等差求和公式

等差数列求和公式

等差数列前n项和公式d

nn

na

naa

Sn

n2

)1(

2

)(

1

1







,是数列部分最重要公式之

一,学习公式并灵活运用公式可分如下四个层次:

1.直接套用公式

从公式d

nn

na

naanaa

Smnmn

n2

)1(

2

)(

2

)(

1

11











中,我们可以看到公式中

出现了五个量,包括

,,,,,

1nn

Snada这些量中已知三个就可以求另外两个了.从基本量的观

点认识公式、理解公式、掌握公式这是最低层次要求.

例1设等差数列

n

a的公差为d,如果它的前n项和2nS

n

,那么().

(A)

2,12dna

n

(B)

2,12dna

n

(C)

2,12dna

n

(D)

2,12dna

n

解法1由于2nS

n

且

1



nnn

SSa知,,12)1(22nnna

n

],1)1(2[12

1





nnaad

nn

,2d选(C).

解法2,

2

)1(

2

1

nd

nn

naS

n





对照系数易知,2d

此时由2

1

)1(nnnna知,1

1

a故,12na

n

选(C).

例2设

n

S是等差数列

n

a的前n项和,已知

33

1

S与

44

1

S的等比中项为

55

1

S,

33

1

S与

44

1

S的等差中项为1,求等差数列

n

a的通项

n

a.

解设

n

a的通项为,)1(

1

dnaa

n

前n项和为.

2

)1(

1

d

nn

naS

n





由题意知















2

4

1

3

1

)

5

1

(

4

1

3

1

43

2

543

SS

SSS

,

即

































2)

2

34

4(

4

1

)

2

23

3(

3

1

)

2

45

5(

25

1

)

2

34

4(

4

1

)

2

23

3(

3

1

11

2

111

dada

dadada

化简可得,

2

2

5

2

053

1

2

1















da

dda

解得











1

0

1

a

d

或















4

5

12

1

a

d

由此可知1

n

a或.

5

12

5

32

)

5

12

)(1(4nna

n



经检验均适合题意,故所求等差数列的通项为1

n

a或.

5

12

5

32

na

n



2.逆向活用公式

在公式的学习中,不仅要从正向认识公式,而且要善于从反向分析弄清公式的本来面目.

重视逆向地认识公式,逆向运用公式,无疑将大大地提高公式的解题功效,体现了思维的灵活

性.

例3设,Nn求证:.

2

)3(

)1(3221

2

)1(



nn

nn

nn



证明,321

2

)1(

n

nn







又

,211,322,)1(,nnn

.)1(3221

2

)1(





nn

nn



又),1(432

2

)3(





n

nn



且

,221,332,443,1)1(,nnn

.

2

)3(

)1(3221





nn

nn

例4数列

n

a对于任意自然数n均满足

2

)(

1

naa

Sn

n



,求证:

n

a是等差数列.

证明欲证

nn

aa

1

为常数,

由

2

)(

1

naa

Sn

n



及

2

)1)((

11

1







naa

Sn

n

可得

11

)1(





nn

anana推出,)1(

211



nn

naaan

作差可得

,2

21



nnn

nanana因此.

112nnnn

aaaa



由递推性可知:

ddaaaaaa

nnnn

(

12112





为常数),所以命题得证.

这是九四年文科全国高考试题,高考中得分率极低,我们不得不承认此为公式教学与学

习中的一个失误,倘若能重视逆向地认识公式,理解公式,应用公式,还“和”为“项”,结局

还能如此惨重吗

3.横向联系,巧用公式

在公式的学习过程中,还要从运动、变化的观点来认识公式,从函数及数列结合的角度分

析透彻理解公式,公式d

nn

naS

n2

)1(

1



表明是关于n的二次函数,且常数项为0,同时也

可以看出点列),(

n

Sn均在同一条抛物线上,且此抛物线过原点,体现了思维的广阔性,请再

看例2.

解设

bnanS

n

2,则可得















2)416(

4

1

)39(

3

1

)]55(

5

1

[)44(

4

1

)33(

3

1

2222

baba

bababa

解得











1

0

b

a

或















5

26

5

6

b

a

,所以nS

n

或,

5

26

5

6

2nnS

n



从而1

n

a或.

5

12

5

32

na

n



例5设等差数列

n

a的前项和为

n

S,已知,0,0,12

13123

SSa指出

12321

,,,,SSSS中哪一个值最大,并说明理由.

解由于d

nn

naS

n2

)1(

1



表明点列),(

n

Sn

都在过原点的抛物线上,再由

,0,0

1312

SS

易知此等差数列公差d<0,且,0

1

a图象如图所示,

易知其对称轴为

)5.6,6(,

00

xxx,

于是

0,0

76

aa,故

6

S最大.

4.恰当变形妙用公式

对公式进行适当变形,然后再运用公式是公式应用的较高层次,从而丰富了公式本身的

x12

13

0

x

O

y

内涵,往往给解题带来捷径,体现了思维的深刻性.

对于公式

2

)(

1

naa

Sn

n



,变形可得

2

))((

2

)(

2

)(

111

mnaamaanaa

Snmmmnm

n











,

对于公式d

nn

naS

n2

)1(

1



,变形可得,

2

1

1

d

n

a

n

S

n





它表明对于任意Nn,点列),(

n

S

nn都在同一直线)

2

(

2

:

1

d

ax

d

yl上.

例6等差数列

n

a的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()

(A)130(B)170(C)210(D)260

解法1

2

3)(

31

3

maa

Sm

m





又由于100

2

3021

2





m

aa

Smm

m

,

140)(

21



mm

aam,)(

31m

aam140)(

21



mm

aam,

从而,210

2

3140

3







m

S选(C).

解法2由于点),(

m

S

mm)

2

,2(2

m

S

mm)

3

,3(3

m

S

mm在同一直线)

2

(

21

d

ax

d

y上,因此

mm

m

S

m

S

mm

m

S

m

S

mmmm











2

2

23

23

223

,化简可得:

210)(3

23



mmm

SSS,选(C).

解法3由于点列),(

n

S

nn均在同一直线上,说明数列













n

S

n成等差数列,从而可得

























2

43

)

5

(

43

4

2

53

4

3

2

5

4

3

4

53

S

S

S

S

S

S

SS

,解得

















5S

4

3

5

4

3

S

S

或

























4

5

8

5

24

5

4

3

S

S

S

从而可求得











1

1

5

4

a

a

或















5

28

5

16

5

4

a

a

,

故等差数列

n

a通项为1

n

a或.

5

12

5

32

na

n



从以上可以看出,对公式的学习不应仅仅停留在公式的表面.对公式深刻而丰富的内涵

忽视或视而不见,而应充分挖掘出这些隐藏在内部的思想方法为我所用,提高公式的解题功

效,才能达到灵活运用公式的较高境界.