组合计算公式

排列组合公式/排列组合计算公式

排列P------和顺序有关

组合C-------不牵涉到顺序的问题

排列分顺序,组合不分

例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法."排列"

把5本书分给3个人,有几种分法"组合"

1．排列及计算公式

从n个不同元素中，任取m(m≤n>个元素按照一定的顺序排成一

列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同

元素中取出m(m≤n>个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元

素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m>表示.b5E2RGbCAP

p(n,m>=n(n-1>(n-2>……(n-m+1>=n!/(n-m>!(规定0!=1>.

2．组合及计算公式

从n个不同元素中，任取m(m≤n>个元素并成一组，叫做从n个不

同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出

m(m≤n>个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个

元素的组合数.用符号p1EanqFDPw

c(n,m>表示.

c(n,m>=p(n,m>/m!=n!/((n-m>!*m!>；c(n,m>=c(n,n-m>。

3．其他排列与组合公式

从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r>/r=n!/r(n-r>!.

n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素

的全排列数为

n!/(n1!*n2!*...*nk!>.

k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-

1,m>.

排列）

Pnm=n×

号）；Pnn<两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1

标1为上标）=nDXDiTa9E3d

组合）

Cnm=Pnm/Pmm；Cnm=n！/m！

标）=1；Cn1

2008-07-0813:30

公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。

公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。

N-元素的总个数

R参与选择的元素个数

！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1

从N倒数r个，表达式应该为n**(n-2>..(n-r+1>。

因为从n到个数为n－＝r

举例：

Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？

A1:123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属

于“排列P”计算范畴。

上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997

之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种

可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式

＝P<3，9>＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）

Q2:有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联

盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？

A2:213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一

起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。

上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个

数即为最终组合数C(3,9>=9*8*7/3*2*1

排列、组合的概念和公式典型例题分析

例1设有3名学生和4个课外小组．<1）每名学生都只参加一个课外小组；<2）每名

学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？

解<1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小

组的人数，因此共有种不同方法．

<2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，

因此共有种不同方法．

点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．

例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多

少种？

解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不

同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：

∴符合题意的不同排法共有9种．

点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树

图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．

例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．

<1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了

一次手，共握了多少次手？

<2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不

同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？

<3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多

少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？

<4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中

选出2盆放在教室有多少种不同的选法？

分析<1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺

序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无

关，所以是组合问题．其他类似分析．

<1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手<次）．

<2）①是排列问题，共有<种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．

<3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．

<4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．

例４证明．

证明左式

右式．

∴等式成立．

点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使

变形过程得以简化．

例5化简．

解法一原式

解法二原式

点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合

数的两个性质，都使变形过程得以简化．

例6解方程：<1）；<2）．

解<1）原方程

解得．

<2）原方程可变为

∵，，

∴原方程可化为．

即，解得

第六章排列组合、二项式定理

一、考纲要求

1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.

2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，

并能用它们解决一些简单的问题.

3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问

题.

二、知识结构

三、知识点、能力点提示

(一>加法原理乘法原理

说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排

列、组合中有关问题提供了理论根据.

例15位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同

的报名方法共有多少种?

解：5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都

有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有

3×3×3×3×3=35(种>

(二>排列、排列数公式

说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研

究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方

法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.

例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000

的偶数共有(>

A.60个B.48个C.36

个D.24个

解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P1

2

；小于50000的五

位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P1

3

。在首末两位数排

定后，中间3个位数的排法有P3

3

，得P1

3P3

3P1

2＝36(个>

由此可知此题应选C.

例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一

个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?

解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的

填法有3种，即2143，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着

3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为

3P1

3

=9(种>.

例四例五可能有问题，等思考

三>组合、组合数公式、组合数的两个性质

说明历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应

用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.

例4从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少

有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有

(>5PCzVD7HxA

A.140种B.84种C.70

种D.35种

解：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C14·C25

种；甲型2台乙型1台的取法有C24·C15种jLBHrnAILg

根据加法原理可得总的取法有

C14·C25+C24·C15=40+30=70(种>

可知此题应选C.

例5甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3

项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包

方式?xHAQX74J0X

解：甲公司从8项工程中选出3项工程的方式C38种；

乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有

C15种；

丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式

有C24种；

丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工

程的方式有C22种.

根据乘法原理可得承包方式的种数有C3

8×C15×C24×C22=×1=1680(种>.

(四>二项式定理、二项展开式的性质

说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数

学中它是常用的基础知识，从1985年至1998年历届高考均有这方

面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选

择题或填空题.LDAYtRyKfE

例6在(x->10的展开式中，x6的系数是(>

A.-27C610B.27C410C.-

9C610D.9C410Zzz6ZB2Ltk

解设(x->10的展开式中第γ+1项含x6，

因Tγ+1=Cγ10x10-γ(->γ，10-γ=6,γ=4

于是展开式中第5项含x6，第5项系数是C410(->4=9C410

故此题应选D.

例7(x-1>-(x-1>2＋(x-1>3-(x-1>+(x-1>５的展开式中的x

２的系数等于dvzfvkwMI1

解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1>的等比数列的前5项的

和，则其和为

在(x-1>6中含x3的项是C36x3(-1>3=-20x3，因此展开式中x2的系

数是-20.

(五>综合例题赏析

例8若(2x+>4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4>2-

(a1+a3>2的值为(>rqyn14ZNXI

A.1B.-

1C.0D.2Emxv

xOtOco

解：A.

例92名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分

配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有

(>SixE2yXPq5

A.6种B.12

种C.18种D.24种

6ewMyirQFL

解分医生的方法有P22＝2种，分护士方法有C24=6种，所以共

有6×2＝12种不同的分配方法。

应选B.

例10从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至

少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同取法共有

(>.kavU42VRUs

A.140种B.84种C.70

种D.35种y6v3ALoS89

解：取出的3台电视机中，甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两

种情形.

∵C24·+C25·C14=5×6+10×4=70.

∴应选C.

例11某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代

表，至少有1名女生当选的不同选法有(>M2ub6vSTnP

A.27种B.48种C.21

种D.24种

解：分恰有1名女生和恰有2名女生代表两类：

∵C13·C17+C23=3×7+3=24，

∴应选D.

例12由数学0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，

其中个位数字小于十位数字的共有(>.0YujCfmUCw

A.210个B.300个

C.464个D.600个

解：先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?应有

P15·P55=600个.

由对称性，个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位

数各占一半.

∴有×600=300个符合题设的六位数.

应选B.

例13以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有(>.

A.70个B.64个

C.58个D.52个

解：如图，正方体有8个顶点，任取4个的组合数为C48=70个.

其中共面四点分3类：构成侧面的有6组；构成垂直底面的对角面

的有2组；形如(ADB1C1>的有4组.

∴能形成四面体的有70-6-2-4=58(组>

应选C.

例14如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所

在的12条直线中，异面直线共有(>.eUts8ZQVRd

A.12对B.24对

C.36对D.48对

解：设正六棱锥为O—ABCDEF.

任取一侧棱OA(C16>则OA与BC、CD、DE、EF均形成异面直线对.

∴共有C16×4=24对异面直线.

应选B.

例15正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点

的三角形共个(以数字作答>.sQsAEJkW5T

解：7点中任取3个则有C37=35组.

其中三点共线的有3组(正六边形有3条直径>.

∴三角形个数为35-3=32个.

例16设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元

素组成的子集数为T，则的值

为。GMsIasNXkA

解10个元素的集合的全部子集数有：

S＝

C010+C110+C210+C310+C410+C510+C610+C710+C810+C910+C1010=2

10=1024TIrRGchYzg

其中，含3个元素的子集数有T=C310=120

故=

例17例17在50件产品n中有4件是次品，从

中任意抽了5件，至少有3件是次品的抽法共7EqZcWLZNX

种(用数字作答>.

解：“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”.

∴C34·C246+C44·C146=4186(种>

例18有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1

人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有

(>.lzq7IGf02E

A.1260种B.2025种

C.2520种D.5040种

解：先从10人中选2个承担任务甲(C210>

再从剩余8人中选1人承担任务乙(C18>

又从剩余7人中选1人承担任务乙(C17>

∴有C210·C18C17=2520(种>.

应选C.

例19集合｛1，2，3｝子集总共有(>.

A.7个B.8个C.6个D.5

个

解：三个元素的集合的子集中，不含任何元素的子集有一个，由一

个元素组成的子集数C13，由二个元素组成的子集数C23，由3个元

素组成的子集数C33。由加法原理可得集合子集的总个数是

C13+C23+C33+1=3+3+1+1＝8。故此题应选J1hk

例20假设在200件产品中有3件是次品，现在从中任意抽取5

件，其中至少有两件次品的抽法有(>.NrpoJac3v1

A.C23C3197种B.C23C3197+C33C2197

C.C5200-C5197D.C5200-C

13C4197

解：5件中恰有二件为次品的抽法为C23C3197，

5件中恰三件为次品的抽法为C33C2197，

∴至少有两件次品的抽法为C23C3197+C33C2197.

应选B.

例21两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8

名学生入座(每人一个座位>，则不同座法的总数是

(>.1nowfTG4KI

A.C58C38B.P12C58C38C.P58P38

申明：

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途。