隐函数求偏导

河北地质大学

课程设计（论文）

题目：隐函数求偏导的方法

学院：信息工程学院

专业名称：电子信息类

小组成员：史秀丽

角子威

季小琪

2016年05月27日

摘要..................................................................................................................................................3

一．隐函数的概念...........................................................................................................................3

二．隐函数求偏导...........................................................................................................................3

1.隐函数存在定理1...............................................................................................................3

2.隐函数存在定理2...........................................................................................................3

3.隐函数存在定理3.................................................................................................................3

三.隐函数求偏导的方法................................................................................................................3

1.公式法....................................................................................................................................3

2.直接法....................................................................................................................................3

3.全微分法................................................................................................................................3

参考文献...........................................................................................................................................3

摘要

本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的

方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导

关键字：隐函数偏导数方法

一．隐函数的概念

一般地，如果变量yx和满足方程0,yxF，在一定条件下，当

x

取某区间的任一

值时，相应地总有满足这方程的唯一的y值存在，那么就说方程0,yxF在该区间内确

定了一个隐函数。例如，方程013yx表示一个函数，因为当变量

x

在，内取

值时，变量y有确定的值与其对应。如等时时321,10yxyx。

二．隐函数求偏导

1.隐函数存在定理1设函数0),(yxF在P（x。，y。）在某一领域内具有连续偏导数，

且0),(



yxF，0),(



yxF

y

，则方程0),(yxF在点（x。，y。）的某一领域内恒能唯

一确定一个连续且具有连续导数的函数)(xfy，它满足条件)(



xfy，并有

yx

y

F

F

d

d

x。

例1:验证方程2x-2y=0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1

时y=1的隐函数y=

)(x

f，并求该函数的导数

dx

dy

在x=1处的值。

解令

),(yx

F=2x-2y,则

x

F=2x，

y

F=-2y，

)1,1(

F=0，

)1,1(y

F=-2≠0

由定理1可知，方程2x-2y=0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，

当x=1时，y=1的隐函数为y=x，且有

dx

dy

=

y

x

F

F

=

y

x

2

2

=

y

x

故

1=xdx

dy

=

)1,(!y

x

=1

2.隐函数存在定理2设函数zyxF,,

在点

）（



zyxP,,的某一邻域内具有连续

偏导数，且

）（



zyxF,,

=0，0,,）（



zyxF

z

，则方程0,,zyxF在点



zyx,,的某一邻

域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数yxfz,,它满足条件



yxfz,

并有

z

y

z

x

F

F

y

z

F

F

x

z













,。

例2：设函数yxzz,由方程zyxzxy2所确定，求

y

z





解：设zyxzxyzyxF2,,

则012xyF

z

（将x，y当常数，对z求偏导）

12xyzF

z

（将x，y当做常数，对y求偏导）

根据定理2：

221

12

1

12

xy

xyz

xy

xyz

F

F

y

z

z

y

















3.隐函数存在定理3设vuyxF,,,、vuyxG,,,在点

0000

,,,vuyxP的某一邻域

内具有对各个变量的连续偏导数，又0,,,,0,,,

00000000

vuyxGvuyxF，且偏导数所

组成的函数行列式（或称雅可比

(Jacobi)）



v

F

v

G

u

F

u

Gvu

GF

J























,

,

在点

0000

,,,vuyxP不等于零，则方程组0,,,,0,,,

00000000

vuyxGvuyxF在点



0000

,,,vuyx的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数

),(),,(yxvvyxuu,它们满足条件),(

000

yxuu，),(

000

yxvv，并有

GvGu

FvFu

GvGx

FvFx

vx

GF

J

u













),(

),(1

x

GvGu

FvFu

GxGu

FxFu

xu

GF

J

v













),(

),(1

x

GvGu

FvFu

GvGy

FvFy

vy

GF

J

u













),(

),(1

y

GvGu

FvFu

GyGu

FyFu

yu

GF

J

v













),(

),(1

y

例3：设1,0xvyuyvxu，求.,,,

y

v

x

v

y

u

x

u

















解：



















































































u

x

v

y

x

u

x

v

x

v

x

x

u

y

y

x

v

x

u

xu

x

v

xv

x

u

y

x

yvxu

xvyu

0

0

0

1

求导方程两边对

由定理3可求

022

















JyxJy

x

x

y

v

F

v

G

u

F

u

G

且

则

22yx

yvxu

x

u

y

x

x

y

y

x

u

v

















22yx

xvyu

x

v

y

x

x

y

u

v

x

y







































































































v

y

v

y

y

u

x

u

y

v

x

y

u

y

y

v

yv

y

u

x

y

v

x

y

u

yu

yvxu

xvyu

0

0

y

0

1

求导方程两边对

同上可求得

22yx

yuxv

y

u











22yx

yuxv

y

v











三.隐函数求偏导的方法

1.公式法：即将方程中所有非零项移到等式一边，并将其设为函数F,注意应将x,y,z

看作独立变量，对F(x,y,z)=0分别求导，利用公式=

x

z

-

Z

X

F

F

,=

y

z

-

z

y

F

F

。

类型条件公式

0,yxF

00

xy

FF或



















x

y

y

x

F

F

dx

dy

F

F

dx

dy

或

类型条件公式

0,,zyxF

0

x

F

x

z

x

y

F

F

z

x

F

F

y

x













,

0

y

F

y

z

y

x

F

F

z

y

F

F

x

y













,

0

z

F

z

y

z

x

F

F

y

z

F

F

x

z













,



0,,,

0,,,





vuyxF

vuyxG





0

,























v

F

v

G

u

F

u

Gvu

GF

J

，



vx

GF

Jx

u

,

,1











，



xu

GF

Jx

v

,

,1













vy

GF

Jy

u

,

,1











，



yu

GF

Jy

v

,

,1











2.直接法：分别将F(x,y,z)=0两边同时对x,y看作独立变量，z是x,y的函数，得到含

y

z

x

z

,

的两个方程，解方程可求出

y

z

x

z

,

.

3.全微分法：利用微分形式的不变性，对所给方程两边求微分，整理成

,),,(),,(dyzyxvdxzyxudz+=则

dydx,

的系数便是

y

z

x

z

,

，在求全微分时，z应看做自变量.

例1.已知

x

y

yxarctanln22=+

，求

2

2

dx

yd

.

解.方法一：

令22ln),(yxyxF+=

-

)ln(

2

1

arctan22yx

x

y

+=

x

y

arctan

则

2222

),(,),(

yx

xy

yxF

yx

yx

yxF

yx











所以=

dx

dy



y

x

F

F

xy

yx







上式再对x求导得

3

22

2

'

2

2

)(

)(2

)(

22

yx

yx

yx

yxy

dx

yd













方法二：

方程,0arctanln22

x

y

yx两端分别对x求导得

22

'

yx

yyx





0

22

'









yx

yxy

yx

yx

dx

dy







3

22

2

'

2

2

)(

)(2

)(

22

yx

yx

yx

yxy

dx

yd













方法三：

方程

x

y

yxarctanln22，两端分别求微分得

)(arctan)(ln22

x

y

dyxd

利用全微分不定性，上式化为

x

y

d

x

y

yx

dydx

2

2

22

22

1

1

2

1









由全微分运算法则计算并化简得

3

22

2

'

2

2

)(

)(2

)(

22

)()(

yx

yx

yx

yxy

dx

yd

xy

yx

dx

dy

dxyxdyyx





















参考文献

【1】同济大学数学系.高等数学第七版下册【M】

北京：高等教育出版社，2014.7

【2】段生贵，曹南斌.高等数学学习指导【M】

成都：电子科技大学出版社，2014.8

【3】邵燕南.高等数学【M】

北京：高等教育出版社，2014.7

【4】王顺风，吴亚娟.高等数学【M】

南京：东南大学出版社，2014.5

【5】陈纪修，於崇华，金路.数学分析【M】

北京：高等教育出版社，2004.4

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