圆的内接四边形的性质

九年级上册

第三章用

3.圆内接四边形的性质与判定

一、根底知识回忆

1.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的相等,所对的也相等.

2.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条______、两条____、两个_______中有一对量

相等,那么它们所对应的其余各对量都相等.——

3.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对.

(1)半圆(或直径)所对的圆周角是；90.的圆周角所对的弦是.

(2)在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角-相等的圆周角所对的弧也.

二、知识延伸拓展

如果四边形的各顶点在一个圆上,这个四边形叫做这个圆的内接四边形,这个圆叫做四边形的外

接圆.例如,图1中,四边形ABCC^O.的内接四边形；..是四边形ABCD勺外接圆.圆内接四边形有

以下性质：

**E

图1图2

性质定理圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的相邻内角的对

角.

：如图2,四边形ABCCrt接于OO,ZDCE^四边形ABCD勺外角.

求证：(1)ZA+ZBCD=18.,ZB+ZD=180.；

(2)ZDCEWA.

证明：(1)/A所对的弧是€CD,/BCD所对的弧是BAD,

m.m.

•-.=.二

BAD和Bob的度数和是360o

......m-....=

同理,/B+ZD=1800o

(2)•••/DCE是四边形ABCD勺外角,

•••ZDCE^BCD=18.

由(1)得ZA+ZBCD=18.

ZDCEWA.

反过来,如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点在同一个圆上吗?

：四边形ABCW,/B+/D=180°

求证：A,B,C,D在同一圆周上.

分析：根据不在同一直线上的三点确定一个圆,不妨设AB、C三点确定O0,那么点D与OO的位

置关系有三种：在圆外、在圆上、在圆内,如果能排除点D在圆外和在圆内,贝U

点D必在圆上.

证明：（1）如果点D在③.外部（如图3）.那么ZAEC%B=180°

因ZB+ZD=180°得ZD=ZAEC

与"三角形外角大于任意不相邻的内角"矛盾.

故点D不可能在圆外.

（2）如果点D在OO内部（如图4）.那么ZB+ZE=180°

•••/B+ZADC=180E=ZADC

同样矛盾..••点D不可能在O0内.

综上所述,点D只能在圆周上,四点共圆.

判定定理如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点在同一个圆上（简称四点共圆）.

推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么它的四个顶点共圆^

三、精典例题点拨

例1：如图5,入.是左ABC的外角/EAC的平分线,与^ABC的外接圆交于点D

求证：DB=DC

证明：AD是ZEAC的平分线,/DACWDAE

四边形ABC%］接于圆,

•••/DCBWDAE

圆周角/DBC^ZDAC所对的弧都是CD,

•••/DBCWDAC•••/DBCWDCB

DB=DG

例2如图6,③0与③.都经过A,B两点,经过点A的直线CD与③0交于点C,与③0

交于点D,经过点B的直线EF与00交于点E,与③02交与点F.

求证：CE//DF.

证明：连接AB

C

•.•四边形ABEC是..的内接四边形.

•••ZBADWE.

..•四边形ADFB是.Q的内接四边形.

BAD%F=180°

.•./E+ZF=180°

CE//DF.

例3如图7,CF是△ABC的AB边上的高,FPLBC,F0AC.

求证：A,B,P,Q四点共圆.

证明：连接PQ

在四边形QFPC4

..FPLBCFQ±AC•••/FQAWFPC=90).

•••Q,F,P,C四点共圆.•••/QFCWQPC.

又.•CFLAB•••/QFC与ZQFAM余.

而ZA与ZQFA也互余.•••/A=ZQFC.

•••ZA=ZQPC.A,B,P,Q四点共圆.

想一想

1.圆内接平行四边形一」定是形;

2.圆内接梯形一定是形；

3.圆内接菱形--定是形.

四、随堂练习设计

1.在圆内接四边形ABCW,ZA=50o,/D-/B=40.,那么ZB=

/D=o.

2.如图8,四边形ABC以..的内接四边形,ZBOD=100.,那么ZBAD=o,

ZBCD=

3.如图9,以等腰△ABC的底边BC为了直径的O.分别交两腰AB,AC与点E,D,连结DE求

证：DE//BC.

o,ZC=o,

o

.

6.如图13,AB为了半圆O的直径,C、D为了半圆上的两点,

/BAC=20L那么

4.任意画一个矩形,再画出它的外接圆.

五、课后作业稳固

1.假设圆内接四边形ABCD^,ZA,ZB,ZC的度数的比是2:3:6,那么该四边形内角中

最大度数是()

A.1200B.1350C.900D.450

2.如图10,四边形ABCD内接于OO,它的对角线把四个内角分成八个角,其中相等的角

有()

A.2对B.4对C.6对D.8对

重合的另一点,假设/ACB=120°,那么ZAPB=

4.圆内接四边形ABCD中,2A:/B:/C=1:2:3,贝UZD=.

5.如图12,四边形ABCCrt接于圆,/DCE=50,那么/BOD=

图10

3.如图11,PA、PB是圆.的切线,

图11

A、B分别是切点,C为了圆O上不与A、B

A

图12

图13

7.如图14,在^ABC中,ZAEF=45,B」AC于E,CFLAB于F,ZEFC=20,那么ZABE=:

8.如图15,OO的内接四边形BCED,延长ED,CB交于点A,假设BD±AE,AB=4,BC=2,AD=3

顶DE=;CE=.

.一...一__________八,,,,.,.一一一一

9.如图16,△ABC中,AB=AC,D是^ABC外接圆劣弧AC上的点(不与A,C重合),延长BD到

E.

(1)求证:AD的延长线平分/CDE;

(2)假设ZBAC=30°,△ABC中,BC边上的高为了2+寸3,求△ABC外接圆的面积.

图16

10.：如图17,四边形ABCD中,ZABC=ZADC=90°,ZDAB=60°,BD=6cm.求:对角线

AC的长.

A

图14

图15

A

六、本课时参考答案

随堂练习

1.70°,130°,110°;2.50°,130°;

3...四边形BCD曲接于OOAEDWC又B=ZC..ZAEDWB.二DE//BC.

4.略.

课后作业

1.B2.B3.60°4.90°5.100°6.110°7.25°8.5,2后

9.(1)/EDF=/ADB=/ACB=/ABC=/CDF(等腰三角形雨底角相等)

03

(2)/BOC=2ZBAC=60°R=BCR+二R=2+、；3R=2

S=「:R2=4二

10.4嫔m・提示：四边形ABCD内接于圆,ZA=60°,故

BD为了圆内接等边三角形的一边.设圆的半径为了n那么BD=〔岳二

6,所以AC=2r=4的(cm).