平行移轴公式

材料力学常用基本公式

ModifiedbyJACKontheafternoonofDecember26,2020

1.外力偶矩计算公式（P功率，n转速）

2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式

3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴

力FN，横截面面积A，拉应力为正）

4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a从x轴

正方向逆时针转至外法线的方位角为正）

5.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；

拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1）

6.

7.纵向线应变和横向线应变

8.

9.泊松比

10.胡克定律

11.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式

12.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式

13.轴向拉压杆的强度计算公式

14.许用应力，脆性材料，塑性材料

15.延伸率

16.截面收缩率

17.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g）

18.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式

19.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆

20.（b）空心圆

21.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到

圆心距离r）

22.圆截面周边各点处最大切应力计算公式

23.扭转截面系数，（a）实心圆

24.（b）空心圆

25.薄壁圆管（壁厚δ≤R

0

/10，R

0

为圆管的平均半径）扭转切应

力计算公式

26.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH

p

的关系式

27.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如阶

梯轴）时或

28.等直圆轴强度条件

29.塑性材料；脆性材料

30.扭转圆轴的刚度条件或

31.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式

,

32.平面应力状态下斜截面应力的一般公式

,

33.平面应力状态的三个主应力,

,

34.主平面方位的计算公式

35.面内最大切应力

36.受扭圆轴表面某点的三个主应力，，

37.三向应力状态最大与最小正应力,

38.三向应力状态最大切应力

39.广义胡克定律

40.

41.四种强度理论的相当应力

42.一种常见的应力状态的强度条件，

43.组合图形的形心坐标计算公式，

44.任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐

标轴的惯性矩之和的关系式

45.截面图形对轴z和轴y的惯性半径

46.,

47.平行移轴公式（形心轴zc与平行轴z1的距离为a，图形面积为

A）

48.纯弯曲梁的正应力计算公式

49.横力弯曲最大正应力计算公式

50.矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数，

，

51.几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式（为中性轴一侧的

横截面对中性轴z的静矩，b为横截面在中性轴处的宽度）

52.矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处

53.工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式

54.轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式

55.圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处

56.圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处

57.弯曲正应力强度条件

58.几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件

59.弯曲梁危险点上既有正应力σ又有切应力τ作用时的强度条件

或，

60.梁的挠曲线近似微分方程

61.梁的转角方程

62.梁的挠曲线方程

63.轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边

缘处的正应力计算公式

64.偏心拉伸（压缩）

65.弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度条件

表达式，

66.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时，合成弯矩为

67.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时强度计算公式

68.

69.弯拉扭或弯压扭组合作用时强度计算公式

70.剪切实用计算的强度条件

71.挤压实用计算的强度条件

72.等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力计算公式

73.压杆的约束条件：（a）两端铰支μ=l

74.（b）一端固定、一端自由μ=2

75.（c）一端固定、一端铰支μ=

76.（d）两端固定μ=

77.压杆的长细比或柔度计算公式，

78.细长压杆临界应力的欧拉公式

79.欧拉公式的适用范围

80.压杆稳定性计算的安全系数法

81.压杆稳定性计算的折减系数法

82.关系需查表求得

3截面的几何参数

序号公式名称公式符号说明

（）截面形心位置

A

zdA

zA

c



，

A

ydA

yA

c





Z为水平方向

Y为竖直方向

（）截面形心位置







i

ii

cA

Az

z，







i

ii

cA

Ay

y

（）面积矩

A

Z

ydAS，

A

y

zdAS

（）面积矩

iiz

yAS

，

iiy

zAS

（）截面形心位置

A

S

zy

c

，

A

S

yz

c



（）面积矩

cy

AzS，

cz

AyS

（）轴惯性矩

dAyI

A

z2，

dAzI

A

y2

（）极惯必矩

（）极惯必矩

（）惯性积

（）轴惯性矩

AiI

zz

2，AiI

yy

2

（）惯性半径

（回转半径）

A

I

iz

z

，

A

I

iy

y



（）面积矩

ziz

SS

，

yiy

SS

轴惯性矩

极惯性矩

惯性积



ziz

II

，

yiy

II



i

II



，

zyizy

II

（）平行移轴公式

4应力和应变

序号公式名称公式符号说明

（）轴心拉压杆横

截面上的应力

（）危险截面上危

险点上的应力

（）轴心拉压杆的

纵向线应变

（）轴心拉压杆的

纵向绝对应变

（）

（

胡克定理

（）胡克定理

（）胡克定理

（）横向线应变

（）泊松比（横向

变形系数）

（）剪力双生互等

定理

（）剪切胡克定理

（）实心圆截面扭

转轴横截面上

的应力

（）实心圆截面扭

转轴横截面的

圆周上的应力

（）抗扭截面模量

（扭转抵抗矩）

（）实心圆截面扭

转轴横截面的

圆周上的应力

（）圆截面扭转轴的

变形

（）圆截面扭转轴的

变形

（）单位长度的扭转

l



，

角





GI

T



（）矩形截面扭转轴

长边中点上的剪

应力

T

W是矩形截面

T

W的扭转抵抗

矩

（）矩形截面扭转轴

短边中点上的剪

应力

（）矩形截面扭转轴

单位长度的扭转

角

T

I是矩形截面的

T

I相当极惯性矩

（）矩形截面扭转轴

全轴的扭转

角

,,与截面高

宽

比

bh/

有关的参

数

（）平面弯曲梁上任

一点上的线应变

（）平面弯曲梁上任

一点上的线应力

（）平面弯曲梁的曲

率

（）纯弯曲梁横截面

上任一点的正应

力

（）离中性轴最远的

截面边缘各点上

的最大正应力

（）抗弯截面模量

（截面对弯曲

的抵抗矩）

（）离中性轴最远的

截面边缘各点上

的最大正应力

（）横力弯曲梁横截

面上的剪应力

*

z

S被切割面积对

中性轴的

面积矩。

（）中性轴各点的剪

应力

（）矩形截面中性

轴各点的剪应力

（）工字形和T形截

面的面积矩

（）平面弯曲梁的挠

曲线近似微分方

V向下为正

X向右为正

程

（）

平面弯曲梁的挠曲线上任一截

面

的转角方程

（）

平面弯曲梁的挠曲线上任一点

挠度方程

（）双向弯曲梁的合成弯矩

（）

拉（压）弯组合矩形截面的中

性轴在Z轴上的截距

pp

yz,是集中力

作用点的标

（）

拉（压）弯组合矩形截面的中

性轴在Y轴上的截距

5应力状态分析

序号公式名称公式符号说明

（）单元体上任意

截面上的正应

力

（）单元体上任意

截面上的剪应

力

（）主平面方位角

yx

x













2

2tan

0

（反号与

x



0

）

（）

大主应力的计

算公式

（）

主应力的计算

公式

（）

单元体中的最

大剪应力

（）

主单元体的八

面体面上的剪

应力

（）面上的线应

变

（）面与+o90

面之间的角应

变

（）主应变方向

公式

（）大主应变

（）小主应变

（）

xy

的替代公式

（）

主应变方向公

式

（）大主应变

（）小主应变

（）

简单应力状态

下的胡克定理

E

x

x



，

E

x

y



，

E

x

z





（）

空间应和状态

下的胡克定理

（）

平面应力状态

下的胡克定理

（应变形式）

（）

平面应力状态

下的胡克定理

（应力形式）

（）

按主应力、主

应变形式写出

广义胡克定理

（）

二向应力状态

的广义胡克定

理

（）

二向应力状态

的广义胡克定

理

（）剪切胡克定理

6内力和内力图

序号公式名称公式

符号说

明

（）

（）

外力偶的

换算公式

（）

分布荷载集

度

剪力、弯矩

之

间的关系

)(xq向

上

为正

（）

（）

7强度计算

序号公式名称公式符号说明

（）

第一强度理

论：最大拉

当

）f

）f

u

ut

塑性材料

脆性材料

.(

(

*

1

1









时，材料发生脆

性断裂破坏。

应力理论。

（）

第二强度理

论：最大伸

长线应变理

论。

当

）f）（

）f

u

ut

塑性材料

脆性材料

(

()(

*

321

1321









时，

材料发生脆性断裂破坏。

（）

第三强度理

论：最大剪

应力理论。

当

）f

）f

uc

y

脆性材料

塑性材料

(

(

31

31









时，材料发生

剪切破坏。

（）

第四强度理

论：八面体

面剪切理

论。

当



）f

）f

uc

y

脆性材料

塑性材料

(

2

1

(

2

1

2

32

2

31

2

21

2

32

2

31

2

21









时，材料发生剪切破坏。

（）

第一强度理

论的相当应

力

（）

第二强度理

论的相当应

力

（）

第三强度理

论的相当应

力

（）

第四强度理

论的相当应

力

（）

由强度理论

建立的强度

条件

（）

（）

（）

由直接试验

建立的强度

条件

（）

（）

轴心拉压杆

的强度条件

（）

（）

（）

（）

由强度理论

建立的扭转

轴的强度条

件

][

max1

*

1t

T

W

T

(适用于脆性

材料)

）（

321

*

2

=

][)1()0(

maxmaxmaxt













1

][

max

t

T

W

T

(适用于脆性材料)

2

][

max





T

W

T

(适用于塑性材料)

3

][

max





T

W

T

(适用于塑性材料)

（）

由扭转试验

建立的强度

条件

（）

（）

平面弯曲梁

的正应力强

度条件

（）

平面弯曲梁

的剪应力强

度条件

（）

平面弯曲梁

（）的主应力强

度条件

（）

（）

圆截面弯扭

组合变形构

件的相当弯

矩

（）

螺栓的抗剪

强度条件

（）

螺栓的抗挤

压强度条件

（）

贴角焊缝的

剪切强度条

件

8刚度校核

序号公式名称公式符号说明

（）

构件的刚度

条件

（）

扭转轴的刚

度条件

（）

平面弯曲梁

的刚度条件

9压杆稳定性校核

序号公式名称公式符号说明

（）

两端铰支

I取最小值

的、细长压

杆

的、临界力

的欧拉公式

（）

细长压杆在

不同支承情

况下的临界

力公式

0

l—计算长度。



—长度系数；

一端固定，一端自

由：2

一端固定，一端铰

支：7.0

两端固定：5.0

（）压杆的柔度

A

I

i是截面的惯

性半径

（回转半径）

（）

压杆的临界

应力

（）

欧拉公式的

适用范围

（）抛物线公式

当

y

cf

E

57.0

时，y

f—压杆材料的屈

服极限；

—常数，一般取

43.0

（）

安全系数法

校核压杆的

稳定公式

（）

折减系数法

校核压杆的

稳定性



—折减系数

][

][





cr，小于

1

10动荷载

序号公式名称公式符号说明

（）动荷系数P-荷载

N-内力

-应力



-位移

d-动

j-静

构件匀加速

上升或下降

时的动荷系数

a-加速度

g-重力加速度

（）构件匀加速

上升或下降

时的动应力

动应力强度条

件

杆件在静荷载作用下][

的容许应力

（）

构件受竖直方

向冲击时的动

荷系数

H-下落距离

（）

构件受骤加荷

载时的动荷系

数

H=0

（）

构件受竖直方

向冲击时的动

荷系数

v-冲击时的速度

（）疲劳强度条件



-疲劳极限

][



-疲劳应力容许

值

K-疲劳安全系数

11能量法和简单超静定问题

序号公式名称

公式

（）外力虚功：

（）内力虚功：

（）虚功原理：

变形体平衡的充要条件是：0WW

e

（）虚功方程：

变形体平衡的充要条件是：WW

e



（）莫尔定理：

（）莫尔定理：

（）桁架的莫尔定理：

（）变形能：

WU

（内力功）

（）变形能：

e

WU（外力功）

（）外力功表示的变形能：

（）内力功表示的变形能：

（）卡氏第二定理：

（）卡氏第二定理计算位移公式：

（）卡氏第二定理计算桁架位移公式：

（）卡氏第二定理计算超静定问题：

（）莫尔定理计算超静定问题：

（）一次超静定结构的力法方程：

（）

1

X方向有位移



时的力法方程：

（）自由项公式：

（）主系数公式：

（）桁架的主系数与自由项公式：

材料力学公式汇总

一、应力与强度条件

1、拉压

max

maxA

N

2、剪切

A

Q

max

挤压

挤压

挤压

挤压



A

P

3、圆轴扭转



Wt

T

max

4、平面弯曲①



max

z

maxW

M

②

maxtmaxt

max

max

y

I

M

z

t

③







bI

SQ

z

*

maxzmax

max

5、斜弯曲

max

y

y

z

z

maxW

M

W

M

6、拉（压）弯组合



max

max

z

W

M

A

N

注意：“5”与“6”两式仅供参考

7、圆轴弯扭组合：①第三强度理论





z

2

n

2

w

2

n

2

wr3

4

W

MM

②第四强度理论







z

2

n

2

w

2

n

2

wr4

75.0

3

W

MM

二、变形及刚度条件

１、拉压



LEA

xxN

EA

LN

EA

NL

L

d)(

ii

２、扭转





pp

ii

p

GI

dxxT

GI

LT

GI

TL





0180







p

GI

T

L

（m/）

３、弯曲

(1)积分法:)()(''xMxEIy

CxxMxEIxEIyd)()()('

DCxxxxMxEIyd]d)([)(

(2)叠加法:

21

,PPf…=

21

PfPf+…，

21

,PP=

21

PP…

(3)基本变形表(注意：以下各公式均指绝对值，使用时要根据具体情

况赋予正负号)

EI

ML

B3

,

EI

ML

A6



EI

PL

AB16

2



EI

qL

AB24

3



(4)弹性变形能(注：以下只给出弯曲构件的变形能,并忽略剪力

影响,其他变形与此相似,不予写出)

EI

LM

U

2

2

=

i

ii

EI

LM

2

2

=





EI

dxxM

2

2

(5)卡氏第二定理(注：只给出线性弹性弯曲梁的公式)

三、应力状态与强度理论

１、二向应力状态斜截面应力

２、二向应力状态极值正应力及所在截面方位角

３、二向应力状态的极值剪应力

注：极值正应力所在截面与极值剪应力所在截面夹角为450

４、三向应力状态的主应力：

321



最大剪应力：

2

31

max









5、二向应力状态的广义胡克定律

（1）、表达形式之一（用应力表示应变）

（2）、表达形式之二（用应变表示应力）

6、三向应力状态的广义胡克定律

7、强度理论

（1）

111



r



3212



r





b

b

n





（2）

313r

2

13

2

32

2

2142

1



r





s

s

n





8、平面应力状态下的应变分析

（1）











2sin

2

2cos

22



























xyyxyx

























2sin

22

yx



2cos

2

















xy

（2）

22

min

max

222











































xyyxyx







yx

xy











0

2tg

四、压杆稳定

1、临界压力与临界应力公式（若把直杆分为三类）

①细长受压杆

p



2

min

2

cr

L

EI

P







2

2

cr





E



②中长受压杆

sp

ba

cr

③短粗受压杆

s

“

cr

”=

s

或

b



2、关于柔度的几个公式

i

L



p

2

p





E



b

a

s

s









3、惯性半径公式

A

I

iz（圆截面

4

d

i

z

，矩形截面

12min

b

i（b

为短边长度））

五、动载荷（只给出冲击问题的有关公式）

能量方程UVT

冲击系数

st

d

2

11





h

K（自由落体冲击）

st

2

0

d



g

v

K（水平

冲击）

六、截面几何性质

1、惯性矩（以下只给出公式，不注明截面的形状）

dAI

P

2=

32

4d4

4

1

32







D

D

d



2、惯性矩平移轴公式