异面直线的距离

异面直线间的距离

求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。常有利用图形性质，直接找出该公

垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的

距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问

题，或用等体积变换的方法来解。

常用方法有：

1、定义法

2、垂直平面法（转化为线面距）

3、转化为面面距

4、代数求极值法

5、公式法

6、射影法

7、向量法

8、等积法

1定义法就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的

距离。

例1已知：边长a为的两个正方形ABCD和CDEF成

120

0

的二面角，求异面直线

CD与AE间的距离。

思路分析：由四边形

ABCD和CDEF是正方形，得

CD⊥AD，CD⊥DE，即CD⊥平面ADE，过D作DH⊥AE于H，

可得DH⊥AE，DH⊥CD，所以DH是异面直线AE、CD的公垂

AB

H

DC

0

aEF

线。在⊿ADE中，∠ADE=120，AD=DE=a，DH=。即异面

2

直线CD与AE间的距离为

a

。

2

2垂直平面法：转化为线面距离，若a、b是两条异面直线，过b上一点A作a的平行线

a

/

，记a

/

与b确定的平面α。从而，异面直线

a、b间的距离等于线面

a、α间的距

离。

例1如图，BF、AE两条异面直线分别在直二面角

P-AB-Q

的两个面内，和棱分别成α、

β角，又它们和棱的交点间的距离为

d，求两条异面直线BF、AE间

的距离。

FCP

思路分析：BF、AE两条异面直线分别在直二面角

P-AB-Q

的两

AGβB

个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d，在平面Q内，过B作BH‖

α

AE，将异面直线BF、AE间的距离转化为AE与平面BCD间的距离，

QEHD

即为A到平面BCD间的距离，又因二面角

P-AB-Q

是直二面角，

过A作

AC⊥AB交BF于C，即AC⊥平面ABD，过A作AD⊥BD交于D，

连结CD。设A到平面BCD的距离为h。由体积法VA-BCD=VC-ABD，得

dsinsin

h=

1cos2cos2

3转化为面面距离若a、b是两条异面直线，则存在两个平行平面α、β，且a∈α、b∈

β。求a、b两条异面直线的距离转化为平行平面α、β间的距离。

例3已知：三棱锥S-ABC中，SA=BC=13，SB=AC=14，SC=AB=15，求异面直线AS

与BC的距离。

思路分析：这是一不易直接求解的几何题，把它补成一个易求解的几何体的典型例子，

常常有时还常把残缺形体补成完整形体；不规则形体补成规则形体；不熟悉形体补成熟悉形

体等。所以，把三棱锥的四个面联想到长方体割去四个直三棱锥所得，因此，将三棱锥补形

转化为长方体，设长方形的长、宽、高分别为x、y、z，

S

C

S

C

A

B

B

A

x2y2AB2152

则y2z2AC2142

z2x2BC2132

解得x=3，y=2，z=1。由于平面SA‖平面BC，平面SA、平面BC间的距离是2，所

以异面直线AS与BC的距离是2。

4代数求极值法根据异面直线间距离是分别在两条异面直线上的两点间距离的最小值，可

用求函数最小值的方法来求异面直线间的距离。

例4已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求A1B与

D1B1的距离。

思路分析：在A1B上任取一点M，作

MP⊥AB，PN⊥BD，则MN⊥BD，只要求出MN的

111111

最小值即可。设A1M=x，则MP=

22

x。所以PB1=a

x，A1P=

22

–2x，PN=（a–2x）sin45

0

=1（2a–x），

22

2

MN=

PM2PN2

=

2

3(x2

)22

a2

。当x=2

a时，MNmin=3

a。

2

233

33

5公式法异面直线间距离公式：

d=AB2m2n22mncos

求得异面直线间的距离。

例5已知圆柱的底面半径为3，高为4，A、B两点分别在两底面

圆周上，并且AB=5，求异面直线AB与轴OO

/

之间的距离。

D

1

C

1

N

A1PB1

M

DC

AB

A

O

O

/

B

思路分析：在圆柱底面上AO⊥OO

/

，BO

/

⊥OO

/

，又OO

/

是圆柱的高，

AB=5，所以

d=

33

。即异面直线AB与轴OO

/

之间的距离为

33

。

22

6射影法将两条异面直线射影到同一平面内，射影分别是点和直线或两条平行线，那么点

和直线或两条平行线间的距离就是两条异面直线射影间距离。

例6在正方体ABCD-A1111中，AB=1，M、N分别是棱AB、CC1的中点，

BCD

BD的中点。求异面直线DM、EN间的距离。D1

1

思路分析：两条异面直线比较难转化为线面、面面距

A

1

离时，可采用射影到同一平面内，把异面直线

D1M、EN

射影到同一平面BC1内，转化为BC1、QN的距离，显然，

易知BC1、QN的距离为

2

。所以异面直线

D1M、END

4

E

2

。

AM

间的距离为

4

7.向量法：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上两点的连结线段在

公共法向量上的射影长。

例7已知：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，

D1

求异面直线DA1与AC的距离。

A1

思路分析：此题是求异面直线的距离问题，这个距离可看作是

DA在异面直线的法向量方向上的投影的绝对值。

此题教师引导，学生口述，教师在课件上演示解题

D

过程，总结解题步骤。

A

解：如图所示建立空间直角坐标系D-xyz

∴D(0,0,0)

A1(1,0,1)A(1,0,0)

C(0,1,0)

∴DA1(1,0,1)AC(1,1,0)

设异面直线DA1与AC的法向量n

(x,y,1)∴n

DA

1

,且n

AC

∴

n?DA

10,n?AC0∴

x10x1

xy0y1

n(1,1,1)DA(1,0,0)

|DA?n|13

d

|n|33

∴异面直线DA1与AC的距离为

3

3

步骤小结：求异面直线间的距离

:

⑴建立空间直角坐标系；⑵写出点的坐标，求出向量坐标；

⑶求出异面直线的法向量的坐标；⑷代入异面直线间的距离公式。

例8已知：SA⊥平面ABCD,∠DAB=∠ABC=90゜,

S

SA=AB=BC=a,AD=2a

，

E是

C1

B

1

N

C

Q

B

C1

B1

C

B

AD

B

求A到平面SCD的距离。

解：如图所示建立空间直角坐标系A—xyz

∴A（0,0,0）C(a,a,0)D(0,2a,0)S(0,0,a)∴AD=(0,2a,0)SC=(a,a,-a)SD=(0,2a,-a)

设面SCD的一个法向量

n=(x,y,1)

∴n⊥SC且n⊥SD∴n?SC=0且n?SD=0

∴ax

aya0

x1

∴n=(

2

1,

2

1,1)

2

2aya0y1

2

∴点A到面SCD的距离为

AD?n

6a∴点A到面SCD的距离为

6a

d

n3

3

八等积法把异面直线间的距离转化为求某个特殊几何体的的高，利用体积相等求出该高

的长度。

例：正四棱锥S-ABCD中，底面边长为a，侧棱长为b(b＞a)．

求：底面对角线AC与侧棱SB间的距离．

设BC与平面SAD间的距离为d，则以B为顶点，△SAD为底面的三棱锥

的体积为

而以S为顶点，△ABD为底面的三棱锥的体积为