常用对数

1

对数相关知识

概述：对数是高中代数中一块重要内容，主要考察对数函数以及与对数相关的

运算等〔包括各种公式〕，在此总结如下：

定义：对数源出于指数

logx

a

aNxN，0a且1a，0N

常用对数：

10

lglogNN；自然对数：lnlog

e

NN，

2.7e

一．代数根本关系式.(根底)

把指数式代入对数式消去

N

，得到

*〔F1〕logx

a

ax，0a且1a，x

说明：xaaxx

a

a

x

alog为底做对数运算以为底作指数运算以

特别地，对应

0x

和

1x

的情况，有

*〔F1.1〕log10

a

，

0a

且

1a

*〔F1.2〕log1

a

a，

0a

且

1a

把对数式代入指数式消去x，得到

〔F2〕真数复原:log

a

NaN，

0a

且

1a

，

0N

说明：logloga

N

aa

a

NNaN以为底做对数运算以为底做指数运算

应用举例：

例1：求值(E1)

32

1

log

256

；(E2)3

log227；(E3)9

log227。

解：(E1)55

8

85

5

32

22

18

loglog2log2

2565





(E2)3

333

3

log2

log23log2log2

332733328

(E3)为了底数变为相同，先分析27与9的关系，3

3

32

2

227339，所以

9

99

log2

33

3

log2log2

22

22799222









注：需要使用的指数恒等式：sr

rrssrsaaaa

，0a。做这一类题的关键

在于关注底数是否相同，底数不同的想方法化成同底数，然后应用公式。

自己动手：(Q1)

7

log49；(Q2)

1

2

log8；(Q3)

1

27

log243；(Q4)2

log52；(Q5)3

2log533。

〔F3〕loglog

aa

NMMN，0a且1a，,0MN

2

证明：因为log

logloglogloga

aaaa

N

MNMNaaM

同理log

logloglogloga

aaaa

M

NMNMaaN

上面两式的左边底数相同，指数的相等由乘法交换律保证着，所以

loglog

aa

NMMN。

应用举例：

例1：(E2)3

log227；(E3)9

log227

解：用〔F3〕重新做：

(E2)33

log2log27

327228；(E3)

3

2

2

2

993

3

log3

log2log27

22722222

。

注：〔F3〕可以方便计算这一类题，在做选择填空上可以快一点点。

自己动手：(Q6)

5

1log71

25







；(Q7)32

log278。

二．积的对数、商的对数、幂的对数。〔重点〕

*〔F4〕logloglog

aaa

MNMN,

0a

且

1a

，

,0MN

证法一：令mMa，nNa，那么log

a

mM，log

a

nN，所以

logloglogloglogmnmn

aaaaa

MNaaamnMN

。

证法二：logloglogloglogloglogloglogaaaa

MNMN

aaaaa

MNaaaMN

。

证法一首先引入了辅助的,mn，最后求得结果后换回

,MN

。证法二是不引入辅

助量而是利用了〔F2〕和〔F1〕。两种方法根本步骤一样，没有本质区别。

(F4.1)扩展到多个数的积的情况：0a且1a，

12

,,,0

k

NNN



1212

loglogloglog

akaaak

NNNNNN

*〔F5〕

logloglog

aaa

M

MN

N



,0a且1a，,0MN

*〔F6〕loglogn

aa

MnM，0a且1a，0M，n

证法一：令mMa

，那么log

a

mM，所以

loglogloglogn

nmmn

aaaa

MaamnnM









。

证法二：loglogloglogloglogaa

n

MnM

n

aaaa

MaanM









。

应用举例：

3

例2：求值：〔E8〕

lg2lg5

；〔E9〕

33

log723log2；〔E10〕

7

lg142lglg7lg18

3



；

〔E11〕2lg2lg50lg5；

解：〔E8〕lg2lg5lg25lg101；

〔E9〕33

333333

log723log2log72log2log722log92

；

〔E10〕

2

1

555555

77

log142loglog7log18log14718log10

33





















注：把所有减法做成加法，把所有除法做成乘法。

〔E11〕2lg2lg50lg522lg2lg25lg5







2lg2lg22lg5lg5

22lg22lg2lg5lg52lg2lg51

例3：(E12)log18

a

m，log24

a

n，

0a

且

1a

，求log1.5

a

。

分析：质因数分解：21823，32423，而11.523，它们都由以2或

3

为

底的幂所“组成〞。注意这里要解一元二次方程组。

解：因为log18log22log3

aaa

m〔1〕

同理log243log2log3

aaa

n〔2〕

从上面两式解出log2

a

和log3

a

〔m和n是量，把log2

a

和log3

a

看作未知量〕

〔2〕2-〔1〕：

21

5log22log2

55aa

nmnm

〔1〕3-〔2〕：

31

5log33log3

55aa

mnmn

所以

43

log1.5log3log2

55aaa

mn

自己动手：

〔Q8〕

55

2log10log0.25；〔Q9〕

1

lglg25

4



；〔Q10〕2lg2lg5lg20；

〔Q11〕22lg52lg2lg2；

〔Q12〕lg2a，lg3b，lg7c，求以下各式的值：

〔Q12.1〕lg105；〔Q12.2〕lg75；〔Q12.3〕lg2.8；〔Q12.4〕

5

lg

6

。

三：对数式连锁。〔这个恒等式比拟难，有兴趣的同学可以看一下〕

4

〔F7〕logloglog



，,0,11,，

0

。〔类比：





〕

证明：记logn



，应用〔F6〕与〔F2〕，有

logloglogloglogloglognn





。

〔F7.1〕扩展应用：

011

,,,0,11,

n





，0

n



01210

121

logloglogloglog

nn

nnn









类比：1

12

01210

nnn

nn













应用举例：

例4：〔E13〕logloglog

abc

bca；〔E14〕

23

log3log4。

解：由〔F7.1〕：〔E13〕loglogloglog1

abca

bcaa，,,0,11,abc。

〔E14〕

232

log3log4log42

自己动手：〔Q13〕

5432

log4log3log2log5；〔Q14〕

4567

log5log6log7log8。

四：换底公式。〔既是重点又是难点〕

前面的恒等式的变换〔F1—F6〕都没有触及底数，对数的运算大多要求底数相同，

当底数不同时，对底数进行变换令其变为相同非常必要，所以换底公式是为了在

运算中统一底数，降低运算难度而出现的。

**〔F8〕

log

log

log

c

a

c

b

b

a

，,0,11,ac，0b。〔类比：

/

/

bbc

aac



〕

证法一：由〔F7〕得logloglog

cac

abb，即

log

log

log

c

a

c

b

b

a

。

证法二：令ac，bc，那么log

c

a，log

c

b，所以

log

logloglog

log

c

a

cc

c

b

bcc

a



















。

注意到，换底公式从左到右的应用过程中，底数由a变为c，右边成为对数的商

的形式，其中c可以在0,11,范围内根据实际情况任意选取。只需对c取

一些特殊值，便可得到换底公式一些常用形态。

〔F8.1〕取10c，

lg

log

lga

b

b

a

；

5

〔F8.2〕取ce，

ln

log

lna

b

b

a



；

〔F8.3〕取cb，

1

log

loga

b

b

a

，即loglog1

ab

ba，底数与真数互换之后的

对数式与原对数式互为倒数；

*〔F8.4〕

loglog

r

s

a

a

s

MM

r



，0a且1a，0M，0r，s

证明：用换底公式〔F8〕，把底数换成a，得到

log

log

logr

s

s

a

r

a

a

M

M

a



，再应用(F6)

与(F1)，有

loglog

log

s

aa

r

a

MsM

ar



，结合起来便得到〔F8.4〕。

恒等式〔F8.4〕是恒等式〔F6〕的增强版本。

〔F8.5〕对数式中，底数和真数同时进行同指数乘方〔该指数非零〕，对数式的

值不变。

loglog

n

n

a

a

MM，

0a

且

1a

，

0M

，

0n

这样底数a可以换成与之关系比拟密切的na

，例如

2

log3可以“扩充〞成为

4

log9，也可以“收缩〞成为

2

log3

，也可以“倒转〞成为

1

2

1

log

3

，视乎需要

使用。

〔F8.6〕多个对数式连乘积中，将所有真数以任意顺序重排，将所有底数以任意

顺序重排，得到新的对数式连乘积的值与原式相等。

这个公式写出来比拟麻烦，下面用例子说明：如

3579

log4log6log8log10

真数是：

4,6,8,10

，底数是：

3,5,7,9

，我们把真数随意重排：

6,10,8,4

，底数重

排后：7,5,3,9，新的对数式

7539

log6log10log8log4

3579

lg4lg6lg8lg10

log4log6log8log10

lg3lg5lg7lg9



7539

lg6lg10lg8lg4

log6log10log8log4

lg7lg5lg3lg9



观察上面两式右边，分子和分母分别都只是顺序不同而已，乘法交换律保证了两

对数式连乘积的相等。

35797539

log4log6log8log10log6log10log8log4

应用举例：

6

例5：〔E15〕

235

111

logloglog

2589

；〔E16〕

4839

log3log3log2log2。

解：〔E15〕对数式的连乘，与对数式连锁有点相似，但稍微复杂，应用换底公式

235

111

lglglg

1112lg53lg22lg3

2589

logloglog12

2589lg2lg3lg5lg2lg3lg5





另外，应用〔F8.6〕，保持真数顺序不变，底数

2,3,5

重排为：

5,2,3

，有



235523

111111

loglogloglogloglog23212

25892589



〔E16〕括号之内底数不同，不能直接相加，全部换成常用对数



4839

lg3lg3lg2lg211lg31lg25

log3log3log2log21

2lg23lg2lg32lg323lg22lg34















例6：〔E17〕

2

log3a，

3

log7b，试用a，

b

表示

42

log56；

〔E18〕

3

log2a，

5

log2b，试用a，

b

表示

30

log90。

解：〔E17〕解法一：全部换成常用对数

2

lg3

log3lg3lg2

lg2

aa，

3

lg7

log7lg7lg3lg7lg2

lg3

bbab

〔这样

lg3

，

lg7

都可以用a,

b

,

lg2

表出，代入后便可以到达消元的目的〕

42

lg563lg2lg73lg2lg23

log56

lg42lg2lg3lg7lg2lg2lg21

abab

aabaab







解法二：事实上，如果把底数统一换成2或

3

的话，

2

log3a，

3

log7b两个式

子中有一个不用变换底数，会比拟方便，这里以3为例

23

3

11

log3log2

log2

a

a



333

42

3333

1

3

log563log2log7

3

log56

1

log42log2log3log71

1

b

ab

a

aab

b

a













〔E18〕题目条件给出的是

3

log2a，

5

log2b，一般来说，把底数换成2，3或

5都可以使问题简化，这里以2为例〔事实上，把底数换成3或5运算量更少〕。

32

2

11

log2log3

log3

a

a

，

52

2

11

log2log5

log5

b

b



7

2222

30

2222

11

12

log90log22log3log5

2

log90

11

log30log2log3log5

1

abab

ab

abab

ab













〔或2

3030

222

1

log3

log901log3111

11

log2log3log5

1

b

a

abab

ab







〕

注：这里解题关键是注意观察，熟悉质因数分解和对数运算恒等式，以及选取适

当的底数进行换底。

例7：〔E19〕正数,,xyz满足：346xyz，求证：

111

2zxy

；

(E20)log2

a

x，log3

b

x，log6

c

x，求log

abc

x的值。

〔E19〕证明：引入设而不求的未知数，令346xyzt，那么

3

logxt，

4

logyt，

6

logzt

〔观察上面三式，真数相同而底数不同，所以把底数统一换成t将会方便运算〕

利用〔F8.3〕，可得

1

log3

tx



，

1

log4

ty

，

1

log6

tz



所以

1111

log6log3log2log4

22ttttzxy



〔E20〕把底数统一换成x，由〔F8.3〕得

1

log

2x

a

，

1

log

3x

b

，

1

log

6x

c

111

log1

111

loglogloglog

236

abc

xxxx

x

abcabc







注:把出现频率较高的量作为底数是十分有效的。

自己动手：

〔Q15〕

83

log9log2；〔Q16〕

248525125

log125log25log5log2log4log8；

〔Q17〕例6〔E17〕中通过把底数换成2求解；

〔Q18〕设

18

log9a，

5

log18b，试用,ab表示

36

log45；

〔Q19〕设3575xy，求

11

2xy

的值。

8

附录

1.乘方表

k0

12

3

4

5678910

2k124

865121024

k2

1

2

1

4

1

8

1

16

1

32

1

64

1

128

1

256

1

512

1

1024

1

k0

12

3

4

56

k3

1

392781243729

k3

1

3

1

9

1

27

1

81

1

243

1

729

1

k

4

3

21

0

12

3

4

k5

625

1

125

1

25

1

5

1

1

525125625

k3

21

0

12

3

k7

343

1

49

1

7

1

1

749343

2．常用对数表与自然对数表

x

2

357

11

13171910

e

xlg0.30100.47710.69900.84511.04141.11391.23041.27881.00000.4343

xln0.69311.09861.60941.94592.39792.56492.83322.94442.30261.0000