抛物线的切线方程

抛物线之切线与定点问题

2014年二轮复习

内容明细内容

要求层次

了解理解掌握

圆锥曲线

椭圆的定义与标准方程

√

椭圆的简单几何意义

√

抛物线的定义及其标准方程

√

抛物线的简单几何意义

√

双曲线的定义及标准方程

√

双曲线的简单几何性质

√

直线与圆锥曲线的位置关系

√

北京三年高考两年模拟统计

中点弦垂直角度弦长面积范围定点定值共线比例其它

高考试题411

模拟试题78111444

共计

78151455

抛物线之切线与定点

2014

年高考怎么考

自检自查必考点

抛物线22ypx分为上下两支，可以分别看成函数求导

对于22ypx求导得

2'2yyp

，则

'

p

y

y



抛物线22ypx在

11

(,)Axy的切线的斜率为

1

AT

p

k

y



故切线AT为

11

1

()

p

yyxx

y



化简得到

1

1

()

p

yxx

y



同理切线BT为

2

2

()

p

yxx

y



抛物线切线性质总结（老师带领学生证明）

性质1：过抛物线一弦AB的中点平行于对称轴的直线与抛物

线交于点P，若过P的切线为PT，则PT//AB

性质2：过抛物线上一点P的切线交其对称轴于点T，则

PFTF

性质

3

：过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在准线上

T

P

Q

B

A

O

y

x

F

O

y

x

A

自检自查必考点

T

F

B

A

O

y

x

性质

4

：过抛物线的准线上任一点所作的两条切线必须相互垂直

性质

5

：过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点

性质

6

：切线交点与弦中点连线平行于对称轴

性质

7

：过抛物线准线上的一点引抛物线的两条切线，则准线上这点与焦点连线与准线的夹角被切线平分

性质

8

：过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径

性质

9

：从抛物线的焦点向它的任意切线作垂线，则其垂足必在抛物线顶点的切线上

性质

10

：过抛物线的焦点作直线与抛物线的任意切线垂直，则此直线与准线的交点和切线的连线必

平行于此抛物线的对称轴

性质

11

：抛物线的三切线围成的三角形的垂心必在准线上

Q

T

F

B

A

O

y

x

B'

T

F

B

A

O

y

x

T

F

B

A

O

y

x

【例1】证明：过抛物线上一点

00

Mxy（，）的切线方程是：

00

yypxx（）

【例2】设抛物线2y=2px的焦点弦AB在其准线上的射影是

11

AB

，证明：以

11

AB

为直径的圆必过一定点

22ypx

例题精讲

【例3】在平面直角坐标系xoy中，直线

l

与抛物线24yx相交于不同的,AB两点．

⑴如果直线

l

过抛物线的焦点，求

OAOB

uuuruuur

的值；

⑵如果

4OAOB

uuuruuur

证明直线

l

必过一定点，并求出该定点．

【例4】如图,过抛物线220ypxp上一定点

000

,0,Pxyy作两条直线分别交抛物线于



1122

.,,.AxyBxy

(I)求该抛物线上纵坐标为

2

p

的点到其焦点F的距离;

(II)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求12

0

yy

y



的值,并证明直线AB的斜率是非零常数.

y

P

Ox

A

B

【例5】如图,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点

1122

1,2,,,,PAxyBxy均在抛物线上.

（I）写出该抛物线的方程及其准线方程;

（II）当PAPB与的斜率存在且倾斜角互补时,求

12

yy

的值及直线AB的斜率.

y

P

Ox

A

B

【例6】如图，在平面直角坐标系

xoy

中，过

y

轴正方向上一点

(0,c)C

任作一直线，与抛物线2yx相

交于

AB

两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段

AB

和直线

:lyc

交于

,PQ

（Ⅰ）若

2OAOB

uuuruuur

，求c的值；

（Ⅱ）若P为线段AB的中点，求证：

QA

为此抛物线的切线；

（Ⅲ）试问（Ⅱ）的逆命题是否成立？说明理由。

【例7】已知抛物线2:2Cyx，直线

2ykx

交

C

于

,AB

两点，

M

是线段

AB

的中点，过

M

作x轴的

垂线交

C

于点

N

．

（Ⅰ）证明：抛物线

C

在点

N

处的切线与AB平行；

（Ⅱ）是否存在实数

k

使

0NANB

uuuruuur

，若存在，求

k

的值；若不存在，说明理由．

【例8】已知点

Q

到定点

(,0)p

（

0p

）与它到定直线xp的距离相等

（Ⅰ）求动点

Q

的轨迹方程；

（Ⅱ）设过点

(30)Ap，

的直线与

Q

的轨迹交于E、F两点，设

(30)Ap



，

，当直线AE



与AF



的

斜率都存在时，求证直线AE



、AF



的斜率之和为

0

．

【例

9

】已知平面上两个定点

(0,2)M

、

(0,2)N

，

P

为一个动点，且满足MPMN

uuuruuuur

||||PNMN

uuuruuuur

．

⑴求动点P的轨迹C的方程；

⑵若A、B是轨迹C上的两个不同动点

ANNB

uuuruuur

．分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设其

交点为

Q

，证明NQAB

uuuruuur

为定值．

【例

10

】已知抛物线22yx及定点

(11)(10)AB，，，

，M是抛物线上的点，设直线

AMBM，

与抛物线的另

一交点分别为

12

MM，

．

求证：当点M在抛物线上变动时（只要

12

MM，

存在且

1

M

与

2

M

是不同两点），直线

12

MM

恒过

一定点，并求出定点的坐标。

（1）

【例11】在平面直角坐标系xoy中，设点

(10)F，

，直线

:1lx

，点P在直线

l

上移动，R是线段PF与

y

轴

的交点，

RQFP

，

PQl

．

⑴求动点

Q

的轨迹的方程；

⑵记

Q

的轨迹的方程为

E

，过点

F

作两条互相垂直的曲线

E

的弦,ABCD，设,ABCD的中点分别为

,MN．求证：直线

MN

必过定点

(3,0)R

．

【例12】过抛物线焦点的一条直线与它交于两点

PQ、

，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，如

何证明直线

MQ

平行于抛物线的对称轴?

【例13】如图，曲线

G

的方程为（）

以原点为圆心，以

0tt（）

为半径的圆分别与曲线

G

和y轴的

正半轴相交于点A与点B直线AB与x轴相交于点

C

.

（Ⅰ）求点A的横坐标a与点

C

的横坐标c的关系式；

（Ⅱ）设曲线

G

上点D的横坐标为

2a＋

，求证：

直线

CD

的斜率为定值.

x

y

B

A

O

a

Ｃ

D

【例14】如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点(0,)Cc任作一直线，与抛物线2yx相交

于AB两点，一条垂直于

x

轴的直线，分别与线段AB和直线:lyc交于,PQ，

（1）若2OAOB

uuuruuur

，求

c

的值；

（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；

（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。

【例

15

】如图，设抛物线方程为22(0)xpyp，M为直线

2yp

上任意一点，过M引抛物线的切线，

切点分别为A，B．

⑴求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；

⑵已知当M点的坐标为

(22)p，

时，410AB，求此时抛物线的方程；

⑶是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线22(0)xpyp＞上，其中，点C满足

OCOAOB

uuuruuuruuur

（O为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请

说明理由．

A

B

O

y

x

-2p

M

【例16】已知点P与定点F)0,1(的距离和它到定直线l:4x的距离之比是1:2.

(1)求点P的轨迹C方程;

(2)过点F的直线交曲线C于A,B两点,A,B在l上的射影分别为M,N.

求证AN与BM的公共点在x轴上.