对数ln

对数与对数运算

（1）对数的定义

①若(0,1)xaNaa且，则x叫做以a为底N的对数，记作log

a

xN，其中a叫做底数，

N叫做真数．

②负数和零没有对数．

③对数式与指数式的互化：log(0,1,0)x

a

xNaNaaN．

（2）几个重要的对数恒等式:log10

a

，log1

a

a，logb

a

ab．

（3）常用对数与自然对数：常用对数：lgN，即

10

logN；自然对数：lnN，即log

e

N（其中

2.71828e…）．

（4）对数的运算性质如果0,1,0,0aaMN，那么

①加法：logloglog()

aaa

MNMN

②减法：

logloglog

aaa

M

MN

N



③数乘：loglog()n

aa

nMMnR

④

log

a

NaN

⑤

loglog(0,)

b

n

a

a

n

MMbnR

b



⑥换底公式：

log

log(0,1)

log

b

a

b

N

Nbb

a

且

对数函数及其性质

（5）对数函数

函数名称对数函数

定义

函数log(0

a

yxa且1)a叫做对数函数

图象

定义域

值域

x

y

O

(1,0)

1x

log

a

yx

x

y

O

(1,0)

1x

log

a

yx

过定点

图象过定点(1,0)，即当1x时，0y．

奇偶性非奇非偶

单调性

在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数

函数值的

变化情况

a变化对图

象的影响

在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近x轴

在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y轴

在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近x轴

在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y轴

基础练习：

1.将下列指数式与对数式互化：

(1)2－2＝

1

4

；(2)102＝100；(3)ea＝16；(4)64－

1

3

＝

1

4

；

2.若log

3

x＝3，则x＝_________

3.计算：2lg25lg2lg50(lg2)g。

4.（1）

log

2

9

log

2

3

＝________．

5.设a＝log

3

10，b＝log

3

7，则3a－b＝_________.

6.若某对数函数的图象过点(4，2)，则该对数函数的解析式为______________.

7.(1)如图2－2－1是对数函数y＝log

a

x的图象，已知a值取3，

4

3

，

3

5

，

1

10

，则图象C

1

，

C

2

，C

3

，C

4

相应的a值依次是______________

(2)函数y＝lg(x＋1)的图象大致是()

4.求下列各式中的x的值：

(1)log

8

x＝－

2

3

；(2)log

x

27＝

3

4

；

8.已知函数f(x)＝1＋log

2

x，则f(

1

2

)的值为__________.

9.在同一坐标系中，函数y＝log

3

x与y＝lg

1

3

x的图象之间的关系是_______________

10.已知函数f(x)＝









3x（x≤0），

log

2

x（x>0），

那么f(f(

1

8

))的值为___________.

例题精析：

例1.求下列各式中的x值：

（1）log

3

x＝3；(2)log

x

4＝2；(3)log

2

8＝x；

(4)lg(lnx)＝0.

变式突破：

求下列各式中的x的值：

(1)log

8

x＝－

2

3

；(2)log

x

27＝

3

4

；(3)log

2

(log

5

x)＝0；(4)log

3

(lg

x)＝1.

例2.计算下列各式的值：

(1)2log

5

10＋log

5

0.25;(2)

1

2

lg

32

49

－

4

3

lg8＋lg245(3)lg25＋

2

3

lg8＋lg5×lg20＋(lg

2)2.

变式突破：

计算下列各式的值：

(1)3

1

2

log

3

4；(2)32＋log

3

5；(3)71－log

7

5；(4)4

1

2

(log

2

9

－log

2

5)．

例3.求下列函数的定义域：

(1)y＝lg（2－x）；(2)y＝

1

log

3

（3x－2）

；(3)y＝log

(2x－1)

(－4x＋8)．

变式突破：

求下列函数的定义域：

(1)y＝log

1

2

（2－x）;

例4.比较下列各组中两个值的大小：

(1)ln0.3，ln2；(2)log

a

3.1，log

a

5.2(a>0，且a≠1)；

(3)log

3

0.2，log

4

0.2；(4)log

3

π，logπ3.

变式突破：

若a＝log

0.2

0.3，b＝log

2

6，c＝log

0.2

4，则a，b，c的大小关系为________．

2设y

1

＝40.9，y

2

＝80.48，y

3

＝(

1

2

)－1.5，则()

A．y

3

>y

1

>y

2

B．y

2

>y

1

>y

3

C．y

1

>y

2

>y

3

D．y

1

>y

3

>y

2

3．已知0

a

2＋log

a

3，y＝

1

2

log

a

5，z＝log

a

21－log

a

3，则()

A．x>y>zB．z>y>xC．y>x>zD．z>x>y

4．下列四个数(ln2)2，ln(ln2)，ln2，ln2中最大的为________．

5．已知log

m

7

n

7<0，则m，n,0,1之间的大小关系是________．

6．函数y＝log

1

3

(－x2＋4x＋12)的单调递减区间是________．

7．若log

a

2<1，则实数a的取值范围是()

A．(1,2)B．(0,1)∪(2，＋∞)C．(0,1)∪(1,2)D．(0，

1

2

)

8．下列不等式成立的是()

A．log

3

2

2

3

2

5B．log

3

2

2

5

2

3

C．log

2

3

3

2

2

5D．log

2

3

2

5

3

2

例5.解对数不等式

(1)解不等式log

2

(x＋1)＞log

2

(1－x)；(2)若log

a

2

3

＜1，求实数a的取值范围．

变式突破：

解不等式：（1）log

3

(2x＋1)>log

3

(3－x)．（2）若log

a

2>1，求实数a的取值范围．

课后作业：

1.已知log

x

16＝2，则x等于___________.

2.方程2log

3

x＝

1

4

的解是__________.

3.有以下四个结论：①lg(lg10)＝0；②ln(lne)＝0；③若10＝lgx，则x＝10；④若e＝

lnx，则x＝e2.其中正确的是_____________.

4.函数y＝log

a

(x＋2)＋1的图象过定点___________.

5.设a＝log

3

10，b＝log

3

7，则3a－b＝()

6.若log

1

2

a＝－2，log

b

9＝2，c＝log

3

27，则a＋b＋c等于___________.

7..设3x＝4y＝36，则

2

x

＋

1

y

=___________.