三棱台

高二数学棱柱、棱锥和棱台

【本讲主要内容】

棱柱、棱锥和棱台

棱柱的概念及性质、棱锥的概念及性质和棱台的概念及性质

【知识掌握】

【知识点精析】

1.棱柱的有关概念和性质。

（1）棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形

的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。

（2）棱柱的几个概念。

这里，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面；两个面的公共边

叫做棱柱的棱，其中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的

顶点，不在同一个面内的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线，两个底面的距离叫做棱柱的高。

（3）棱柱的表示方法：棱柱用表示底面各顶点的字母来表示，如三棱柱ABCABC

111

（4）棱柱的分类。

棱柱按底面边数可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……

按侧面与地面是否垂直，棱柱又可以分为直棱柱和斜棱柱。底面是正多边形的直棱柱叫

做正棱柱。正棱柱是特殊的直棱柱。

（5）棱柱的性质：

①侧棱都相等；②侧面都是平行四边形；③两个底面与平行于底面的截面是全等的多边

形；④过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。

平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱；

直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体；

长方体：底面是矩形的直平行六面体；

正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体。

四棱柱与特殊的平行六面体有如下关系：

{正方体}{正四棱柱}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}{四棱柱}

长方体的性质：长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。

2.棱锥的有关概念。

（1）棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些

面围成的几何体叫做棱锥。

（2）棱锥的几个概念。

这个多边形叫做棱锥的底面，其余各面叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱锥的

侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。

（3）棱锥的表示方法：棱锥用表示顶点和底面各顶点，或者底面一条对角线端点的字

母来表示，如棱锥S－ABCDE，或者棱锥S－AC。

（4）棱锥的分类

棱锥按底面多边形的边数可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……

正棱锥是一种特殊的棱锥，它满足以下条件：

①底面是正多边形；②顶点在底面的射影是底面的中心。只有正棱锥才有斜高（顶点到

底边的垂线段），其他棱锥的顶点到各底边的垂线段不都等长。

（5）棱锥的性质。

一般棱锥的性质：

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们的面积的比等于截

得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比。

正棱锥的性质：

①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，它叫做

正棱锥的斜高。

②棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱

在底面内的射影也组成一个直角三角形。

3.棱台的有关概念。

（1）棱台的定义：棱锥被平行与底面的平面所截，两个平行平面间的几何体叫做棱台。

（2）棱台的几个概念。

原棱锥的底面叫做棱台的下底面，截面叫做棱台的上底面，其余各面叫做棱台的侧面，

相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱台的顶点，原棱锥的高被截得

的部分叫做棱台的高。

（3）棱台的表示方法：棱台用表示底面各顶点的字母来表示，如棱台ABCABC'''。

（4）棱台的分类

棱台按底面多边形的边数可以分为三棱台、四棱台、五棱台……

正棱台是一种特殊的棱台，它满足以下条件：

①底面是正多边形；②侧棱延长线交点在上下底面的射影分别是上下底面的中心。只有

正棱台才有斜高（同一侧面与上下两个底面交线的中点连线）。

（5）棱台的性质。

正棱台的性质：

①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形。各侧面内的斜高相等。

②棱台的高线、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角梯形；棱台的高线、侧棱和侧

棱在底面内的射影也组成一个直角梯形。

【解题方法指导】

例1.已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且

ABAC3

，BC=2，则以BC为

棱，面BCD与面BCA所成二面角的大小是（）

A.

arccos

3

3

1

3

C.



2

D.

2

3



解：依题意，AB=BD=AC=CD=

3

，BC=AD=2

因此取BC中点E，联结AE、DE，

则有AE⊥BC，DE⊥BC

得∠AED是所求二面角的平面角

∵AE=DE=

2

∴

ADAEDE2224

∴∠AED



2

D

C

AE

B

点评：本题没有附图，考生必须自己作图，因而考查了基本作图能力，解题的关键是在

于审题时，认清图形的对称性。

例2.设有三个命题：

甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体

乙：底面是矩形的平行六面体是长方体

丙：直四棱柱是直平行六面体

以上命题真命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

思路：根据平行六面体、长方体以及直平行六面体的概念即可判断真假。

解：甲命题符合平行六面体的定义，故甲命题正确。底面是矩形的平行六面体的侧棱，

可能与底面不垂直，故乙命题是错误的。因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故丙命

题是错误的。故选B。

点评：本题关键在于明确几何体的概念、特征。

例3.直三棱柱

ABCABC

111

所有棱长为a，求面对角线

ABBC

11

与

所成角的余弦值。

解：取AB、

BBBC

111

、

中点E、F、G，连结EF、FG、GE

取BC中点H，连结GH、EH

A

1

C

1

B

1

G

F

H

C

E

A

B

∵FG//BC1，EF//AB1

∴直线FG与EF所成的角即为

ABBC

11

与

所成的角

由于

ABCABC

111

是各棱长均为a的直三棱柱

∴GH⊥面ABC且GH=a，EH

a



2

∴

GEa

5

2

在△GEF中，

EFABaFGBCa

1

2

2

2

1

2

2

211

，

∴cos∠EFG

1

4

∴∠EFG=arccos()

1

4

∴AB1与BC1所成角的余弦值为

1

4

点评：考生应熟练掌握直三棱柱的性质。

【考点突破】

【考点指要】

棱柱、棱锥是立体几何中的重要几何体，高考常以棱柱、棱锥为载体，考查有关位置关

系的证明和量的计算，棱台的问题往往通过割补法转化为棱锥来解决。

其中以棱柱为载体的试题常以解答题形式出现，考查的知识点较多，如线面平行、线面

垂直、面面平行与面面垂直，异面直线所成的角及距离等。在计算的时候要注意把某些平面

图形分离出来，运用平面几何方法进行解决，这是解决立体几何中计算问题的重要方法与技

巧。

【典型例题分析】

例1.在正三棱柱ABCABC

111

中，若ABBB2

1

，则AB

1

与CB

1

所成的角的大小为

（）

A.60°B.90°C.105°D.75°

解析：如图，

DD

1

、

分别为

BCBC

11

、

中点连结AD、DC

1

A

1

C

1

D

B

1

D

1

A

B

C

E

设BBAB

1

12，则

则B1D为

AB

1

在平面

BC

1

内的射影

又BEBDCBC

BC

BC



3

3

2

2

2

31

1

，，cos

∴DEBEBDBEBDCBC222

1

2

1

6

cos

而BEDEBD222

1

3

1

6

1

2



∴∠BED=90°∴AB1与C1B垂直

故选B

例2.设棱锥的底面面积为

82cm

，那么这个棱锥的中截面（过棱锥的高的中点且平行于

底面的截面）的面积是（）

A.4

cm2B.

222cmC.2

cm2D.

22cm

解析：∵棱锥被中截面截得的棱锥与原棱锥是相似体

且相似比为1/2

∴截面（即小棱锥的底面）面积等于原棱锥底面面积的

1

4

∴应为

22cm

，故选C

例3.已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（）

A.

323

B.

283

C.

243

D.

203

解析：正六棱台的上、下底面面积分别为

S

S

上

下





6

3

4

263

6

3

4

4243

2

2

VhSSSS

台上上下下



1

3

283()

故选B

【综合测试】

一.选择题

1.侧棱长为

23a

的正三棱锥V－ABC的侧棱间的夹角为40°，过顶点A作截面AEF，则

截面AEF的最小周长为（）

A.

22a

B.6aC.4aD.

123a

2.正方体

ABCDABCD

1111

中，P、Q、R分别是AB、AD、

BC

11

的中点，那么正方体的

过P、Q、R的截面图形是（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

3.设三棱柱

ABCABC

111

的体积为V，P、Q分别是侧棱

AACC

11

、

上的点，且PA=QC1，

则四棱锥B－APQC的体积为（）

A.

1

6

VB.

1

4

VC.

1

3

VD.

1

2

V

4.三棱台ABCABC

111

中，ABAB

1

211

，设三棱台体积为V，则四棱锥BAACC

111



的体积为（）

A.

7

8

VB.

6

7

VC.

5

6

VD.

4

5

V

二.填空题

5.长方体有公共顶点的三个面的面积分别是236、、，这个长方体对角线的长是

___________。

6.下面是关于三棱锥的四个命题：

①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。

②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥。

③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥。

④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角也相等的三棱锥是正三棱

锥。

其中，正确命题的编号是_________。

三.解答题

7.已知正四棱柱ABCDABCD

1111

，点E在棱DD

1

，DB

1

//面EAC，且面EAC与面ABCD

成45°角，AB=a。

（1）求截面EAC面积；（2）求异面直线

AB

11

与AC之间距离；（3）求三棱锥

BEAC

1



体积。

A

B

C

D

E

A

1B

1

C

1

D

1

综合测试答案

1.B提示：将三棱锥侧面展开，连结AA'，由余弦定理（或正弦定理）可求得，最小

周长为6a。

2.D提示：取CDDDBB

1111

、、中点M、N、S，则六边形MNQPSR即为所求。

3.C提示：VVVV

BAPQCBAACCBABC四棱锥四棱锥三棱柱三棱锥



1

2

1

211111

()



1

2

1

3

1

3

()VVV

4.B提示：将三棱台补成三棱锥SABC

111

，可求得VV

BAACCSABC

111111

3

4

，而

VV

SABC三棱锥



111

8

7

∴VV

BAACC四棱锥

111

6

7



5.

6

提示：设三边长分别为a、b、c，可解得a=1，

b2

，

c3

，则对角

线可求。

6.①④

提示：②反例如图

A

BD

C

△BCD为正三角形，AD⊥面BCD，AD=BD=CD

则三棱锥A－BCD不是正三棱锥

③侧面高线的垂足不一定是底边中点

7.提示：（1）连结BD交AC于O点，连结OE、OD

A

B

C

D

E

O

A

1B

1

C

1

D

1

∠EOD为面EAC与面ABCD所成的角，∠EOD=45°

∵AB=a∴AC=

2a

∵ED=DO=

2

2

a∴EO=a

∴

SACEOa

EAC



1

2

2

2

2

（2）∵BD

1

//面EAC，∴DBEO

1

//

∴E为DD

1

中点∴DDa

1

2

∴异面直线A1B1与AC之间的距离为

2a

（3）连结BD

11

，∵AC⊥BD，AC⊥DD1

A

B

C

D

E

O

A

1B

1

C

1

D

1

F

∴AC⊥面BDD1B1

∴面EAC⊥面BDD1B1，作B1F⊥EO于F，B1F为B1到面EAC的距离

矩形BDD1B1中，BDDDa

1

2

∴四边形

BDDB

11

为正方形

BFaVBFSa

BEACEAC11

3

3

2

1

3

2

41



