椭圆方程的一般式

y

x

Ｏ

Ｍ

1

C

C

2

椭圆方程的几种常见求法

河南陈长松

对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法：

一、定义法

例1已知两圆C

1

：169)4(22yx，C

2

：9)4(22yx，动圆在圆C

1

内部且和圆C

1

相内

切，和圆C

2

相外切，求动圆圆心的轨迹方程．

分析：动圆满足的条件为：①与圆C

1

相内切；②与圆C

2

相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系

式．

解：设动圆圆心Ｍ（

x

，y），半径为r，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C

1

，

∴rMC13

1

，圆Ｍ外切于圆C

2

，∴rMC3

2

，

∴16

21

MCMC，

∴动圆圆心Ｍ的轨迹是以C

1

、C

2

为焦点的椭圆，

且82,162ca，

481664222cab，

故所求轨迹方程为：1

4864

22



yx

．

评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出

外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住

本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．

二、待定系数法

例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点

)2,3(),1,6(

21

PP

，求该椭圆的

方程．

分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式：

22nymx＝１（)0,0nm，进行求解，避免讨论。

解：设所求的椭圆方程为22nymx＝１（)0,0nm．

∵椭圆经过两点)2,3(),1,6(

21

PP，

∴











.123

,16

nm

nm

解得



















.

3

1

,

9

1

n

m

，故所求的椭圆标准方程为1

39

22



yx

．

评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出ba,的值：若焦点

位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．

三、直接法

例３设动直线l垂直于x轴，且交椭圆1

24

22



yx

于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是l上线段

AB外一点，且满足1PBPA，求点Ｐ的轨迹方程．

分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线l垂直

于

x

轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，

因此，紧紧抓住等式1PBPA即可求解．

解：设Ｐ（

x

，y），Ａ（

A

x，

A

y），Ｂ（

B

x，

B

y），

由题意：

x

＝

A

x＝

B

x，

A

y＋

B

y＝０

∴

A

yyPA,

B

yyPB，∵Ｐ在椭圆外，∴y－

A

y与y－

B

y同号，

∴PBPA=（y－

A

y）（y－

B

y）＝1)(2

BABA

yyyyyy

∵)

4

1(2)

4

1(2

2

2

2

x

x

yyyA

ABA



1)

4

1(2

2

2

x

y，即)22(1

36

22

x

yx

为所求．

评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换．

四、相关点法

例４ABC的底边BC＝16，AC和AB两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的

轨迹方程．

分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建

立，故可用相关点法去求．

解（１）以BC边所在直线为x轴，BC边的中点为坐标原点建立直角坐标系，

设Ｇ（

x

，y），由30

3

2

GBGC，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点，

长轴长为20的椭圆且除去

x

轴上的两顶点，方程为)0(1

36100

22

y

yx

．

（２）设Ａ（

x

，y），Ｇ（),

00

yx，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是)0(1

361000

2

0

2

0y

yx

∵Ｇ为ABC的重心∴



















3

3

0

0

y

y

x

x

代入得：)0(1

324900

22

y

yx

其轨迹是中心为原点，焦点在

x

轴上的椭圆，除去长轴上的两个端点．

评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方

程的不同．

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