博阅®电子书

其中，定态方程

其解为

t

时刻粒子仍处于态的概率为

53

．

一粒子处在宽度为

a

的一维无限深势阱中，求在能量表象中粒子坐标

x

的矩阵元，

式中是第

n

个和第

m

个能量本征函数。

掌о心博阅❉电子书

【答案】一维无限深势阱中有

第40页，共60页

当

m

＝

n

时

当时

经两次分部积分可得

所以当时

若奇数，则奇数，有

若偶数，则偶数，有

总之：

54

．

粒子处于二维无限深势阱中

掌㈄心博阅电子书

求能量本征值和本征波函数，并讨论当

a=6

时基态及前两个激发态简并度

【答案】定态方程为

在

0

＜

x

＜

a

，

0

＜

y

＜

b

区域为

V(x

，

y)=0

于是有。

第41页，共60页

利用分离变量法设。代入得

记

即

再令得

由边界条件

于是得

满足

即

本征波函数

由归一条件求出

归一化本征波函数

a=b

时，

基态

第一激发态二重简并对应能量

(

或

)

第二激发态不简并，对应能量

(

此时

)

类似地可以讨论更高激发态的简并度。

第42页，共60页

55

．

质量、荷电

q

的粒子在方向互相垂直的均匀电场和均匀磁场

B

中的运动，求能量本征值

和本征函数。

【答案】设电磁场分别为

取电磁场的标、矢势为

满足关系

取守恒量完全集为，它们的共同本征函数可以写成

其中和为本征值，可取任意实数。满足能量本征方程

因此满足方程

亦即，对于来说，

H

和下式等价：

其中

(6)

式相当于一维谐振子能量算符

再加上两项常数，因此，本题能级为

其中为任意实数，

n=0,1,2,

…

.

(4)

式中为以为变量的一维谐振子的能量本征函数，即

其中为厄米多项式，。

56

．

已知条件：粒子的状态为

待求问题：粒子动量期望值和动能期望值

相互联系：，其中为动量取值时的概率幅

【答案】考虑到动量算符的本征值为

p,

对应的本征函数为，波函数可

第43页，共60页

以分解为

由此得到状态按动量的分布情况

由归一化条件得到

动量的期望值为

动能的期望值为

57

．

质量为

m

的粒子做

1

维自由运动，如果粒子处于的状态上，求其动量

p

与动能

T

的取值概率分布及平均值。

【答案】做

1

维自由运动粒子的动量与动能算符分别为

显然两者相互对易，有共同完备本征函数系，其本征函数为

分别满足

首先，计算内积

第44页，共60页

其次，求出的展开形式

然后，利用归一化条件求出归一化常数为

于是，归一化后的展开系数为

最后，求出动量的取值概率为

平均值为

动能的取值概率与动量相同，而平均值为

实际上，可以有更简洁的方法来处理此问题，即直接将写成的线性组合

后面的操作同前。

58

．

已知条件：粒子的状态

待求问题：动量的概率分布函数和动量期望值

相互联系：

【答案】由归一化条件

得到归一化因子为

动量分布的概率幅

因此，动量概率分布函数为

第45页，共60页

动量期望值为

59

．

设在

t=0

时，氢原子处于基态，以后由于受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近

似地表示为及均为常量

;

电离后电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小

频率和在时刻

t

跃迁到电离态的几率。

【答案】最小频率由

得

原子体系

t=0

时处于基态，波函数为

电离态

(

单色平面波

)

掌ㅠ心博阅电子书

矩阵元

单位时间内跃迁概率

单色光场

t

时刻跃迁概率

60

．

两个质量为

m

且无相互作用的粒子，位于势阱

V()=0,

当

a/2

时，，当

时，若

t=0

时

,

体系的状态为

掌ч心博阅┖电子书

其中为各粒子的对应

i

能级的能量本征函数，求时刻

t

时体系的状态，的可能值及相应

的概率。

【答案】由于的本征矢为，相应的本征值为，其中，

又因这是一个保守系，所以

第46页，共60页

这里，按谱分解原理知，的可能值和相应的概率为

故

61

．

若和

J

分别表示电子的总磁矩和总角动量

(

指轨道与自旋角动量之和

)

，试求的本征值

和相应的本征函数。

【答案】因为

所以

考虑到

因此

显然的同本征函数也是的本征函数，

显然的本征值为与无关，相应的本征函数为，其中取共

2j+1

个值，即

本征矢为

2j+1

重简并。

62

．

粒子在中心力场中运动，其中

A

与

B

为正实数

,

求定态能量和波函数。

【答案】令

满足方程

或

令

掌д心博阅✎电子书

方程变为

已知氢原子的径向方程为

第47页，共60页

比较以上两个方程看出，只要作如下变换：

就可以由氢原子定态能量和波函数

得到本题的定态能量和波函数

其中由方程解得

63

．

设，问在什么条件下是厄米算符？

【答案】今用把算符运算转换成矢量运算的方法，因

若，则，所以

把上式代入得，，故

c

为实数。这样，我们得知，若

，则只有在，且

掌е心博┼阅电子书

为实数时，为厄米算符。

64

．

设为

x

方向的动量算符，满足对易关系。

求

(1)(2)

其中

a,b

为常数。

【答案】利用公式

可以算出

第48页，共60页

其中对易关系依次为

将这些对易关系式的值代入上式，得

65

．

一个自旋为

1/2

自旋磁矩为的粒子置于磁场中，粒子处于自旋态

,

设

t

＞

0

时，又加上沿

y

方向的弱磁场

,

求粒子处于自旋态的概率。

【答案】由题意知，本题只需考虑与自旋有关的部分

体系的哈密顿为

由于我们已知粒子在初始时刻

(t=0)

的自旋态，为了求

t

＞

0

时刻的自旋态，可先求的本征值

和本征矢量，在表象中，易知

故本征方程为

令，则上述方程的本征值为

相应本征矢

(

未归一化

)

为

由于初始自旋态可以写成

由此可得到

t

时刻的归一化的态矢

第49页，共60页

故粒子处于的概率为

66

．

算符与满足对易关系，，体系的哈密

顿量为，其中与均为正实数，且，试用

微扰方法计算体系的第一激发态的一级近似能量，并同精确能量比较。

【答案】

的本征值与本征态矢为

第一激发态能量是二度简并的，相应的本征态矢为

令零级近似态矢为，与满足方程

利用公式

算出微扰矩阵元

将上述值代入方程，

解之得

一级近似能量和零级近似态矢为

为求精确能量，令

第50页，共60页

可以证明

与一样，也是玻色子的湮没算符与产生算符。作变换，

在此变换下

,

体系的哈密顿量变为

的本征值为

当与

(10)

时，能量分别为与，精确能量同上述一级近似能

量相同。

下面介绍，为求精确能量，上面所作的变换

(1)

和

(2)

是怎样得到的，如果

只有前两项，

其中

2

×

2

矩阵是对角矩阵，对角元素是单粒子态的能量，的本征态与本

征值为

现在有

4

项，

其中

2

×

2

矩阵是非对角矩阵，在上式中引入单位矩阵，

S

为幺正变换矩阵：

，

假设在

S

矩阵的变换下，非对角矩阵变成对角矩阵，相应地变成了：

于是

的本征值为，这是因为在上述线性变换下之

间的关系同之间的关系是一样的：

第51页，共60页

现在我们来找能使非对角矩阵变成对角矩阵的变换矩阵

S

是什么，与是什么。令

设想为一哈密顿算符，它的矩阵是非对角的，表明它是在某一个力学量表象中给出的，

使对角化，就是将变换到自身表象。表象变换的

S

矩阵，可以将在表象

的本征态矢并列得到，为此，我们在表象解的定态方程

掌㈄心博阅电子书

由方程解得

这正是前面给出的变换公式

(1)

与

(2)

67

．

势能的类复原子处于态，试计算的平均值。

【答案】令

(1)

满足方程

(2)

方程

(2)

可以写成如下形式：

(3)

其中

(4)

是等效的一维哈密顿量，取为参数，相应的

F-H

定理为，

(5)

其中

(6)

第52页，共60页

将式

(4)

与

(6)

代入式

(5)

，得

(7)

68

．

在电子的某个自旋态中，测量得的概率为

1/6,

测量得的概率为

1/3

，求该自

旋态和的平均值。

【答案】不失一般性，令，其中

a,b,c

为实数，由归一化条件得。

由的概率为

1/6,

得。取正值，。由的概率为

1/3,

得

将代入上式，得

ac

＝﹣

1/6

，已知，故，再由归一化条件

，得，于是

掌ф心博阅电©子书

的平均值

69

．

氢原子处在基态，求：

(1)r

的期望值：

(2)

势能的期望值；

(3)

最可几的半径；

(4)

动能的期望值；

(5)

动量的概率分布函数。

【答案】基态

(1)

在球坐标下计算

利用积分公式！得

(2)

第53页，共60页

同样利用积分公式得

(3)

径向概率分布

对求导为零即

即最可几半径

(4)

当波函数只有径向坐标

r

v

利用前面积分公式得

(5)

动量表象波函数是坐标表象波函数的傅里叶变换

于是概率分布函数

70

．

两个自旋

s=1/2

的全同粒子在同一谐振子势场中运动，，不考虑两粒子之间

的相互作用，求一粒子处于单粒子基态，另一粒子处于在

z

方向运动的单粒子第一激发态的体系

波函数和能量

,

并求体系总角动量量子数的可能值。

掌㈄心博阅♊电子书

【答案】单粒子态波函数与能量为

其中为一维谐振子定态波函数

.

体系波函数为

第54页，共60页

上述

4

个波函数对应的能量均为。

单粒子态与可以表示为

可见，体系的空间波函数描述总轨道角动量的

量子数

=1,m=0

的态，体系自旋波函教描述总自旋的量子数

的态，体系总角动量的量子数

因此，体系总角动量量子数的可能值是。

71

．

一质量为粒子在宽度为

a

的一维无限深方势阱

(0

＜

x

＜

a)

中运动，在

t=0

时粒子处于基态，

此时突然加上一个高为宽为中心在

a/2

的方势垒微扰，时撤去微扰，求体系处

于前三个激发态的概率。

【答案】无微扰时，波函数和能级分别为

由题意

,t

＞

0

时，微扰哈密顿量为

在时刻，撤去微扰时，由基态跃迁到激发态的概率为

其中

在下，由积分中值定理可得

第55页，共60页

所以有

对于第一激发态和第三激发态，

m=2

和

m=4,

跃迁概率均为零。对于第二激发态，

m=3,

则有

72

．

当

r

＜

0

时，质量为，角频率为，沿

x

方向振动的一维谐振子处于基态。从

t

＞

0

时起

,

该

振子受到沿

x

方向的力

(

不是势

)

的作用，其中和是正的实数。假若很小，利

用含时微扰论，准至一阶，求出振子在充分长时间后，处于各激发态的概率。

【答案】振子受到的微扰为，在

t

≤

0

时，振子处于基态，

t

＞

0

时处于任一

态的概率为

其中

计算中用到公式，

其中时振子跃迁到态的概率为

跃迁到其他态的概率为

0

。

73

．

就氢原子中的电子从

s

态到

p

态的电偶极自发跃迁，求到磁量子数为的终态的跃迁

概率之比

(

不计自旋，

)

。

【答案】

第56页，共60页

其中

初态

终态

由于

利用的正交归一性，得

其中

c

是比例系数，故终态磁量子数的分支比是

1:1:1

。

74

．

对于一维自由运动粒子，设，求

.

【答案】

且

(a)

所以由式

(a)

可得

故

75

．

已知条件：设势阱位于区间

(0

，

a)

，能量的本征值为对应的本征函数为

(1)

待求问题：在能量表象中粒子的坐标

x

的矩阵元和动量

P

的矩阵元

相互联系：算符在能量表象中的矩阵元为

(2)

【答案】应用公式

(2),

得到

第57页，共60页

当

n=k

时，有

同理有

当

n=k

时，有

76

．

空间转子作受碍转动，哈密顿量为，其中

A

与

B

为正实数，且，

试计算

p

能级

(l=1)

的分裂，及零级近似波函数。

【答案】

的本征值为，相应的本征函数为，

能级是三度简并的，对应的

3

个波函数记为

(2)

令零级近似波函数为

系教满足方程

其中

将式

(2)

代入式

(5)

计算，结果是，除之外，其余。方程

(4)

变为

由久期方程

解得

第58页，共60页

将代入方程

(6)

，并利用归一化条件

求出同相应的

于是

,

一级近似能量和零级近似波函数为

77

．

一维谐振子系统，设受到微扰的作用，求对第

n

个谐振子能级的一

级微扰修正。

【答案】微扰哈密顿量可以改写成坐标的形式。

掌р心博☊☤阅电子书

未微扰系统的哈密顿量写为

由位力定理可知：

因为

所以能级一级修正为

由上题可得

78

．

设一微观粒子在中心力场中运动，且处于能量和轨道角动量的某一共同本征态。

(1)

在球坐标系中写出能量本征函数的基本形式，写出势能在此态上的平均值的表达式，

并最后表示成径向积分的形式；

掌л心博阅シ电子书

(2)

设是的单调上升函数

(

对任意

,),

证明对任意给定的，均有

，其中是径向波函数。

【答案】

(1)

第59页，共60页

(2)

由于是的单调上升函数，总可以找到某个

r=a

值，使得，对于，显然

有

对于，我们注意到

因此，在是的单调上升函数的条件下，无论取任何有限值，必定有

79

．

已知条件：粒子在一维无限深方势阱

U(x)

中运动。

掌ю心博阅电┢子书

待求问题：粒子的能量本征值和定态波函数。

相互联系：定态波函数，其空间部分和能量本征值满足定态

薛定谔方程

(1)

【答案】因为势场

U(x)

是分段函数，本征函数也应分段考虑。在

x

＜

0

及

x

＞

a

区间内，

，而能量为有限值，定态薛定谔方程要求；在区间内，

U(x)=0

，

(1)

式

成为

(2)

其中

(3)

方程

(2)

的通解为

(4)

由波函数在

x=0

与

x=a

处的连续性条件得到

(5)

将通解

(4)

代入条件

(5)

，有

由上面第一式得到

B=0

，代入第二式后解出

(6)

将

(6)

式代入

(3)

式，得到能量本征值

(7)

将

(6)

式代入

(4)

式中，得到本征函数

(8)

第60页，共60页

其中常数

A

由归一化条件确定，即

由此得到归一化因子。

定态波函数为。

80

．

不稳定态的平均寿命定义为：当在

t=0

时，体系处于不稳定态，则在

t

时刻体系仍处

于态的概率为。证明为体系留在这个不稳定态的时间的平均值。若体系的某激

发态的平均寿命是，激发能是

1.6keV

，求此激发态衰变时所发射的光子的波长的最小不

确定量

()

。

【答案】因

故体系留在这个不稳定态的时间的平均值为

体系的这个激发态的自然宽度为

又因，即，故