比例的性质

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比例的性质

或许你在某个地方听说过比例，可你是否了解比例呢？我想没有。来

吧，跟随我们的脚步，跨入比例的大门！首先我们来了解什么是比。

什么是比？

比：两个数相除又叫做两个数的比

比值：比的前项除以比的后项所得的商，叫比值。

比只有两个项：比的前项和后项。

比例是一个等式，表示两个比相等；有四个项：两个外项和两个内项。

知道了什么是比，接下来就是更有趣的——比例的性质

一、合比性质

1、合比性质的用途

合比性质是数学分数计算中常用的性质之一，属于合分比性质中的三大性质

之一（包括合比性质、分比性质和合分比性质）。主要运用于三角函数等计算。

2、合比性质的表达

文字：在一个比例里，第一个比的前后项的和与它后项的比，等于第二个比

的前后项的和与它的后项的比，这称为比例中的合比定理，这种性质称为合比性

质。

字母：已知，且有，如果，则有

。

3、推导过程

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4、典型例题

如图，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，EF是AD的垂直平分线且

交AB于E，交BC的延长线于F，求证：DC·DF=BD·CF

分析：

欲证：DC·DF=BD·CF

即证：DC/CF=BD/DF

即证：(DC+CF)/CF=(BD+DF)/DF

若连结AF，则AF=DF

故即证：AF/CF=BF/AF

只需证△FAB∽△FCA

证明：

连结AF，则AF=DF，∠FAD=∠FDA

∵AD平分∠BAC

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∴∠BAD=∠CAD

∴AF=DF

∴∠FDA=∠FAD

又∵∠FAD=∠CAD+∠CAF，∠FDA=∠B+∠BAD

∴∠B=∠CAF

∴△FAB∽△FCA。

二、分比性质

1、表达

文字：在一个比例等式中，第一个比例的前后项之差与第一个比例的后项

的比，等于第二个比例的前后项之差与第二个比例的后项的比。

字母：已知，且有，如果，则有

。

2、推导过程

三、合分比性质

1、表述

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文字：在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的前后项

之差的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的前后项之差的比。

字母：已知，且有，如果，则有

。

2、推导过程

则令

四、等比性质

1、表达

文字：在一个比例等式中，两前项之和与两后项之和的比例与原比例相等

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字母：已知，且有，如果，则有

。

2、推导过程

证法一

令，则

证法二

由合比性质

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即

3、推论

已知，且有，如果

，则有

五、更比性质

1、表达

文字：把一个比例的一个比的前项与另一个比的后项互调后,所得结果仍是

比例.

字母：如果a/b=c/d那么a/c=b/d（b、d≠0）

2、推导过程

a/b=c/d等号两边同乘bd得ad=cb同除dc得a/c=b/d

六、外项的积等于内项的积

1、表达

文字：两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。

字母：如果（，，，都不等于零），那么＝．

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2、推导过程

用去乘的两边，得·bd＝·，所以＝．

3、深层推导

如果两个数的积等于另外两个数的积，那么这四个数可以组成比例，用

式子表示就是：如果＝，那么（、都不等于零）．这是因

为用去除d＝两边，得，所以．如果、也不等

于零，那么，我们还可以分别用、、去除＝两边，得到另外

不同的三个比例，．如果把上述四式等号的左右两边对调，

那么又可以得到另外的四个比例：．

这就是说，如果两个数的积等于另外两个数的积，那么这四个数就可以组

成八个比例．这八个比例的形式不同，也就是各个数在比例中的位置不同．

根据比例的性质还可以得出：已知比例中的任意三项，就可以求出另外一

项．例如，由4∶5＝8∶，得4＝5×8，＝10．求比例中的未知项，叫

做解比例．