二次项

基本定义

一般地，把形如

(a、b、c是常数)的函数叫做二次函数，其中a

称为二次项系

数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变

量，y为因变量。等号右

边自变量的最高次数是2。

顶点坐标

交点式为

(仅限于与x轴有交点的抛物线)，

与x轴的交点坐标是和

顶点式

y=a(x-h)2+k(a≠0、,ah、k为常数),顶点坐标为(

h,k)[4]，对称轴

为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数

y=ax2的图

像

相同，当x=h时，y最大(小)值=k.

有时题目会指出让你用配方法

把一般式化成顶点式。

例：已知二次函数y的顶点(1,2)

和另一任意点(3,10)，求y的解

析式。

解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上

式，解得y=2(x-1)2+2

注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函

数平移后的

顶点式中，h>0时，h越大，

图像的对称轴离y轴越远，且在x

轴正

方向上，不能因h前是负

号就简单地认为是向左平移。[2]

具体可分为下面几种情况：

当h>0时，y=a(x-h)2的图像可由

抛物线y=ax2向右平行移动h个

单位得到；

当h<0时，y=a(x-h)2的图像可由

抛物线y=ax2向左平行移动|h|个

单位得到；

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h

个单位，再向上

移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；

当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h

个单位，再向下

移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；

当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|

个单位，再向上

移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；

当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|

个单位，再向下

移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图

象。[5]

交点式

[仅限于与x轴即y=0有交点时的

与X轴交点的情况:

当时，函数图像与x轴有两个交点，分

别是(x1,0)和(x2,0)。

当时，函数图像与x轴只有一个切点，即

。

[2]

当

时，抛物线与x轴没有公共交点。x的取值范围是虚数

抛物线，即b2-4ac≥0].

已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1,0)和B(x2,0),我们可设

函数图像

基本图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax2+bx+c的图

像，可以看

出，在没有特定

定义域的二次函数图像是一条永无止境的抛

物线。如

果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由

平移得到的。[2]

轴对称

[6]

二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线

对称轴与二次函数图像唯一

的交点为二次函数图象的顶点P。

特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴

（即直线x=0）。

是顶点的横坐标（即x=？）。

a,b同号，对称轴在y轴左侧；

a,b异号，对称轴在y轴右侧。[2]

顶点

二次函数图像有一个顶点P，坐标为P（h,k）。

当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。

即可表示为顶

点式y=a(x-h)2+k(x≠0)

。

[2]

开口

二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。

当a>0时，二次函数图象向上开口；当a<0时，

抛物线向下开口。

|a|越大，则二次函数图像的开口越小。[2]决定位置

因素

一次项系数b和二次项系数a共同决定对

称轴的位置。

当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在

y轴左；因为对称轴

在左边则对称轴小于0，

也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、

b要同号

当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在

y轴右。因为对称轴

在右边则对称轴要大于0，也就是-

b/2a>0,所以b/2a要小于0，所

以a、b要异号

可简单记忆为左同右异，即当对

称轴在y轴左时，a与b同号（即

a>0，b>0或a<0，b<0）；当对称轴在y轴右时，a与b

异号（即

a0或a>0，b<0）（ab<0）。

事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图象与y轴

的交点处

的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k

的值。可

通过对二次函数求导得到。[2]

决定交点因素

常数项c决定二次函数图像与y轴交点。

二次函数图像与y轴交于（0,C）点

注意：顶点坐标为（h,k），与y轴交于

（0,C）。[2]

与x轴交点数

a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交

点。

k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。

质疑点：a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与x

轴无交点。

当a>0时，函数在x=h处取得最小值y=k，在x

范围内是减函

数，在x>h范围内是增函数（即y随

x的变大而变大），二次函数图

像的开口向上，函数的值域是y>k

当a<0时，函数在x=h处取得最大值

=k，在x

x>h范围内是减函数（即y随

x

的变大而变小），二次函数图像的开口向下，函数的值域是

y

当h=0时，抛物线的对称轴是y

轴，这时，函数是偶函数[2]