分布函数右连续

奇异型随机变量的分布函数

刘倩

【摘要】构造奇异型随机变量,比较这类随机变量的分布函数与常见离散型和连续

型随机变量分布函数的区别,并讨论这类随机变量分布函数的性质.通过实例给出这

类既非离散又非连续型随机变量分布函数间断点的判断方法.

【期刊名称】《高师理科学刊》

【年(卷),期】2017(037)008

【总页数】3页(P83-85)

【关键词】奇异型随机变量;分布函数;间断点

【作者】刘倩

【作者单位】西安电子科技大学数学与统计学院,陕西西安710071

【正文语种】中文

【中图分类】O211.1;G642.0

分布函数作为全面描述随机变量统计规律的一个函数，构建了随机现象和数学分析

之间的一座桥梁．然而，在绝大多数的理工科概率统计教材[1-2]中，只讨论了现

实中广泛存在的离散型和连续型随机变量以及它们的分布函数．因此，大部分学生

都误以为随机变量不是离散型的，就是连续型的．其实还存在一种随机变量，它既

不是离散型，也不是连续型，这是一类人为构造的随机变量，一般将这类随机变量

称为奇异型随机变量或者混合型随机变量[3-4]．本文将讨论此类随机变量分布函

数的性质，特别是其间断点的判断方法．

例1[5]设与都是分布函数，又，是2个常数，且．证明：也是一个分布函数，

并由此讨论分布函数是否只有离散型和连续型这２种类型．

显然，当与都是分布函数时，易证函数满足分布函数的３条基本性质，即单调不减

性、极限性质和右连续性，因此，可以判断函数是一个分布函数．更重要的是，例

１提供了一种人为构造随机变量分布函数的方法，进而讨论随机变量的类型．

在例1中，假设，且令，，那么是一个分布函数，借此判断此分布函数对应的随

机变量的类型．

显然，函数只在处不连续，是一个跳跃间断点，函数值跳跃的幅度为0.5，因此，

它不是一个连续型随机变量的分布函数．同时，分布函数也不具有“阶梯形”的特

点，即在某个子区间上函数值并不恒为某个常数，所以，也不是一个离散型随机变

量的分布函数．因此，与函数对应的随机变量既不是连续型也不是离散型的，这样

就人为构造了一个奇异型随机变量．根据函数表达式的形式可以得到：该随机变量

以0.5的概率取单点“0”，以0.5的概率服从区间上的均匀分布．

对于奇异型随机变量，它的分布函数具有不同于离散型和连续型随机变量分布函数

的特点．一方面，分布函数右连续，但在每一个分段区间内不是常函数，这一点区

别于离散型随机变量的分布函数；另一方面，分布函数不是连续函数，这一点区别

于连续型随机变量的分布函数．更进一步地，基于此性质，可以对奇异型随机变量

分布函数的间断点问题进行判断，这部分内容也是近几年工科研究生入学考试（数

学一）中的热点问题之一[6-8]．

例2设随机变量服从参数为的指数分布，判断极小值函数的分布函数是否为连续

函数或阶梯函数，并判断的间断点个数．

解用分布函数法求解随机变量的分布函数，即

因为，所以．

显然，只在处不连续，是一个跳跃间断点，函数值跳跃的幅度为．同时，分布函数

在区间上不是常函数，因此，与函数对应的随机变量是一个奇异型随机变量．随机

变量以的概率取单点“2”，以的概率在区间上取值，服从参数为的指数分布．因

此，随机变量的分布函数恰好有１个间断点．

例3设随机变量与相互独立，且，的分布律为，判断乘积函数的分布函数的间断

点个数．

解利用全概率公式求解分布函数，需要分情况进行讨论．

当，（此时，）．

当，类似地，有（此时，）．

综上可知，．

显然，只在处不连续，是一个跳跃间断点，函数值跳跃的幅度为0.5．同时，分布

函数在各个区间段上均不是常函数，因此，与函数对应的随机变量是一个奇异型随

机变量，该随机变量以0.5的概率取单点“0”，以0.5的概率在区间上取值，且

服从．因此，随机变量的分布函数恰好有１个间断点．

本文从一道关于分布函数的证明题开始，对随机变量的分类问题展开讨论．首先，

给出了既非离散又非连续型的奇异型随机变量分布函数的构造方法；其次，总结了

奇异型随机变量分布函数不同于离散型和连续型随机变量的特点，并通过实例给出

了奇异型随机变量分布函数间断点问题的一般求解方法．通过分析这类随机变量的

特点，可以利用已有知识来求此类随机变量的分布函数和间断点问题，加深对随机

变量概念的理解．

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