火箭速度

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4.1.3火箭飞行原理

在火箭(rocket)发射过程中，燃料不断燃烧变成热气体，并

以高速从火箭尾部向后喷出，因而推动火箭向前作加速运动。

设火箭在外层空间飞行，火箭在t0

时刻的速度为ν

0

，火箭(包

括燃料)的总质量为M0

，热气体相对火箭的喷射速度为u。

随着燃料消耗，火箭质量不断减少，火箭速度不断加快，当

燃料用尽后的火箭质量为M，此时火箭所获得的速度ν是多少呢？

下面具体计算。

第一步：讨论在任意时刻火箭飞行情况，选取某一时刻t和

tt时刻的火箭原质量m，喷出的质量dm和喷出气体后火箭质量

(m-dm)为研究对象，分析此系统的运动情况。

设某一时刻t，火箭质量为m，相对地面速度为v；

在tt时间，火箭喷出的质量为dm(dm是质量m在dt时间

内所喷出的质量)的气体。喷出的气体相对火箭的速度为u，方向

与ν相反；

选择火箭和喷气所组成的部分为系统：

喷气前：总动量为mv；

喷气后：火箭动量dv)dm)(v(m；

喷出的气的动量u)dvdm(v;

忽略空气阻力和重力，系统动量守恒。

第二步：应用动量守恒列式：

dv-u)dm(vdv)(m-dm)(vmv

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忽略高阶无穷小，并整理后得0udmmdv，即：

m

dm

-udν

对上式两边积分，t0→t时间，其速度变化为ν

0

→ν，其质量

由M0

变化为M，于是有：

m

dm

-udν

M

M0

ν

ν0



所以：

M

M

uln

M

M

ulnνν0

0

0



即：

M

M

ulnνν0

0



这就是当t0→t时刻，火箭的质量从M0

→M时火箭的速度公式。

第三步：要求火箭在全部燃料用完时的速度。

如果设火箭开始飞行时速度为零(ν

0＝0)，燃料用尽时质量

为M，那么根据上式解得火箭能够达到的速度为：

M

M

lnν0（４-６）

式中

M

M

0称为火箭的质量比。

要把航天器发射上天，则火箭获得的速度至少要大于第一宇宙速

度。若要使航天器离开地球到达其他行星或脱离太阳系到其他星系，

则火箭获得的速度应分别大于第二宇宙速度和第三宇宙速度。但是按

计算可得一级火箭的速度是vf≈10.8（千米/秒），由于此式导出时

未计入地球引力和空气摩擦力产生的影响，加上各种技术的原因，单

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级火箭的末速度vf将小于第一宇宙速度v1=7.9千米/秒；这就是说，

单级火箭并不能把航天器送上天。运载火箭通常为多级火箭，多级火

箭是用多个单级火箭经串联、并联或串并联组合而成的一个飞行整

体。图4-５是串联式三级火箭的示意图。图4-６是中国“长征”号

运载火箭的部位安排。

图4-5多级火箭图4-6

1动量及动量守恒定律

动量守恒定律是自然界的普遍守

恒定律之一,在高速和微观领域里,

牛顿定律不再适用,而动量概念仍然

有用,动量守恒定律仍然成立,只是质点动量的表达式与经典力学

中的表达式不同。

在经曲力学中p=mv

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在相对论力学中p=mv/(1-v2/c2)1/2

对于微观粒子p=h/λn

在新近的一些物理书中,往往从实验出发总结出动量守恒定律,

就在于强调它的独立性和普遍性,本文只限于讨论经典力学问题。

从本质上讲,一个系统(当然也可以是一个物体的系统)的动量守

恒,可表述为:p=恒矢量,或表述为△p=0,至于在不同情况下动量守

恒的表述则是多种多样的。如由两个质量分别为m

1

、m

2

的物体组成

的系统,在系统所受合外力为零的条件下,系统的总动量守恒,即

m

1

、m

2

之间有相互作用,甚至发生碰撞,一个物体分裂为两个物

体,或是两个物体结合为一个物体等等,系统的总动量守恒,可

视具体情况而分别写出

m

1

v

1

+m

2

v

2

=m

1

v

1

+m

2

v

2

m

1

v

1

+m

2

v

2

=m

1

v

1

+m

2

v

2

(m

1

+m

2

)v

1

=m

1

v

1

+m

2

v

2

m

1

v

1

=(m

1

+m

2

)v

2

在应用动量守恒定律处理问题时要注意:

(1)在系统所受外力的矢量和恒为零的情形下,尽管系统的总

动量恒定不变,但是由于内力的作用,系统内各物体的动量都可

以发生改变。

(2)动量是矢量,因此在应用动量守恒定律的数学表达式时,

必须明确它是一个矢量式,如果它是一维运动,则可转化为标量式

进行处理。

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(3)系统所受合外力不为零,系统的总动量不守恒,但是,

如果系统所受合外力在某一方向的分量为零,则系统的总动量在该

方向上的分量守恒。

(4)应用动量守恒定律要格外注意速度的相对性。系统内各物

体的速度应是对同参照系而言,否则要用相对速度公式换算成对同

一参照系。

2火箭的飞行原理

宇宙飞船、导弹等均以火箭为动力,火箭飞行的原理实质上就是

动量守恒定律。火箭体燃烧室

内,燃料燃烧生成的高温高压气体不断由火箭向后喷出,获得向后

的动量,因此按动量守恒定律,火箭获得向前的动量。燃料不断燃

烧,连续向后喷出气体,使火箭不断地受到向前的反冲力,这个反

冲力即推动火箭箭体加速飞行的动力。由于燃料不断燃烧,火箭体质

量不断减少,所以火箭体是一个变

质量物体。

3火箭的飞行速度及收尾速度

这里只限于讨论一种理想的情况:火箭在自由空间飞行,即火箭不受

重力和空气阻力等任何外力。根据这一假设,火箭体和喷出的气体组

成系统,在喷气过程中系统总动量守恒。设在t时刻火箭质量为m,

速度为v,在dt时间内由尾部向后喷出质量为-dm的燃烧气体

(这里火箭质量的增量dm为负值),相对火箭的喷气速度为u,

试求火箭在t+dt时刻的速度表达式及火箭(一级)的收尾速度。

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t时刻,喷气前火箭系统的总动量为p

1

=mv

t+dt时刻,喷气前后火箭体的动量为(m+dm)(v+dv)

t+dt时刻,所喷出的气体的动量为(-dm)(u+v+dv)

其中(u+v+dv)为所喷出的气体相对地面的速度。当喷出气体相对

火箭的速度为u时,火箭体的

速度已改变为v+dv,而不是v,u和v+dv是同时刻的。当喷出气

体以后,火箭箭体的速度只能是v+dv。t+dt时刻,喷气后火箭体

系的总动量为

p

2

=(m+dm)(v+dv)+[-dm(u+v+dv)]

根据动量守恒定律,可以写出沿火箭前进方向的投影式

(m+dm)(v+dv)+(-dm)(-u+v+dv)=mv

展开整理后得mdv+udm=0dv=-udm/m

故可写出t+dt时刻火箭体的速度为v+dv=-udm/m+v,由于

dm<0,自然有v+dv>v,即火箭体因喷出气体而加速。进一步求

火箭喷完气体后的速度,即收尾速度。设火箭刚起飞时质量为m

0

,速度为零,火箭关机时刻火箭的质量为m,火箭最终得到的速度

为v,对上述方程积分,则有#v

o

dv=-u#mm

0

dm/m

火箭的末速v=-uln(m/m

0

)=uln(m

0

/m)

此式即为火箭的理想速度公式,也称齐奥尔科斯基公式。在有的书中

是这样写的:

t时刻,喷气前火箭系统的总动量是p

1

=mv

t+dt时刻,喷气后火箭体系的总动量是

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p

2

=(m+dm)(v+dv)+(-dm)(-u+v)

但在展开p

1

=p

2

时忽略二阶小量dmdv后得到相同的结果,这后一

种处理方法是不严格的。总之,动量守恒定律是自然界中最为普通的

守恒定律之一,它有着十分广泛的应用。在用动量守恒定律分析解决

问题时,正确理解相对速度的同时性是处理好问题的关键。针对一个

物理过程的两个不同时刻,相对于同一惯性系,分别写出两个不同时

刻系统各物体的动量及其总和,或者各物体的动量在某一方向上的

分量及其总和,运用守恒定律建立方程,方可求得问题的正确解答。

参考文献

1李椿,夏学江.大学物理(理论核心部分).北京:高等教育出版

社,1997

2孟秀兰.物理通报.1998,10(26)

3复旦大学,上海师范大学物理系.物理学(力学).上海:上海科

学技术出版社,1982

三、多级火箭

由以上分析可知，要提高火箭的速度就要尽量加大气体排出速

率u和提高质量比M

0

/M,但提高M

0

/M值在技术是有很多困难的。

所以，在设计火箭时，为了获得很大的速度，一般采用多级火箭。

在火箭飞行过程中，第一级火箭先点火，当第一级火箭的原料用完

后，使其自行脱落，这时第二级火箭开始工作，余此类推，这样可

以使火箭获得很大的飞行速度。

设各级的质量比为N

i

，

则

1101

lnNuvv

2212

lnNuvv

……………………

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nnnn

Nuvvln

1





因而

nnn

NuNuNuvlnlnln

2211

＋＋＋

当u

1

=u

2

=u

3=

…=u

N

时，有

)ln)lnlnln

2121nnn

NNNuNNNuv（＋＋＋（

例如，当u=2000m/s，N=5

三级火箭，速度就可得v=10100m/s

但级数越多，技术越复杂。一般采用三级火箭。

美国发射的“阿波罗”登月飞船的“土星五号”火箭为三级火箭，第一级：u

1

=2.9km/s，

N

1

=16；第二级：u

2

=4km/s，N

2

=14；第三级：u

3

=4km/s，N

3

=12；火箭起飞质量为2.8×106kg，

高度为85m，起飞推力为3.4×107N。

我国的长城三号火箭为三级火箭，火箭起飞质量为2.02×105kg，高度为43.35m，起飞

推力为2.74×107N，从1986年起开始为国际提供航天发射服务。

四、在地球表明情况

对于在引力场中竖直发射的火箭，如忽略空气阻力，有

dt

dM

ugm

dt

vd

M







若火箭在飞行过程中，气体排出速率和重力加速度均为常数，则有



M

M

t

t

v

v

M

dM

udtgvd

000







得

0

00

ln)(

M

M

uttgvv





因为火箭竖直向上发射，取竖直向上为正向。且设

0,0

00

vt



，则时刻t，火箭的速度为

gt

M

M

u

M

M

ugtv－＝－

00

lnln

例题：一长为l，密度均匀的柔软链条，其单位长度的密度为λ。将

其卷成一堆放在地面上。若手握链条的一端，以匀速v将其上提。

当绳端提离地面的高度为x时，求手的提力。

解：取地面为惯性参考系，地面上一点为坐标原点O，竖直向上为

x轴。以整个链条为一系统。设在时刻t，链条一端距原点的高度为

x，其速率为v，由于在地面部分的链条的速度为零，故在在时刻t，

链条的动量为

ixvtp







链条的动量随时间的变化率为



ivi

dt

dx

v

dt

tpd





2

9/9

作用在整个链条的外力，有手的提力F，重力λxg和λ(l-x)g以及地面对链条的支持力N，

由牛顿第三定律知N与λ(l-x)g大小相等，方向相反，所以系统所受的合外力为

ixgFgxF







)(－＝－

因而ivixgF



2)(－

故xgvF2＋