如何证明面面垂直

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线面垂直与面面垂直专题复习

【知识点】

一.线面垂直

(1)直线与平面垂直的定义：

如果直线l和平面a的_________________一条直线都垂直，我们就说直线I与平面a垂直,

记作______________.

重要性质：______________________________________________________________________________

(2)直线与平面垂直的判定方法：

①_____________________________________________判定定理：一条直线与一个平面的两条都

垂直，那么这条直线就垂直于这

个平面.用符号表示为：

②常用结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,面.用符

号可表示为：

(3)直线与平面垂直的性质：

①由直线和平面垂直的定义知：直线与平面垂直，则直线垂直于平面的_________直线.

②性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行.用符号可表示为：

二、面面垂直

(1)平面与平面垂直的定义：

两平面相交，如果它们所成的二面角是____________________，就说这两个平面互相垂直.

(2)平面与平面垂直的判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条____________________，那么这两个平面互相垂直.简述为

"线面垂直，则面面垂直”，用符号可表示为：

(3)平面与平面垂直的性质：

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.用

符号可表示为：

【题型总结】题型一小题：判断正误

1.“直线I垂直于平面

A.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充

分又不必要条件

2.已知如图，六棱锥P—ABCDE的底面是正六边形，

下列结论不正确的是().

//平面丄平面//平面PAB

2•设mn,I是三条不同的直线，,,是三个不同的平面

，判断命题正误：

①m,则//⑥mn,m//，则n

理科数学复习专题

立体几何

那么另一条也垂直于这个平

a的无数条直线”是“I丄aB.必

要不充分条件

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②m,//，则m⑦mn,n1,则m//l

③m,m//n,则n⑧,，则

④m,n，则m//n⑨mn,n//I,则m1

⑤m,mn,则n〃⑩,//，则

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题型二证明线面垂直

1如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形,/DAB=60°AB=2AD,PD丄底面ABCD.

（1）证明：BD丄面PAD（2）证明：PA丄BD;

归纳：①证明异面直线垂直的常用方法：________________________________________

②找垂线（线线垂直）的方法一：_______________________________________________

2.四棱锥PABCD中，底面ABCD的边长为

PDPB4,BAD60°,E为PA中点•

求证：BD平面PAC；

归纳：找垂线（线线垂直）的方法二：_______________________________________________

找垂线（线线垂直）的方法三：_____________________________________________

3、如图，AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A,B的一点，

PA平面ABC,E是PC的中点，AB3,PAAC1.求

证：AEPB

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归纳：找垂线（线线垂直）的方法四：_______________________________________________

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4.如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC,BCA90°,AP=AC,点D,E分别为棱PB、PC的中点，且

BC//平面ADE

求证：DE丄平面PAC;

归纳：_______________________________________________________________________________________

题型三面面垂直的证明（关键：找线面垂直）

1、如图所示，四边形ABCD是菱形,的

交点，SA平面ABCD.

求证：平面SAC平面SBD；

2.（2016理数）如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中

面ABEF为正方形,AF=2FD,AFD90°，

证明：平面ABEF平面EFDC；

O是AC与BD

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题型四面面垂直的性质(注意：交线)

1、如图所示，平面EAD平面ABCD,ADE是等边三角形，

ABCD是矩形，F是AB的中点，G是AD的中点,求证：EG平面

ABCD；

2、如图，平行四边形ABCD中，

CD1,BCD600,BDCD，正方形ADEF，且面ADEF面ABCD•

求证：BD平面ECD；

综合运用如图所示，PA丄矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.

(1)求证：MN//平面FAD.

(2)求证：MN丄CD.

⑶若/PDA=45°求证：面BMN丄平面PCD.

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【练习】

1•设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题:

a//b—aM—aMal/M

①bM②

allb③b//M④b±M

aMbMabab

其中正确的命题是()

A.①②B.①②③C.②③④D.①②④

2.给出以下四个命题：

①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

②如果一条直线和一个平面的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行。

⑷如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。其中正确的个数是()

A.4B.3C.2D.1

3•如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD

PDDCBC2AB2DCAB//DC

(1)求证：PCBC；(2)求多面体APBC的体积•

4•如图所示,ABCD是正方形，PA平面ABCD,

E、F是AC、PC的中点

(1)求证：ACDF；

(2)若PA2,AB1，求三棱锥CPED的体积.

BCD

C

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5、在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD,

AD//BC,BAD90,PAABBC1,AD2,

E为PD的中点.

(i)求证：CE〃面PAB；(n)证：面PAC面PDC

6、已知四棱锥ABCDE，其中ABBCACBE1,

CD2,CD面ABC,BE//CD,F为AD的中点.

(i)求证：EF//面ABC；(n)求证：面ADE面ACD；

ABC

7.如图，在直三棱柱A

ABiG中，平面ABC

AABBi且AAiAB2

求证：ABBC;

侧面