9的立方根

【doc】九位数可开尽立方根的快速心算

九位数可开尽立方根的快速心算

计算技巧

2003年3月22日,河北电视台卫星频道播出了《发明空间》栏目第17期.在

那期节目里笔者表演了心算丽=8539.朋友们问道:"怎么算得那

么快?"应当说,这是多年来坚持科研攻关与教学改革紧密结合的结果.科研促

教改,教改促科研,作为普及,本文给出九位数可开尽立方根的快速心算方法,篇幅

受限理论推证从略.所举的例题均为可开尽立方根.tttl

ll一,预备知识与相关术语【i

三位分节:在开立方之前必须对实数做三位分节,即从实数的小数点起向左(右)

每3位分作一节,并用单引号的右一半""'隔开,最左(右)一节不足3位时用0补

齐,如:

唾『_丽分节作两『T

分节作

三位分节后的最左一节下称首节.本文所说的九位数包括首节补了一到两个0

的九位正整数,即只研究七,九位数可开尽立方根的快速心算法.在开立方中除了

用到两个和为10的正整数互称补数的术语之外,还经常用到"替"与"换"两个术语.

替:在0—9诸整数中,相差为5的二数互称替数.如6—1=5,则1的替数是6,6的

替数是1,简作"1替6,6替1".同理,0和5,2和7,3和8,4和9互替.将

互!....i....!:替二数标在表示区间(0,10)的线

,.段上,除0贴端点5居中之外,其

.

,

.余4组均一左一右:较小的在左,

较大的在右.由此可见,互替二数

——

土———在区间(0,1o)上的位置左,中,右

关系有明显的差别.

园ZHLISLIANANDZHUXlNSUAN

,个位相同的两个二位(包括十位是换:十位互替

用0补齐的二位)数互称换数.例如,23的换数是73,73的换数是23,简作"23

换73,73换23".同理,O6换56,56换06等.

二,立方九九与六位数可开尽立方根的心由1=001,2=008,…,9=729编成的口

诀称为立方九九,即

一

立001二立0o8三立027

四立064五立125六立216

七立343八立512九立729

口诀中第一个中文小写数字为底数,第二个"立"是"立方"的浓缩,后3位阿拉

伯数字是立方运算结果.根据底数n与其立方n的个位之间相同或相补关系,可分

为以下3组:

nl46923785

I1III11III

30olO642167290o80273435l2l25n

分组同组补组同补组

5=10—5,5与5既相同又互补,因后述心算法异于前两组而单独编组.

开立方是立方运算的逆运算.由于立方九九的个位两两互异,而且恰巧把1—9

各取一次,这就给出了由n'的个位判断底数n的方法,不过在开立方中,n变成了

实数,而n成了立方根个位:

由第一组,同组,1'i个位与1'i相同,得当实的个位为1,4,6,9时,立方根个位

分别取同数为1,4,6,9,即

l=1,64=4,16=6,29=9;由第二组,补组,n个位与n互补,得当实的个位为

2,3,7,8时,立方根个位分别取补数为8,7,3,2,即=

8,=7,=3,丽=2;

由第三组,同补组,11个位与n均为5,得当实的个位为5时,立方根个位为5,

即=5.

综合上面三组,可以得到下面求立方根个位的口诀:一同1四同4六同6

九同9_c-~b8三补7

七补3八补2五开5

口诀的第一个中文小写数字是实的个位,第三个阿拉伯数字是立方根个位,中

间一字是求个位的规律.上述口诀可用于求任意多位整数可开尽立方根的个位.事

实上,设m,n为整数,mi>0,1?n?9,而A=(10m+n)=10(100m+30mn+3mn)+n=

l0K+n

其中K=100m+30mn+3ran为整数,则10K的最低位在十位,故A的个位仍取决于

n的个位.反过来说就是仍然可凭借A的个位(n的个位)来确定立方根个位n.

熟记立方九九和求立方根个位的口诀,就可以顺利地进行六位数可开尽立方根

的速算.例1设A=658'503,求

解:取首节658与夹含它的立方九九相比有8=512<658<729=9(1)即

803=512'000<658'503<729'000=90(2)

各边取立方根80<面<90(3)得立方根十位为8.又实658'503个位为3,

三补7,得立方根个位为7.

心算完成:丽=87

本例把心算过程写得很详细.熟练后,略去(2),(3),直接由(1)求出立方根首位.

例2设A=024'389,求

解:由2=008<024<027=3,得立方根十位为2.又实个位为9,九同9,得立

方根个位为9.心算完成:=29

有了心算六位数可开尽立方根的基础,就可以普及九位数可开尽立方根的快速

心算.

三,九位数可开尽立方根的快速心算

设有七,九位数A,A的十位为h,个位为i,i?0,计算技巧

A有正整数立方根(gen),记为G,G==100x+10y+z,其中X,Y,z为整

数,1?x?9,0?y?9,1?z?9.立方根G的求法见《九位开立心算歌》.l首节先与立九

比,

2求根百位不费力.

3一四六九根个同,

4其余取补尾求毕.

5接用实十求根十,

6按照实个分别记.

7补组系3同组7,

8后加常数须留意:

9二2三8四六3.

10九加6来七加4

11奇个求十十唯一,

l2偶有两解定取弃:

l3两解标入零到十,

l4首节加l放两立,

15略观位置左中右,

l6即断留舍谢天地.

l75用8乘开5乘,

l8进奇写换根可觅.

第1,2句是说求百位X的方法与例1,例2求立方根首位的方法相同,即取首节

先与立方九九比较,求根百位x毫不费力.第3,4句是说求个位z的方法,即当实

个位为一,四,六,九时根个位取相同值,其余取补尾(指个位z)求毕.第5,6句是说

i?5时十位Y的求法.即接着用实的十位h求根的十位Y.Y为下面和数Y=eth+B

的个位或其替数,其中Ot为开立系数,B为矫正常数.Ot与B的大小取决于实数

个位i,须按照实个位i分别记忆如下表:

开立矫正

分实数系数a常数Y的Y的确

组个位表达式定方法

l

同组补组p

1707h第

9767h+6有唯一解:

——

3383h+8Y取Y的个位

组7343h+4

4737h+3有两解:Yt解Y的个位第

6737h+3Y2取Y.的替数

二

2323h+2两解一真—呐,用"幸运

组8303h猜价定解法"取一弃一

第7,l0句是说Ot,B的记忆方法,即补组开立系数为3同组为7,后加矫正常数

B须留意:二2三8四六3,九加6来七加4.用下面故事来记第9,10句:

纪益商店经理的二儿(2)子在三月八(8)日"国际妇女节"下午(女生放假)四点

钟从柜台拿走六把伞ZHUSUANANDZHUXINSUAN囫

计算技巧

(3),送给六位姑娘郊游,傍晚雷雨大作,凯利酒家留(九加6)姑娘们来吃火锅,

店主妻(七)子为姑娘们添加粉丝(4)……

第11—16句是说Y的确定方法:即当实有奇数个位(i=1,9,3,7)时求根的十位

Y,则根的十位有唯一解,而当实个位为偶数(i=2,8,4,6)时有两解,用与中央电视

台《幸运52》栏目改版前幸运超市竞猜单价,猜价最接近实价者胜出的类似方法,

即用"幸运猜价定解法"判定留取或舍弃:将两解Y,Y:分别标入表示零到十的区间

[0,10)的线段上,并给首节加1,记为i,"放"在夹含它的两个立方九九组成的区间

[n,(n+1)]中

(这里x=n),粗略分别观察Y,Y:在区间(0,10)位置的左,中,右及i在区间

[n,(n+1)]位置的左,中,右,则立即由位置的左,中,右是否(大致)吻合来断定留取

或舍弃,如此求出Y谢天谢地.

第17,18句是说同补组的心算法,即当实个位i=5时,先用第1,2句求出x,接

着求:用8乘A的最后4位,心算8A的千位,记为i,删去8A最后的"000",以i为

个位开立方,即对i呼求立方根个位的口诀得z,再用5乘以z得5z,当8A向万位

的后进h'为偶数时,一yz=5z,当后进h'为奇数时,应写换数,即一yz=5z+50,如此

立方根可以寻觅.

以下分三种情况举例:

(一)实数个位为非5奇数时,Y有唯一解.例3设A=055'306'341,求百=G=

解:由3027<055<064=4,得x=3.i=1,一同1,得

z=1.h=4,Or.=7,B=9,7h=7×4个位是8,得Y=8.

心算完成::381

例4设A=565'609'283,求百=G=

解:由8512<565<729=9,得X=8.i=3,三7,得

z=7.h=8,Or.=3,B=8,3h+8=3×8+8个位是2,得Y=2.,

心算完成:牾丽啊=827

(二)实个位为偶数时,Y有两解,用幸运猜价定解法.

例5设A=015'252'992,求百:G=

解:由2008<015<027=3,得X=2.i=2,二8,得

z=8.h=9,Or.=3,B=2,3h+2=3×9+2个位是9,9替4,得Y=9及Y:=4两种可能.观察:

甲,9居

区间(0,10)之右,乙,4居(0,10)之左,丙,首节015+1=016=i,016—

008=8;027—016=11,8<11,即016园ZHUSUANANDZHUXINSUAN居区间(008,027)

之左,乙

与丙的左,中,右关系(大

致)吻合,则Y:=4应留取,

而Y=9应舍弃.附图仅供

读者参考理解,心算时不必

作图.

田

乙

心算完成:=248

例6设A=003'796'416,求=G=一xyz解:由1001<003

<008=2,得X=1.i=6,

六同6,得z=6;h=1,Or.=7,B=3,7h+3=7×1+3

个位是0,0替5,得Y=0

及Y:=5两种可能.观察:

OO1

甲,0居区间(0,10)左端点,乙,5居(0,10)中央,丙,003+1=004=j,004居

(001,008)中偏左,乙与丙大致吻合,则Y:=5应留取,Y=0应舍弃.

心算完成:丽=156

(三)实个位i=5时,用扩缩原理和奇偶分析定解法.

例7设A=232'608'375,求=G=

解:由6216<232<343=7,得X=o根据G=一一×5'心算8×8375

=

67000,删去000与(的分母10相约简),得i=7,七补3,z=3,5z=15,又

h=6(67000中的6)为偶数,故=15.

心算完成:=615

例8设A:926'859'375,求=G:

解:由9729<926<1000=10,得x=9.心算8×9375:75000,删去000,得i=5,

五开5,z=5,5z=25,又h=7为奇数,进奇写换,故一yz:25+50=75

心算完成:=975

lI四,同余概念与几何作图定解法fI

同余:若a与b都是整数,m是一个固定的正整数,则当a—b能被m整除时,我

们称a,b对模m同余,记作:a=b(roodm)

例如(43—3)?10=4,则43;3(rood10),反过来也有3;43(rood10).如此

"

y取仅h+B的个位"可简作"Y;~th+p(mod10)"

"

Y与Y.互为替数"可简作"Y;Yt+5(mod10)""h是偶数",可简作"h;0(mod2)""h

是奇数",可简作"h;1(mod2)"取整函数:不超过U的最大整数记为[U],即k为整数,

【u]=k当k?U<k+1

例如[3.2]:3,[3.8]:3,,[4,,,69

,]:3(实际表示当

1二J

后三位为469时,求8倍数的后进).

利用同余记号,可以把"三"的速算方法概括为九位数可开尽立方根心算定理

(下称定理,证明从略).设正整数A==10.a+10'b+…+lOh

+i有可开尽立方根G,G=一xyz=lOOx+lOy+z,其中a,b,c,…,h,i,x,Y,z均为非

负整数,但a,b,c不全为0,且i?0,则=G的心算如下:

x=n,满足n3?<(n+1),正整数n?[1,9];fi,i=l,4,5,6,9

='

【l0一i,i=2,3,7,8

Y的求法分以下三种情形:

(一)当i:1,9,3,7时,Y有唯一解,

Y

7h.i=1

7h+6.i=9

3h+8.i=3

3h+4.i=7

(mod10)

I7h+3,i=4,6l

Yl;{3h+2,i=2}(mod10)【3h,i=8J

yz--=-y,+5(mod'10)j=+1(做图精度可以粗略),作直线AR与Bs,(/__TOYz)较

小时,则Y=yt(y=y2)应留取,而将y2(y,)

0

计算技巧

2.若AR?Bs,分别过T,Y-,Yz三点引AR的平行

线1T',Y.Y'-,YzY',并比较1T'到Y.Y'.及YY'间的距离,当1Tr'到Y,Y'-

(Y2Y'z)的距离较小时,则Y=Y-(Y=yz)应留取,而将yz(y-)舍弃.

U

y

(三)当i_5时,心算8×—fg—hi=h'i'000及z:

i,5,9

【10一i.i=3.7

则一yz=5z+50k,

其中h':lj,k=h'(mod2)小结:从多个解中确定将某一解留取,将其余解舍弃的

过程称为"多解定一".本文例5,8均为二解定一,今后还会碰到三解定一和四解定

一.已涉及到的二解定一方法有三种:甲法,例5,例6用的是"幸运猜价定解法",

又称为"粗略观察定解法",该法最易于普及;乙法,例7,例8用的是奇偶分析定解

法(目前仅限于i=5时使用),这两题也可以用甲法;丙法,定理用的是几何作图定解

法,其学术意义较大,而实用价值不如甲法.

值得说明的是本文的算法仍可以继续简化,由于牵涉到的预备知识和术语太多,

拟另文发表.笔者深信,经过算法简化研究,普及成人简易心算指日可待!赶超成人

心算的国际领先水平为期不远!作者:河北经贸大学教授

ZHUSU/~ANDZHU~INSUAN囫