内摆线

用《几何画板》软件作各种摆线

1、用几何画板作摆线生成过程动画

[实例效果]

(1)如图1，单击隐藏内摆线按钮，隐藏内摆线；

(2)如图2，单击滚动按钮，动态演示车轮滚动效果和内摆线生成过程；

(3)在显示菜单中单击擦除追踪踪迹，擦除摆线踪迹；

(4)单击显示内摆线按钮，将摆线显示出来，如图1.

图1内摆线

图2动态生成内摆线

[创作思路]

(1)分别利用摆线和滚动圆圆心的参数方程构造摆线和滚动圆圆心的轨

迹迹；

(2)利用几何画板的隐藏、追踪、变换、动画、轨迹等功能，根据需要

生成各种展示图片或制作各种演示动画.

[作图准备]

分别确定以下参数：

n：滚动圆滚动的圈数或者说是摆线的周期；

r：滚动圆的半径；

d：滚动圆半径所在射线上一点到滚动圆圆心的距离.

[创作过程]

(1)通过图表→新建参数创建参数：n=2，r=1，d=1，ax=0,ay=-1；

(2)用度量→计算计算ax+nπ；

(3)选中ax=0,ay=-1,通过图表→绘制点绘制点A，如图3；选中ax+nπ，

ay=1通过图表→绘制点绘制点B，选中点A、B,通过构造→线段构造

线段AB；

(4)在线段AB上任取一点C，通过度量→坐标距离度量线段AB的坐标距离，

并通过属性将标签改为t；

(5)分别计算x=rt-dsint，y=a-dcost，和x=rt，y=r；

(6)分别选中x=rt-dsint，y=a-dcost，和x=rt，y=r，通过图表→绘制点绘

制点D和E；

(7)选中点D和点C，通过构造→轨迹构造摆线轨迹；

(8)选中点E和点C，通过构造→轨迹构造滚圆圆心轨迹；

(9)在图3的基础上先后选中点E和点D，选择构造→以圆心和圆周上的点

绘圆生成圆E；连接ED；如图4所示.

(10)选中点C，选择编辑→操作类按钮→动画，生成滚动效果，如图4

所示；将“运动点”标签改为“滚动圆”

(11)选摆线，选择编辑→操作类按钮→隐藏/显示，生成隐藏轨迹按钮，

如图4所示；将“隐藏轨迹”标签改为“隐藏摆线”

(12)可以通过改变参数n=2的值确定生成摆线的“拱数”如图5，当时

生成“三拱”摆线.

参数及计算结果图像

r



t=2.51

r-d



cost



=1.81

r



t-d



sint



=1.91

t=2.51

ax+n



=6.28

ay=-2.00

ax=0.00

d=1.00

r=1.00

n=2.00

图3构造摆线轨迹

图4通过滚动圆生成摆线

图5参数n=2时生成摆线的“三拱”摆线

2、用几何画板作短幅摆线和长幅摆线

[创作思路]

(1)重复前面“用几何画板作摆线生成过程动画”[创作过程]中的第1步

到第8步，得图3；

(2)在图3的基础上，以（ax,d）绘制点G，连接点G和圆心O,选中点E

和线段OG,选择构造→以圆心和圆周上的点绘圆生成圆E；连接ED；

如图4所示;

(3)依次选择点D、E，选择构造→射线得以E为端点，过点D的射线，

用点工具分别在射线上圆内、外处各取一点H、I，如图6，

图6用点工具分别在射线上圆内、外处各取一点H、I

(4)分别选择点H、C和点I、C，选择构造→轨迹生成如图7所示的短

幅摆线和长幅摆线，然后隐藏射线，构造线段EH、ED和EI.

图7短幅摆线和长幅摆线

3、用几何画板作内摆线生成过程动画

[实例效果]

(1)通过滑块工具改变参数大圆半径R，滚动圆的半径r，滚动圆半径所

在射线上一点到滚动圆圆心的距离d和滚动圆滚动的圈数n，可得到如

表1中各图所示不同类型的内摆线，如表2中各图所示不同类型的短幅

内摆线和表3中各图所示不同类型的长幅内摆线；

(2)如表4中各图所示，单击隐藏内摆线按钮，隐藏内摆线；单击滚动

按钮，动态演示表中各图所示的小圆在大圆中滚动的过程中内摆线的生

成过程；

(3)在显示菜单中单击擦除追踪踪迹，擦除内摆线踪迹；

(4)单击显示内摆线按钮，将摆线显示出来.

m=r/R

的取值

图形

m=r/R

的取值

图形

1/21/4

1/33/4

2/31/5

表1不同类型的内摆线

R/r/d

的取值

图形

R/r/d

的取值

图形

3/2/14/2/1

4/3/14/3/2

表2不同类型的短幅内摆线

R/r/d

的取值

图形

R/r/d

的取值

图形

2/1/23/1/3

3/2/34/1/2

表3不同类型的长幅内摆线

表4内摆线的生成过程示意图

[创作思路]

(1)分别利用内摆线和滚动圆圆心的参数方程构造各种摆线和滚动圆圆

心的轨迹迹；

(2)利用几何画板的隐藏、追踪、变换、动画、轨迹等功能，根据需要

生成各种内摆线的展示图片或制作各种内摆线的演示动画.

[作图准备]

用几何画板提供的专用滑块工具分别做出确定以下参数的滑块如表5所示，

以便演示不同参数各种取值的图像或动画效果：

参数的意义参数的可控滑块及其取值

R：大圆半径；

r：滚动圆的半径；

d：滚动圆半径所在射线上一

点到滚动圆圆心的距离；

n：滚动圆滚动的圈数.

n

d

r

R

n=2.00

d=1.00

r=2.00

R=3.00

图1各参数的意义及其可控滑块

[创作过程]

(1)用度量→计算计算m=r/R；

(2)在几何画板上任取一点E，选中点E，用度量→横坐标和度量→横坐标

分别度量点D的两个坐标（x

E

,y

E

），

(3)用度量→计算计算x

E

+2π；

(4)以（x

E

+2π,y

E

）为坐标通过图表→绘制点绘制点G；

(5)连接EG,在EG上任取一点H，选中点E、H,通过度量→坐标距离度

量线段EH的坐标距离，并通过属性将标签改为t；

(6)用度量→横坐标和度量→横坐标分别度量原点O的两个坐标（x

O

,y

O

）;

(7)分别以（x

O

,R）和（x

O

,r）为坐标通过图表→绘制点绘制点R和点P；

(8)选中原点O和点R，通过图表→以圆心和圆周上的点绘圆绘制大圆；

(9)建立如表6所示的内摆线和滚圆圆心的参数方程。

(10)选中摆线的参数方程，通过图表→绘制点绘制点L；

(11)选中滚圆圆心的参数方程，通过图表→绘制点绘制点M；

(12)选中点L和点H，通过构造→轨迹构造内摆线的轨迹；

(13)选中点M和点H，通过构造→轨迹构造滚圆圆心的轨迹。

摆线的参数

方程

1-m



R



cosm



t



+d



cos1-m



t



=-1.12

1-m



R



sinm



t



-d



sin1-m



t



=1.38

滚圆圆心的

参数方程

R-r



sinm



t



=0.71

R-r



cosm



t



=-1.87

表6内摆线和滚圆圆心的参数方程

4、用几何画板作外摆线生成过程动画

[实例效果]

(1)通过滑块工具改变参数大圆半径R，滚动圆的半径r，滚动圆半径所

在射线上一点到滚动圆圆心的距离d和滚动圆滚动的圈数n，可得到如

表1中各图所示不同类型的外摆线，如表2中各图所示不同类型的短幅

外摆线和表3中各图所示不同类型的长幅外摆线；

m=r/R

的取值

图形

m=r/R

的取值

图形

1/12/1

1/43/

表1不同类型的外摆线

R/r/d

的取值

图形

R/r/d

的取值

图形

3/2/14/3/2

表2不同类型的短幅外摆线

R/r/d

的取值

图形

R/r/d

的取值

图形

3/1/23/1/3

表3不同类型的长幅外摆线

[创作思路]

(1)分别利用外摆线和滚动圆圆心的参数方程构造各种摆线和滚动圆圆

心的轨迹迹；

(2)利用几何画板的隐藏、追踪、变换、动画、轨迹等功能，根据需要

生成各种外摆线的展示图片或制作各种外摆线的演示动画.

[作图准备]