立方根公式

1

一、教学内容：

1、立方根的概念、表示、求法

2、用估算的方法求无理数的近似值

3、用计算器进行开方运算

二、教学目标

1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.

2、能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算，了解立方根的性质.

3、能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比

较两个数的大小。

4、能应用立方根的概念及性质解决实际问题。

三、知识要点分析

1、立方根的概念

（这是重点）如果一个数x的立方等于a,即

ax3

，那么这个数x就叫做a的立方根。

数

a

的立方根记作

3a

，这里的“３”是根指数，不能省略．开立方：求一个数a的立方根

的运算，叫做开立方.被开立方的数可以是正数、负数、0.开立方运算的结果是立方根.

立方根的性质：每个数都有一个立方根.正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0

的立方根是0.

两个重要公式：

⑴

aa3

3)(

(a为任意数)；

⑵

aa3

3

(a为任意数)．

2、用估算的方法求无理数的近似值

通过估算检验计算结果的合理性，主要是依据两个公式：⑴

2()(0)aaa

；（2）

aa3

3

(a为任意数)．

估算一个根号表示的无理数所采用的方法可概括为“逐步逼近”.例如要估算

43

的大

小，要求精确到小数点后一位.首先找出与43邻近的两个完全平方数，如36＜43＜49，则

___＜

43

＜___，由此可得

43

的整数部分是____，然后再由6.52=42.25，6.62=43.56，

得6.5＜

43

＜6.6，从而知

43

的一位小数应为5，即

43

≈6.5或6.6.

3、用计算器开方

（这是重、难点）开方运算要用到键“”和键“

3

”。对于开平方运算，按键顺序

为：“”，被开方数，“＝”；对于开立方运算，按键顺序为：“

3

”，被开方数，“＝”。

2

【典型例题】

考点一：立方根的概念

例1：求下列各数的立方根

（1）2

27

10

（2）-0.008(3)-343（4）0.512

【思路分析】由立方运算求一个数a的立方根，先找出立方等于a的数，写出立方式，

再由立方式写出a的立方根的值，并用数学表达式表示开立方的结果。正数有一个正的立方

根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0。

解：（1）因为2

27

10

=

27

64

，（

3

4

）3=

27

64

，所以2

27

10

的立方根为

3

4

，即

3

27

10

2

=

3

4

。

（2）因为（-0.2）3=-0.008，所以-0.008的立方根为-0.2，即

3008.0

=-0.2。

(3)因为（-7）3=0.343，所以-343的立方根是-7，即

3343

=-7。

（4）因为（0.8）3=0.512，所以0.512的立方根是0.8，即

3512.0

=0.8。

方法与规律:不论是正数还是负数都有一个立方根.

考点二：用估算的方法求无理数的近似值

例2：校园里有旗杆高11米，如果想要在旗杆顶部点A与地面一固定点B之间拉一根

直的铁丝，小强已测量固定点B到旗杆底部C的距离是8m，小军已准备好一根长12.3m

的铁丝，你认为这一长度够用吗?

【思路分析】如图，由题意可知，AC=11m，BC=8m，因为旗杆AC垂直于地面，所以

△ABC是直角三角形，由勾股定理可求出AB2的值，用此值与12.32比较大小，即可得出是否

够用.

解：由勾股定理得AB2=AC2+BC2=112+82=185.因为12.32=151.29＜185，

所以

185

＞

29.151

，因此这一长度不够用.

方法与规律:利用勾股定理解决实际问题是近几年中考的热点问题，往往与求算术平方

根相结合，要注意掌握.

例3.下列估算结果是否正确？为什么？

(1)

2.374

≈6.8；(2)

3800

≈20.

【思路分析】通过估算检验计算结果的合理性，一般首先考虑两个数的数量级是否相

同，像第(1)小题，不难看出

2.374

＞10，结论自然是不难得出；如果两个数看起来比较

接近，再去进行精确度更高的估算.

解：(1)错，因为

2.374

＞

100

=10，而显然6.8＜10；

(2)错，因为

3800

＜

31000

=10，而20＞10.

过程与方法：熟记检验计算结果的合理性的两个公式是解决本题的关键.

3

考点三：利用计算器开方

例4.用计算器求21.52的平方根(精确到0.001)

【思路分析】先用计算器求出21.52的算术平方根,然后按题意写出其平方根按键顺序

为:“”，21.52，“＝”，显示结果为：4.6389654

解：±

52.21

≈±4.639

方法与规律:掌握用计算器开方的按键顺序，根据题意准确地写出结果.

考点四：思维能力拓展

例5:求下列各式中x的值。

(1)

8

3

383x

;(2)

27)101.0(

1000

1

3x

.

【思路分析】通过移项将(1)式化为

64

27

3x

;将(2)式化为

27000)101.0(3x

,然

后利用立方根的定义求解.

解:(1)∵

8

3

383x

,∴

64

27

3x

,∴

4

3

64

27

3x

.

(2)∵

27)101.0(

1000

1

3x

,

27000)101.0(3x

,

∴

327000101.0x

,

即

30101.0x

,

∴

400x

.

方法规律总结:解此类题,一般将其化为

ax3

或

dcbx3)(

的形式,再利用立方根

的定义求解.

例6.已知A=

nm10nm

是m+n+10的算术平方根,B=

32164nmnm

是4m+6n-1

的立方根,求B-A的立方根.

【思路分析】因为A是m+n+10的算术平方根,可知m-n=2;B是4m+6n-1的立方

根,m-2n+3=3,通过解方程组求出m、n的值，再求出A、B，问题得以解决。

解：根据题意有











②

①

332

2

nm

nm

解方程组得











4

2

m

n

，所以A=

416

,B=

3273

所以B-A=3-4=-1,

1133AB

.

方法规律总结:解决此类题的关键就是进一步透彻理解算术平方根、平方根及立方根的

意义及其表示方法。

例7.丽丽同学去海南旅游时买回了一颗珍珠，经测量体积为7.23456立方厘米。现在，

她打算做一个正方体盒子来装这颗珍珠，那么盒子的棱长可以为多少厘米？请你提供两个数

4

据供丽丽参考。（球的体积：

3

4



r3,其中



取3.14）

【思路分析】当盒子的棱长比珍珠的直径大时，才能将这颗珍珠装进正方体盒子里。

解：设这颗珍珠的半径为x厘米，根据题意，得

3

4



x3=7.23456,所以x3=1.728，解得

2.1728.13x

，那么珍珠的直径为2.4厘米。所以盒子的棱长应略大于2.4厘米，可取

2.5厘米等。

方法规律总结:本题属于结论开放性题目，像这类题目的答案实际上有很多种，只要满足盒

子的棱长大于珍珠的直径即可。

【本讲涉及的数学思想和方法】

本讲主要讲了立方根的意义及性质、用估计的方法求无理数的近似值和用计算器开方。

在学习立方根的意义及性质时，我们利用了类比的数学思想方法，通过类比前面学过的平方

根的性质来掌握立方根的性质；在利用立方根的概念和性质解决问题时，我们还用到了方程

的数学思想。

【模拟试题】（共60分钟,满分100分）

一、认认真真选(每小题4分,共40分)

1.下列说法不正确的是（）

A.-1的立方根是-1B.-1的平方是1

C.-1的平方根是-1D.1的平方根是±1

2.下列说法中正确的是（）

A.-4没有立方根B.1的立方根是±1

C.

36

1

的立方根是

6

1

D.-5的立方根是

35

3.在下列各式中：

3

27

10

2

=

3

4

,

3001.0

=0.1,

301.0

=0.1,-

3

3)27(

=-27,其中正确的个

数是（）

A.1B.2C.3D.4

﹡4.若m<0，则m的立方根是（）

A.

3m

B.－

3m

C.±

3m

D.

3m

﹡5.如果

36x

是x－6的三次算术根，那么x的值为（）

A.0B.3C.5D.6

6.已知x是5的算术平方根，则x2-13的立方根是（）

A.

5

-13B.-

5

-13C.2D.-2

7.在无理数

5

，

6

，

7

，

8

中，其中在

2

18

与

2

126

之间的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

﹡8.一个正方体的体积为28360立方厘米，正方体的棱长估计为（）

A.22厘米B.27厘米C.30.5厘米D.40厘米

5

﹡9．已知

858.46.23

,

536.136.2

，则

00236.0

的值等于()

A．485.8B．15360C．0.01536D．0.04858

﹡﹡10.若

8

1

x

+

1

8

x

有意义，则

3x

的值是()

A.0B.

2

1

C.

8

1

D.

16

1

二、仔仔细细填(每小题4分,共32分)

11．-

8

1

的立方根是，125的立方根是。

12．

38

的立方根是.

13．

3

61

1

125



=_____.

14．-3是的平方根，-3是的立方根.

﹡15．若

31255

，则

30.000125______

﹡16.将数

3

3

5

，

3

2

5

，

3

3

5

，

3

5

2

，1按从小到大的顺序排列为。

﹡17.若x<0，则

2x

=______,

3

3x

=______.

﹡18.若x=(

35

)3，则

1x

=______.

三、平心静气做(共28分)

19.(本题8分)求下列各式中的x.

(1)125x3=8

(2)(-2+x)3=-216

﹡20.(本题10分)已知第一个正方体纸盒的棱长为6cm，第二个正方体纸盒的体积比第一

个纸盒的体积大127cm3,求第二个纸盒的棱长.

6

**21.(本题10分)如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，点A处有一所中学，且A

点到MN的距离是

8704

米.假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么

拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？说明理由；如果受影响，

已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？

7

【试题答案】

一、

1.C【思路分析】负数没有平方根,所以本题答案是C.

2.D【思路分析】任何数都有立方根,且一个数的立方根只有一个,据此可以排除A,B两个

选项;由于

36

1

的算术平方根是

6

1

,故C选项也是错误的.

3.C【思路分析】由于

3

27

10

2

=

3

4

,

3001.0

=0.1,-

3

3)27(

=-27,故本题答案是C.

4.A【思路分析】负数的立方根是负数,任意一个数a的立方根都表示成

3a

,故本题答案

是A.

5.D【思路分析】立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。0的立方

根是0。本题中6-x的立方根是它的相反数，只有0这种情况。所以6-x=0，所以x=6。

6.D【思路分析】由题意知x2=5,故x2-13=-8,-8的立方根是-2.

7.D【思路分析】借助计算器计算知

5

，

6

，

7

，

8

四个数都在

2

18

与

2

126

之间.

8.C【思路分析】正方体体积的立方根就是正方体的棱长.

9.D【思路分析】开平方时,被开方数的小数点移动两位,结果的小数点向相同的方向移动

一位,故本题答案是D.

10.B【思路分析】由题意可得

1

8

x

=0和

1

8

x

=0,得x=

1

8

,故

3x

=

2

1

.

二、

11.-

2

1

,5【思路分析】本题直接根据立方根的概念求解.

12.2【思路分析】

38

意为8的立方根,即2.

13.

5

4



【思路分析】

3

61

1

125



=

5

4

125

64

3

.

14.9,-27【思路分析】逆用平方根,立方根的概念求解.

15.0.05【思路分析】开立方时,被开方数的小数点移动三位,则结果的小数点向相同的方

向移动一位.

16.

3

2

5

<

3

3

5

<1<

3

3

5

<

3

5

2

【思路分析】当x>0时,被开方数越大,立方根越大.

17.–x,x【思路分析】

2x

的算术平方根有两个,分别是x,-x,其中正的平方根是它的算术

平方根,故其算术平方根是-x;根据立方根的概念可以判断

3

3x

=x.

18.2【思路分析】x=(

35

)3=-5,所以

241x

.

三、

19.(1)125x3=8,

125

8

x3

,即x=

5

2

;

(2)-2+x=-6,所以x=-4.

【思路分析】先把方程变成

ax3

的形式,然后求a的立方根即可.

8

20.设第二个纸盒的棱长为x,则可得

336127x

,可得

x

=7。

【思路分析】根据两正方体体积之间的关系把问题转化成方程的问题来求解.

21.解:因为A点到MN的距离是

8704

≈93.3米小于噪声的影响范围100米.有影响，学

校受影响的时间为4秒.

【思路分析】根据

8704

来估计出其取值,然后与100米进行对比即可.