初等变换求逆矩阵

2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数

（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。李老师

的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。作

为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不

知不觉中掌握较为抽象的知识。下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，

不知是否能达要求，请李老师指教。

用矩阵的初等变换求逆矩阵

一、问题提出

在前面我们以学习了用公式求逆矩阵，但当矩阵A的阶数较大时，求

A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简

单的方法呢？（饿了再吃）

二、求逆矩阵方法的推导（“润物细无声”“化抽象为自然”）

我们已学习了矩阵初等变换的性质，如

1.定理2.4对mxn矩阵A，施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应m阶

初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。

2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。

3.定理2.5的推论A可逆的充要条件为A可表为若干初等矩阵之积。即

4.推论A可逆，则A可由初等行变换化为单位矩阵。

（1）

由矩阵初等变换的这些性质可知，若A可逆，构造分块矩阵(A︱E)，其中E为与A同阶

的单位矩阵，那么

（2）

由（1）式代入（2）式左边，

上式说明分块矩阵(A︱E)经过初等行变换，原来A的位置变换为单位阵E，原来E的位置

变换为我们所要求的1A,即

2112

11111111

12112112

st

ssttm

PPPAQQQE

APPPPEQQQQRRR







111

21m

RRRAE

1111

21m

RRRA

1

2

2

nn

nn

AEEA







1*1

AA

A



1111AAEAAAEEA

1111

21m

ARRR

1111

21m

RRRAEEA

三，讲解例题

1.求逆矩阵方法的应用之一

例

解：

四，知识拓展

2．求逆矩阵方法的应用之二

利用矩阵的初等行变换也可以判断一个矩阵是否可逆，即分块矩阵(A︱E)经过初等行

变换，原来A的位置不能变换为单位阵E，那么A不可逆。

例

解：

而上面分块矩阵的第一块第二行全为零，它不可能变换为单位矩阵，所以A不可逆。

3．求逆矩阵方法的应用之三

利用矩阵初等行变换解矩阵方程（“润物细无声”）

1

112

120,

113

AA













设求。

112100

120010

113001

AE













（）

21

31

rr

rr





112100

032110

001101















110302

030312

001101















13

23

2

2

rr

rr





302

110

12

0101

33

001

101



















3

1

3

r

14

2

33

100

12

0101

33

001

101





















12

rr

1

14

2

33

12

1

33

101

A





















1

1212

2145

,

4121

1111

AA





















设求。

12121000

21450100

41210010

11110001

AE





















（）

12121000

03692100

09694010

01231001























12121000

00001103

09694010

01231001























对一般的矩阵方程求解，我们可以先求1A，然后求X＝1AB。

现在我们介绍另外一种方法求矩阵方程。

其实在推导求逆矩阵方法的过程就是求解矩阵方程的过程，因为求1A就是求解矩阵方

程的解，而对一般的矩阵方程只要将中的E换成B，然后利

用初等行变换，即

其中的1AB即为所求矩阵方程的X。

例

解：

五、小结

1.矩阵初等行变换：求逆、判断矩阵是否可逆、解矩阵方程

2.思考：若XA=B，如何用初等变换法求X?

贺建辉

2007-11-21

AXE

AXB

AXBAE

1

2

2

nn

nn

ABEAB







AXB

12325

22131

34343

ABAXBX













设，，若，求。

12325

22131

34343

AB













（）

12325

02519

026212















10214

02519

00113















10032

02046

00113















10032

01023

00113













1

32

X23

13

AB











