xlnx

y=ex和y=lnx相关不等式证明中的⼏种特殊放缩法

2019-09-29

导数作为研究函数图像和性质的⼯具，在每年⾼考中都占有极重要的分量.⽽且在近⼏年的各地⾼考试卷中.对y=ex和y=lnx两类

函数的考察是常考常新，变化多样.其中关于不等式的证明更是考察的重点和难点.本⽂通过分析⼏种特殊的放缩⽅法及其在解

题中的应⽤，以便师⽣在备考复习中能突破重点和难点.

⼀、⼏个典型的放缩公式

公式1：x∈R，有ex≥1+x

公式2：x∈R，有ex≥ex

公式3：x∈R+，有lnx≤x-1

公式3：x∈R+，有lnx≤1ex

⽤导数或图像所⽰易得上述公式⼀定成⽴.在解决y=ex和y=lnx相关的不等式问题中，巧⽤上述⼏个放缩公式，可以快速的突破

不等式证明的难点.

⼆、典型例题分析

1.（2014全国课标I.理21题）设函数f（x）=aexlnx+bex-1x，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=e（x-1）+2.（Ⅰ）

求a，b;（Ⅱ）证明：f（x）>1.

解法⼀（常规解法）：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=aexlnx+axex-bx2ex-1+bxex-1.

由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（f（x）=exlnx+2ex-1x，从⽽f（x）>1等价于xlnx>xe-x-2e.

设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=x+lnx，

所以当x∈0，1e时，g′（x）<0，当x∈1e，+∞时，g′（x）>0，

故g（x）在0，1e单调递减，在1e，+∞单调递增，

从⽽g（x）在（0，+∞）的最⼩值为g1e=-1e.

设函数h（x）=xe-x-2e，则h′（x）=e-x1-x，所以当x∈（0，1）时，h′（x）>0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）<0，故h（x）

在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，从⽽h（x）g（x）在（0，+∞）的最⼩值为（h（1）=-1e.

综上：当x>0时，g（x）>h（x），即f（x）>1.

解法⼆（⽤公式2放缩）：f（x）=exlnx+2ex-1x，从⽽f（x）>1等价于exlnx+2ex-1x>1.

即exlnx+2exex>1;由公式2有ex≥ex.

所以exlnx+2exex≥exlnx+2，

所以要使exlnx+2exex≥exlnx+2>1成⽴，只需证exlnx+2>1，即exlnx+1>0成⽴.

设h（x）=exlnx+1，有h′（x）=e（lnx+1）

所以当x∈0，1e时，h′（x）<0，当x∈1e，+∞时，h′（x）>0，

故h（x）在0，1e单调递减，在1e，+∞单调递增，

所以h（x）max=h（1e）=0.所以有exlnx+2exex>1成⽴.

2.（2013课标全国Ⅱ，理21）已知函数f（x）=ex-ln（x+m）.

（1）设x=0是f（x）的极值点，求m并讨论f（x）的单调性;

（2）当m≤2时，证明f（x）>0.

证明：（2）m≤2，要证f（x）>0，即f（x）=ex-ln（x+m）>ex-ln（x+2）>0，

即要证ex>ln（x+2），

由公式1有ex≥x+1，⼜由公式3有x+1≥ln（x+2），

所以ex≥ln（x+2），所以ex-ln（x+2）≥0，

所以可证f（x）>0.

试⼀试：已知函数f（x）=ex-x-1，g（x）=x2eax.

（Ⅰ）求f（x）的最⼩值;（Ⅱ）求g（x）的单调区间;

（Ⅲ）当a=1时，对于在（0，1）中的任⼀个常数m，是否存在正数x0使得f（x0）>m2g（x）成⽴？如果存在，求出符合条件

的⼀个x0;否则请说明理由.

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