立体几何公式

高中最全立体几何公式

1/5

109．证明直线与直线的平行的思考途径

（1）转化为判定共面二直线无交点；

（2）转化为二直线同与第三条直线平行；

（3）转化为线面平行；

（4）转化为线面垂直；

（5）转化为面面平行.

110．证明直线与平面的平行的思考途径

（1）转化为直线与平面无公共点；

（2）转化为线线平行；

（3）转化为面面平行.

111．证明平面与平面平行的思考途径

（1）转化为判定二平面无公共点；

（2）转化为线面平行；

（3）转化为线面垂直.

112．证明直线与直线的垂直的思考途径

（1）转化为相交垂直；

（2）转化为线面垂直；

（3）转化为线与另一线的射影垂直；

（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.

113．证明直线与平面垂直的思考途径

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；

（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；

（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；

（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；

（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.

114．证明平面与平面的垂直的思考途径

（1）转化为判断二面角是直二面角；

（2）转化为线面垂直.

115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律

(1)加法交换律：a＋b=b＋a．

(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．

(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．

116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广

始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的

以公共始点为始点的对角线所表示的向量.

117.共线向量定理

对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b存在实数λ使a=λb．

PAB、、三点共线||APABAPtAB

uuuruuur

(1)OPtOAtOB

uuuruuuruuur

.

||ABCDAB

uuur

、CD

uuur

共线且ABCD、不共线ABtCD

uuuruuur

且ABCD、不共线.

118.共面向量定理

向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对,xy,使paxby．

推论空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,xy,使

MPxMAyMB

uuuruuuruuur

，

或对空间任一定点O，有序实数对,xy，使

OPOMxMAyMB

uuuruuuuruuuruuur

.

119.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足

OPxOAyOBzOC

uuuruuuruuuruuur

（xyzk），则当1k时，对于空间任一点O，总有P、A、B、C四点共面；当1k

时，若O平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若O平面ABC，则P、A、B、C四点不共

面．

CAB、、、D四点共面AD

uuur

与AB

uuur

、AC

uuur

共面ADxAByAC

uuuruuuruuur



高中最全立体几何公式

2/5

(1)ODxyOAxOByOC

uuuruuuruuuruuur

（O平面ABC）.

120.空间向量基本定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，

y，z，使p＝xa＋yb＋zc．

推论设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实

数x，y，z，使

OPxOAyOBzOC

uuuruuuruuuruuur

.

121.射影公式

已知向量AB

uuur

=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量.作A点在l上的射影'A，作B

点在l上的射影'B，则

''||cosABAB

uuur

〈a，e〉=a·e

122.向量的直角坐标运算

设a＝

123

(,,)aaa，b＝

123

(,,)bbb则

(1)a＋b＝

112233

(,,)ababab；

(2)a－b＝

112233

(,,)ababab；

(3)λa＝

123

(,,)aaa(λ∈R)；

(4)a·b＝

112233

ababab；

123.设A

111

(,,)xyz，B

222

(,,)xyz，则

ABOBOA

uuuruuuruuur

=

212121

(,,)xxyyzz.

124．空间的线线平行或垂直

设

111

(,,)axyz

r

，

222

(,,)bxyz

r

，则

ab

rr

P(0)abb

rrrr



12

12

12

xx

yy

zz























；

ab

rr

0ab

rr



121212

0xxyyzz.

125.夹角公式

设a＝

123

(,,)aaa，b＝

123

(,,)bbb，则

cos〈a，b〉=112233

222222

123123

ababab

aaabbb





.

推论2222222

3

()()()abababaaabbb

，此即三维柯西不等式.

126.四面体的对棱所成的角

四面体ABCD中,AC与BD所成的角为,则

2222|()()|

cos

2

ABCDBCDA

ACBD









.

127．异面直线所成角

cos|cos,|ab

rr

=121212

222222

111222

||

||

||||

xxyyzz

ab

ab

xyzxyz











rr

rr

（其中（090oo）为异面直线ab,所成角，,ab

rr

分别表示异面直线ab,的方向向量）

128.直线AB与平面所成角

高中最全立体几何公式

3/5

sin

||||

ABm

arc

ABm







uuurur

uuurur

(m

ur

为平面



的法向量).

129.若ABC所在平面若与过若AB的平面



成的角,另两边AC,BC与平面

成的角分别是

1

、

2

,AB、为ABC的两个内角，则

22222

12

sinsin(sinsin)sinAB.

特别地,当90ACBo时,有

222

12

sinsinsin.

130.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边AC,BC与平面

成的角分别是

1

、

2

,''AB、为ABO的两个内角，则

222'2'2

12

tantan(sinsin)tanAB.

特别地,当90AOBo时,有

222

12

sinsinsin.

131.二面角l的平面角

cos

||||

mn

arc

mn







urr

urr

或cos

||||

mn

arc

mn







urr

urr

（m

ur

，n

r

为平面



，的法向量）.

132.三余弦定理

设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为

1

，AB与

AC所成的角为

2

，AO与AC所成的角为．则

12

coscoscos.

133.三射线定理

若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是

1

,

2

,与二面

角的棱所成的角是θ，则有2222

1212

sinsinsinsin2sinsincos

;

1212

||180()o(当且仅当90o时等号成立).

134.空间两点间的距离公式

若A

111

(,,)xyz，B

222

(,,)xyz，则

,AB

d

=||ABABAB

uuuruuuruuur

222

212121

()()()xxyyzz.

135.点Q到直线l距离

22

1

(||||)()

||

habab

a

(点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA

uuur

，向量

b=

PQ

uuur

).

136.异面直线间的距离

||

||

CDn

d

n





uuuruur

r

(

12

,ll是两异面直线，其公垂向量为n

r

，CD、分别是

12

,ll上任一点，d为

12

,ll间的距离).

137.点B到平面的距离

||

||

ABn

d

n





uuuruur

r

（n

r

为平面



的法向量，AB是经过面



的一条斜线，A）.

138.异面直线上两点距离公式

2222cosdhmnmnm.

222'2cos,dhmnmnEAAF

uuur

uuur

.

高中最全立体几何公式

4/5

2222cosdhmnmn（'EAAF）.

(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段'AA的长度为h.在直线a、b上分别取两

点E、F，'AEm,AFn,EFd).

139.三个向量和的平方公式

222

2()222abcabcabbcca

rrrrrrrrrrrr

2222||||cos,2||||cos,2||||cos,abcababbcbccaca

rrrrrrrrrrrrrrr

140.长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为

123

lll、、，夹角分

别为

123

、、,则有

2222

123

llll222

123

coscoscos1222

123

sinsinsin2.

（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.

141.面积射影定理

'

cos

S

S



.

(平面多边形及其射影的面积分别是S、'S，它们所在平面所成锐二面角的为).

142.斜棱柱的直截面

已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别是

S

斜棱柱侧

和

V

斜棱柱

,它的直截面的周长和

面积分别是

1

c和

1

S,则

①

1

Scl

斜棱柱侧

.

②

1

VSl

斜棱柱

.

143．作截面的依据

三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.

144．棱锥的平行截面的性质

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积

的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相

似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的

比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．

145.欧拉定理(欧拉公式)

2VFE(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).

（1）E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为

n

的多边形，则面数F

与棱数E的关系：

1

2

EnF；

（2）若每个顶点引出的棱数为

m

，则顶点数V与棱数E的关系：

1

2

EmV.

146.球的半径是R，则

其体积3

4

3

VR,

其表面积24SR．

147.球的组合体

(1)球与长方体的组合体:

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

(2)球与正方体的组合体:

正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线

长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

(3)球与正四面体的组合体:

高中最全立体几何公式

5/5

棱长为

a

的正四面体的内切球的半径为

6

12

a,外接球的半径为

6

4

a.

148．柱体、锥体的体积

1

3

VSh

柱体

（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.

1

3

VSh

锥体

（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.