e与ln的转化公式

高等数学公式

导数公式：

根本积分表：

三角函数的有理式积分：

22

2

21

2

2

1

1

cos

1

2

sin

u

du

dx

x

tgu

u

u

x

u

u

x













， ， ，

ax

x

aaa

ctgxxx

tgxxx

xctgx

xtgx

a

xx

ln

1

)(log

ln)(

csc)(csc

c)(c

csc)(

c)(

2

2

























2

2

2

2

1

1

)(

1

1

)(

1

1

)(arccos

1

1

)(arcsin

x

arcctgx

x

arctgx

x

x

x

x



























































Caxx

ax

dx

Cshxchxdx

Cchxshxdx

C

a

a

dxa

Cxctgxdxx

Cxdxtgxx

Cctgxxdx

x

dx

Ctgxxdx

x

dx

x

x

)ln(

ln

csccsc

cc

csc

sin

c

cos

22

22

2

2

2

2

C

a

x

xa

dx

C

xa

xa

axa

dx

C

ax

ax

aax

dx

C

a

x

arctg

axa

dx

Cctgxxxdx

Ctgxxxdx

Cxctgxdx

Cxtgxdx





















































arcsin

ln

2

1

ln

2

1

1

csclncsc

clnc

sinln

cosln

22

22

22

22





















C

a

xa

xa

x

dxxa

Caxx

a

ax

x

dxax

Caxx

a

ax

x

dxax

I

n

n

xdxxdxI

n

nn

n

arcsin

22

ln

22

)ln(

22

1

cossin

2

2222

22

2

2222

22

2

2222

2

2

0

2

0



一些初等函数：两个重要极限：

三角函数公式：

·诱导公式：

函数

角A

sincostgctg

-α-sinαcosα-tgα-ctgα

90°-αcosαsinαctgαtgα

90°+αcosα-sinα-ctgα-tgα

180°-αsinα-cosα-tgα-ctgα

180°+α-sinα-cosαtgαctgα

270°-α-cosα-sinαctgαtgα

270°+α-cosαsinα-ctgα-tgα

360°-α-sinαcosα-tgα-ctgα

360°+αsinαcosαtgαctgα

·和差角公式：·和差化积公式：

2

sin

2

sin2coscos

2

cos

2

cos2coscos

2

sin

2

cos2sinsin

2

cos

2

sin2sinsin

















































ctgctg

ctgctg

ctg

tgtg

tgtg

tg

















1

)(

1

)(

sinsincoscos)cos(

sincoscossin)sin(







x

x

arthx

xxarchx

xxarshx

ee

ee

chx

shx

thx

ee

chx

ee

shx

xx

xx

xx

xx

































1

1

ln

2

1

)1ln(

1ln(

:

2

:

2

:

2

2）

双曲正切

双曲余弦

双曲正弦

...594.2)

1

1(lim

1

sin

lim

0









e

x

x

x

x

x

x

·倍角公式：

·半角公式：



























cos1

sin

sin

cos1

cos1

cos1

2cos1

sin

sin

cos1

cos1

cos1

2

2

cos1

2

cos

2

cos1

2

sin





































ctgtg

·正弦定理：R

C

c

B

b

A

a

2

sinsinsin

·余弦定理：Cabbaccos2222

·反三角函数性质：arcctgxarctgxxx

2

arccos

2

arcsin



高阶导数公式——莱布尼兹〔Leibniz〕公式：

)()()()2()1()(

0

)()()(

!

)1()1(

!2

)1(

)(

nkknnnn

n

k

kknk

n

n

uvvu

k

knnn

vu

nn

vnuvu

vuCuv































中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当

柯西中值定理：

拉格朗日中值定理：

xx

F

f

aFbF

afbf

abfafbf



















)(F

)(

)(

)()(

)()(

))(()()(







曲率：

.

1

;0

.

)1(

limM

sMM:.

,1

32

0

2

a

Ka

K

y

y

ds

d

s

K

MM

s

K

tgydxyds

s









































的圆：半径为

直线：

点的曲率：

弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：

其中弧微分公式：



















2

3

3

3

31

3

3

cos3cos43cos

sin4sin33sin

tg

tgtg

tg



























2

2

2222

1

2

2

2

1

2

sincossin211cos22cos

cossin22sin

tg

tg

tg

ctg

ctg

ctg













定积分的近似计算：































b

a

nnn

b

a

nn

b

a

n

yyyyyyyy

n

ab

xf

yyyy

n

ab

xf

yyy

n

ab

xf

)](4)(2)[(

3

)(

])(

2

1

[)(

)()(

1312420

110

110







抛物线法：

梯形法：

矩形法：

定积分应用相关公式：

















b

a

b

a

dttf

ab

dxxf

ab

y

k

r

mm

kF

ApF

sFW

)(

1

)(

1

,

2

2

21

均方根：

函数的平均值：

为引力系数引力：

水压力：

功：

。

空间解析几何和向量代数：

。代表平行六面体的体积

为锐角时，向量的混合积：

例：线速度：

两向量之间的夹角：

是一个数量

轴的夹角。与是向量在轴上的投影：

点的距离：空间











,cos)(][

..sin,

cos

,,cos

PrPr)(Pr

,cosPr

)()()(2

222222

2121

2

12

2

12

2

1221

cba

ccc

bbb

aaa

cbacba

rwvbac

bbb

aaa

kji

bac

bbbaaa

bababa

bababababa

ajajaaj

uABABABj

zzyyxxMMd

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyxzyx

zzyyxx

zzyyxx

u

u





















































（马鞍面）双叶双曲面：

单叶双曲面：

、双曲面：

同号）（、抛物面：

、椭球面：

二次曲面：

参数方程：其中空间直线的方程：

面的距离：平面外任意一点到该平

、截距世方程：

、一般方程：

，其中、点法式：

平面的方程：

1

1

3

,,

22

2

11

};,,{,

13

02

),,(},,,{0)()()(1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

0

0

0

000

222

000

0000000

















































c

z

b

y

a

x

c

z

b

y

a

x

qpz

q

y

p

x

c

z

b

y

a

x

ptzz

ntyy

mtxx

pnmst

p

zz

n

yy

m

xx

CBA

DCzByAx

d

c

z

b

y

a

x

DCzByAx

zyxMCBAnzzCyyBxxA





多元函数微分法及应用

z

y

z

x

y

x

y

x

y

x

yx

F

F

y

z

F

F

x

z

zyxF

dx

dy

F

F

yF

F

x

dx

yd

F

F

dx

dy

yxF

dy

y

v

dx

x

v

dvdy

y

u

dx

x

u

du

yxvvyxuu

x

v

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z

x

u

u

z

x

z

yxvyxufz

t

v

v

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t

u

u

z

dt

dz

tvtufz

yyxfxyxfdzz

dz

z

u

dy

y

u

dx

x

u

dudy

y

z

dx

x

z

dz













































































































































， ， 隐函数

＋， ， 隐函数

隐函数的求导公式：

时，，当

：多元复合函数的求导法

全微分的近似计算：

全微分：

0),,(

)()(0),(

),(),(

)],(),,([

)](),([

),(),(

2

2

),(

),(1

),(

),(1

),(

),(1

),(

),(1

),(

),(

0),,,(

0),,,(

yu

GF

Jy

v

vy

GF

Jy

u

xu

GF

Jx

v

vx

GF

Jx

u

GG

FF

v

G

u

G

v

F

u

F

vu

GF

J

vuyxG

vuyxF

vu

vu













































































隐函数方程组：

微分法在几何上的应用：

),,(),,(),,(

3

0))(,,())(,,())(,,(2

)},,(),,,(),,,({1

),,(0),,(

},,{,

0),,(

0),,(

0))(())(())((

)()()(

),,(

)(

)(

)(

000

0

000

0

000

0

000000000

000

000000

0

0

0

0

0

0

000

zyxF

zz

zyxF

yy

zyxF

xx

zzzyxFyyzyxFxxzyxF

zyxFzyxFzyxFn

zyxMzyxF

GG

FF

GG

FF

GG

FF

T

zyxG

zyxF

zztyytxxtM

t

zz

t

yy

t

xx

zyxM

tz

ty

tx

zyx

zyx

zyx

yx

yx

xz

xz

zy

zy













































































、过此点的法线方程：

：、过此点的切平面方程

、过此点的法向量：

，则：上一点曲面

则切向量若空间曲线方程为：

处的法平面方程：在点

处的切线方程：在点空间曲线















方向导数与梯度：

上的投影。在是

单位向量。

方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是

的梯度：在一点函数

的转角。轴到方向为其中

的方向导数为：沿任一方向在一点函数

lyxf

l

f

ljieeyxf

l

f

j

y

f

i

x

f

yxfyxpyxfz

lx

y

f

x

f

l

f

lyxpyxfz

),(grad

sincos),(grad

),(grad),(),(

sincos),(),(























































多元函数的极值及其求法：





































不确定时

值时， 无极

为极小值

为极大值

时，

则：

，令：设

,0

0

),(,0

),(,0

0

),(,),(,),(0),(),(

2

2

00

00

2

BAC

BAC

yxA

yxA

BAC

CyxfByxfAyxfyxfyxf

yyxyxxyx

重积分及其应用：















































































D

z

D

y

D

x

zyx

D

y

D

x

D

D

y

D

x

D

DD

ayx

xdyx

faF

ayx

ydyx

fF

ayx

xdyx

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FFFFaaMzxoy

dyxxIydyxyIx

dyx

dyxy

M

M

y

dyx

dyxx

M

M

x

dxdy

y

z

x

z

Ayxfz

rdrdrrfdxdyyxf

2

3

222

2

3

222

2

3

222

22

D

2

2

)(

),(

)(

),(

)(

),(

},,{)0(),,0,0(

),(,),(

),(

),(

,

),(

),(

1),(

)sin,cos(),(















， ，

，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于

轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量：

平面薄片的重心：

的面积曲面

柱面坐标和球面坐标：





























































dvyxIdvzxIdvzyI

dvxMdvz

M

zdvy

M

ydvx

M

x

drrrFddddrdrrFdxdydzzyxf

ddrdrdrdrrddv

rz

ry

rx

zrrfzrF

dzrdrdzrFdxdydzzyxf

zz

ry

rx

zyx

r

























)()()(

1

,

1

,

1

sin),,(sin),,(),,(

sinsin

cos

sinsin

cossin

),sin,cos(),,(

,),,(),,(,sin

cos

222222

2

00

),(

0

22

2

， ， 转动惯量：

， 其中 重心：

， 球面坐标：

其中：

柱面坐标：

曲线积分：



































)(

)()()()](),([),(

),(,

)(

)(

),(

22

ty

tx

dtttttfdsyxf

t

ty

tx

LLyxf

L















特殊情况：

则： 的参数方程为：上连续，在设

长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧

。，通常设

的全微分，其中：才是二元函数时，＝在

：二元函数的全微分求积

注意方向相反！减去对此奇点的积分，

，应。注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、

是一个单连通区域；、

无关的条件：平面上曲线积分与路径

的面积：时，得到，即：当

格林公式：格林公式：

的方向角。上积分起止点处切向量

分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关

，则：的参数方程为设

标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐

0),(),(),(

),(

·

)0,0(),(),(2

1

·

2

1

2,

)()(

)coscos(

)}()](),([)()](),([{),(),(

)(

)(

00

),(

),(

00

























































































yxdyyxQdxyxPyxu

yxuQdyPdx

y

P

x

Q

y

P

x

Q

GyxQyxP

G

ydxxdydxdyAD

y

P

x

Q

xQyP

QdyPdxdxdy

y

P

x

Q

QdyPdxdxdy

y

P

x

Q

L

dsQPQdyPdx

dttttQtttPdyyxQdxyxP

ty

tx

L

yx

yx

DL

DLDL

LL

L













曲面积分：





































dsRQPRdxdyQdzdxPdydz

dzdxzxzyxQdzdxzyxQ

dydzzyzyxPdydzzyxP

dxdyyxzyxRdxdyzyxR

dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP

dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf

zx

yz

xy

xy

D

D

D

D

yx

)coscoscos(

]),,(,[),,(

],),,([),,(

)],(,,[),,(

),,(),,(),,(

),(),(1)],(,,[),,(22

系：两类曲面积分之间的关

号。，取曲面的右侧时取正

号；，取曲面的前侧时取正

号；，取曲面的上侧时取正

，其中：对坐标的曲面积分：

对面积的曲面积分：

高斯公式：























































dsAdvA

dsRQPdsAdsnA

z

R

y

Q

x

P

dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdv

z

R

y

Q

x

P

n

n









div

)coscoscos(

...,0div,div

)coscoscos()(

成：因此，高斯公式又可写

，通量：

则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：

—通量与散度：—高斯公式的物理意义







斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

























































































































dstARdzQdyPdxA

RQP

zyx

A

y

P

x

Q

x

R

z

P

z

Q

y

R

RQP

zyx

RQP

zyx

dxdydzdxdydz

RdzQdyPdxdxdy

y

P

x

Q

dzdx

x

R

z

P

dydz

z

Q

y

R







的环流量：沿有向闭曲线向量场

旋度：

， ， 关的条件：空间曲线积分与路径无

上式左端又可写成：

kji

rot

coscoscos

)()()(



常数项级数：

是发散的调和级数：

等差数列：

等比数列：

n

nn

n

q

q

qqq

n

n

1

3

1

2

1

1

2

)1(

321

1

1

112



















级数审敛法：

散。存在，则收敛；否则发

、定义法：

时，不确定

时，级数发散

时，级数收敛

，则设：

、比值审敛法：

时，不确定

时，级数发散

时，级数收敛

，则设：

别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

suuus

U

U

u















































lim;

3

1

1

1

lim

2

1

1

1

lim

1

21

1



















。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足

—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数

11

1

3214321

,

0lim

)0,(























nnn

n

n

nn

n

urrus

u

uu

uuuuuuuu

绝对收敛与条件收敛：

















时收敛

１时发散ｐ

级数：

收敛； 级数：

收敛；发散，而调和级数：

为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果

收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果

为任意实数；，其中

1

1

1

)1(1

)1()1()2(

)1()2(

)2(

)1(

2

321

21

p

n

p

n

nn

uuuu

uuuu

p

n

n

nn





幂级数：

0

0

1

0

)3(lim

)3(

1

1

1

1

1

1

1

2

210

32































R

R

R

aa

a

a

R

Rx

Rx

Rx

R

xaxaxaa

x

x

x

xxxx

nn

n

n

n

n

n

n

时，

时，

时，

的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设

称为收敛半径。，其中

时不定

时发散

时收敛

，使在数轴上都收敛，则必存

收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点 对于级数

时，发散

时，收敛于















函数展开成幂级数：

































n

n

n

n

n

n

n

n

n

x

n

f

x

f

xffxfx

Rxfxx

n

f

R

xx

n

xf

xx

xf

xxxfxf

!

)0(

!2

)0(

)0()0()(0

0lim)(,)(

)!1(

)(

)(

!

)(

)(

!2

)(

))(()(

)(

2

0

1

0

)1(

0

0

)(

2

0

0

00

时即为麦克劳林公式：

充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：

函数展开成泰勒级数：



一些函数展开成幂级数：

)(

)!12(

)1(

!5!3

sin

)11(

!

)1()1(

!2

)1(

1)1(

12

1

53

2



















x

n

xxx

xx

xx

n

nmmm

x

mm

mxx

n

n

nm









欧拉公式：





























2

sin

2

cos

sincos

ixix

ixix

ix

ee

x

ee

x

xixe 或

三角级数：

。上的积分＝

在任意两个不同项的乘积正交性：

。，，，其中，

0

],[cos,sin2cos,2sin,cos,sin,1

cossin

)sincos(

2

)sin()(

00

1

0

1

0



















nxnxxxxx

xtAbAaaAa

nxbnxa

a

tnAAtf

nnnnnn

n

nn

n

nn

傅立叶级数：

是偶函数 ，余弦级数：

是奇函数 ，正弦级数：

（相减）

（相加）

其中

，周期























































nxa

a

xfnnxdxxfab

nxbxfnxdxxfba

nnxdxxfb

nnxdxxfa

nxbnxa

a

xf

nnn

nnn

n

n

n

nn

cos

2

)(2,1,0cos)(

2

0

sin)(3,2,1nsin)(

2

0

12

4

1

3

1

2

1

1

6

4

1

3

1

2

1

1

24

6

1

4

1

2

1

8

5

1

3

1

1

)3,2,1(sin)(

1

)2,1,0(cos)(

1

2)sincos(

2

)(

0

0

0

2

222

2

222

2

222

2

22

1

0















































周期为l2的周期函数的傅立叶级数：



































l

l

n

l

l

n

n

nn

ndx

l

xn

xf

l

b

ndx

l

xn

xf

l

a

l

l

xn

b

l

xn

a

a

xf

)3,2,1(sin)(

1

)2,1,0(cos)(

1

2)sincos(

2

)(

1

0





其中

，周期







微分方程的相关概念：

即得齐次方程通解。

，代替分离变量，积分后将，，，则设

的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方

称为隐式通解。 得：

的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程

或 一阶微分方程：

u

x

y

uu

du

x

dx

u

dx

du

u

dx

du

xu

dx

dy

x

y

u

x

y

yxyxf

dx

dy

CxFyGdxxfdyyg

dxxfdyyg

dyyxQdxyxPyxfy

















)(

)(

),(),(

)()()()(

)()(

0),(),(),(







一阶线性微分方程：

)1,0()()(2

))((0)(

,0)(

)()(1

)()(

)(





















nyxQyxP

dx

dy

eCdxexQyxQ

CeyxQ

xQyxP

dx

dy

n

dxxPdxxP

dxxP

，、贝努力方程：

时，为非齐次方程，当

为齐次方程，时当

、一阶线性微分方程：

全微分方程：

通解。应该是该全微分方程的

，，其中：

分方程，即：中左端是某函数的全微如果

Cyxu

yxQ

y

u

yxP

x

u

dyyxQdxyxPyxdu

dyyxQdxyxP



















),(

),(),(0),(),(),(

0),(),(

二阶微分方程：

时为非齐次

时为齐次

，

0)(

0)(

)()()(

2

2







xf

xf

xfyxQ

dx

dy

xP

dx

yd

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

21

22

,)(2

,,(*)0)(1

,0(*)

rr

yyyrrqprr

qpqyypy

式的两个根、求出

的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：

求解步骤：

为常数；，其中















式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),3

21

rr

的形式，

21

rr

(*)式的通解

两个不相等实根)04(2qpxrxrececy21

21



两个相等实根

)04(2qpxrexccy1)(

21



一对共轭复根

)04(2qp

2

4

2

2

21

pq

p

irir











，

，

)sincos(

21

xcxceyx

0二阶常系数非齐次线性微分方程

型

为常数；型，

为常数，

]sin)(cos)([)(

)()(

,)(

xxPxxPexf

xPexf

qpxfqyypy

nl

x

m

x



















