正四面体外接球半径

欧阳学创编

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四面体外接球的球心、半径求法

时间：2021.03.03创作：欧阳学

在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对

于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面

在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，

半径是多少而无法解题。

本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问

题。

一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为

cba,,，则体对角线长为222cbal，几何体的外接球直

径R2为体对角线长l即

2

222cba

R





【例题】：在四面体ABCD中，共顶点的三条棱两两垂

直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个

球面上，求这个球的表面积。

解：

因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长

所以：四面体外接球的直径为AE的长

即：22224ADACABR

1663142

222R所以2R

A

C

D

B

E

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球的表面积为1642RS

二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直

角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，

BCAB且7PA，5PB，51PC，10AC,求球O的体

积。

解：BCAB且7PA，5PB，51PC，10AC,

因为2

2

210517所以知222PCPAAC

所以PCPA所以可得图形为：

在ABCRt中斜边为AC

在

PACRt

中斜边为AC

取斜边的中点O，

在ABCRt中OCOBOA

在

PACRt

中OCOBOP

所以在几何体中OAOCOBOP，即O为该四面体的外接

球的球心

所以该外接球的体积为

3

500

3

4

3



RV

【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点

连线。

三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量

知识求解

O

A

B

C

P

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【例题】：已知在三棱锥BCDA中，ABCAD面，

120BAC，2ACADAB，求该棱锥的外接球半径。

解：由已知建立空间直角坐标系

由平面知识得

设球心坐标为),,(zyxO则DOCOBOAO,由空间两点间距

离公式知222222)2(zyxzyx222222)2(zyxzyx

解得1

3

3

1zyx

所以半径为

3

21

1

3

3

1222）（R

【结论】：空间两点间距离公式：

2

21

2

21

2

21

)()()(zzyyxxPQ

四、四面体是正四面体

处理球的“内切”“外接”问题

与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为

这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们

又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目

时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的

位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。

一、棱锥的内切、外接球问题

例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？

分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面

A

B

C

D

z

x

y

图1

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图，通过点、线、面关系解之。

解：如图1所示，设点O是内切球的球心，正四面体

棱长为a．由图形的对称性知，点O也是外接球的球

心．设内切球半径为r，外接球半径为R．

正四面体的表面积223

4

3

4aaS

表

．

正四面体的体积2222

12

3

4

3

3

1

BEABaAEaV

BCDA





BCDA

VrS





表3

1

，a

a

a

S

V

rBCDA

12

6

3

12

2

3

3

2

3







表

在BEORt中，222EOBEBO，即2

2

2

3

3

raR

















，得

aR

4

6

，得rR3

【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和

外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，

即内切球的半径为

4

h

(h为正四面体的高)，且外接球的半

径

4

3h

，从而可以通过截面图中OBERt建立棱长与半径之间

的关系。

例2．设棱锥ABCDM的底面是正方形，且MDMA，

ABMA，如果AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥

的最大球的半径.

解：ABMAABADAB,,平面MAD，

图2

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由此，面MAD面AC.记E是AD的中点，

从而ADME.ME平面AC，EFME

设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.

如图2，得截面图MEF及内切圆O

不妨设O平面MEF，于是O是MEF的内心.

设球O的半径为r，则

MFEMEF

S

rMEF





2

，设

aEFAD,1

AMD

S.

2

2

2

,

2















a

aMF

a

EM,

12

222

2

22

2

2

2























a

a

a

a

r

当且仅当

a

a

2

，即2a时，等号成立.

∴当2MEAD时，满足条件的球最大半径为12.

练习：一个正四面体内切球的表面积为3，求正四面

体的棱长。（答案为：2）

【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点

位置，作出截面图是解题的关键。

二、球与棱柱的

组合体问题

图3图4

图5

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1．正方体的内切球：

球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，

显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a，球半径

为R。

如图3，截面图为正方形EFGH的内切圆，得

2

a

R；

2．与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相

切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O为正方形

EFGH的外接圆，易得aR

2

2

。

3．正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面

上，如图5，以对角面

1

AA作截面图得，圆O为矩形CCAA

11

的外接圆，易得aOAR

2

3

1

。

例3.在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、

PC两两互相垂直，且aPCPBPA,那么这个球的表面积

是______.

解：由已知可得PA、PB、PC实际上就是球内接正方

体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直

径，连结过点C的一条对角线CD，则CD过球心O，对角

线aCD32

2

3

2

3

4aaS



















球表面积

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练习：一棱长为a2的框架型正方体，内放一能充气吹

胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时

的球的体积。（答案为3

3

2

6

2

4

3

aaV）

4．构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题

正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中

点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形

便可得球半径。

例4.已知三棱柱

111

CBAABC的六个顶点在球

1

O上，又

知球

2

O与此正三棱柱的5个面都相切，求球

1

O与球

2

O的体

积之比与表面积之比。

分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的

关系。

解：如图6，由题意得两球心

1

O、

2

O是重合的，过正三

棱柱的一条侧棱

1

AA和它们的球心作截

面，设正三棱柱底面边长为a，则

aR

6

3

2

，正三棱柱的高为

aRh

3

3

2

2

，由ODARt

11

中，得

2

22

2

2

2

2

112

5

6

3

3

3

3

3

aaaRaR























































，

aR

12

5

1



1:5::2

2

2

121

RRSS，1:55:

21

VV

图6

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练习：正四棱柱

1111

DCBAABCD的各顶点都在半径为R

的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值。（答案为：

224R）

【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几

何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关

系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合

适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问

题的最佳途径。

勾股定理知，假设正四面体的边长为a时，它的外接球半

径为a

4

6

。

时间：2021.03.03创作：欧阳学